Revisión del 11:23 7 dic 2025

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo estudiamos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil cuando aparecen geometrías de tipo parabólico en el análisis de campos físicos.
Este tipo de coordenadas permite simplificar la descripción matemática de diversos problemas, especialmente aquellos relacionados con potenciales, distribuciones simétricas o configuraciones donde las parábolas juegan un papel fundamental.

El sistema se construye extendiendo al espacio tridimensional un cambio de coordenadas parabólicas definido originalmente en el plano. Su relación con las coordenadas cartesianas viene dada por:

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = w \end{cases} [/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

1.2 Gráficas y códigos MATLAB

Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones

1.2.1 Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones

%Líneas coordenadas de u y v en 2D

figure;
hold on;

%Creación de los vectores
u = 0.5 : 0.05 : 5;
v = 0.5 : 0.05 : 5;
for i=-5:1:5
u_variable = i;
v_variable = i;

%Representación de la curva u, con v fijado 
x1_u = (u_variable.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u_variable .* v;
plot(x1_u, x2_u, 'm', 'LineWidth', 2);

%Representación de la curva v, con u fijado
x1_v = (u.^2 - v_variable.^2) / 2;
x2_v = u .* v_variable;
plot(x1_v, x2_v, 'r', 'LineWidth', 2);
end

%Configuración de la gráfica
title('Lineas u y v con distintos valores dados en 2D');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'Curva \gamma_u', 'Curva \gamma_v'}); 
grid on;
axis equal;
hold off;

1.2.2 Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u 
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u 
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), ...
     'FaceAlpha', 0.5, 'FaceColor', 'b', 'EdgeColor','b');
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v 
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), ...
     'FaceAlpha', 0.5, 'FaceColor', 'r','EdgeColor','r');

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

1.2.3 Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0; 
v_const = 0; 

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u (rojo)
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), ...
     'FaceAlpha', 0.5, 'FaceColor', 'r');
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v (rojo)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), ...
     'FaceAlpha', 0.5, 'FaceColor', 'r');

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas:

1. Derivada respecto a \(u\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de Escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:

1. Para \(\gamma'_u\)→ [math] h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

2. Para \(\gamma'_v\)→ [math] h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2} [/math]

3. Para \(\gamma'_z\)→ [math] h_z = |\gamma'_z| =1 [/math]

2.3 Vectores Tangentes

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad calculados anteriormente:

1. [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math]

2. [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math]

3. [math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]

2.4 Comprobación de Ortonormalidad y Orientación

Para comprobar que estos vectores forman una base ortonormal:

1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios.

En cuanto a la orientación, tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

2.5 Representación Gráfica

Vectores tangentes a las líneas

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;


%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'y','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;

3 Matrices de cambio de base

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se calculan aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación resulta útil cuando las coordenadas cartesianas no facilitan la resolución de un problema, permitiendo simplificar los cálculos en contextos donde las geometrías parabólicas son mas relevantes.

5 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico-parabólico.

Se parte del campo escalar \(f(x, y, z) = y\) y el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\).

Primero, se busca pasar el campo escalar \(f(x, y, z) = y\) y el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas en el que se trabajará.

Esto es simplemente sustituir \(y=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el obtener el punto en el otro sistema se necesita la relación de las coordenadas cilíndrico-parabólicas con las cartesianas, para justificar esta relación se sigue con la siguiente demostración: [math] (x, y, z): \begin{cases} x = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ y = uv \\ z = z \end{cases} \\[/math]

Nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \) y a \(v^2\) respectivamente y sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x, y, z): \begin{cases} 2x =p-q (1)\\ y^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

Se deja la ecuación (1) en función de \(q\): [math]q=p-2x[/math]

Posteriormente se sustituye en la ecuación (2)

\(p^2\)-\(2xp\)=\(y^2\)

Se obtienen las soluciones de la ecuación de segundo grado con \(p\) como incógnita, estas son:

[math] p_1 \, =\,x\,+\,\sqrt{x^2+y^2}\\ p_2=No válida por ser negativa[/math]

Ahora, deshaciendo el cambio de variable sale la relación buscada: [math]\begin{cases} u = \left (\sqrt{x+\sqrt{x+y}}\right) \\ v = \sqrt{-x+\sqrt{x+y}}\\ z = z \end{cases} \\[/math]

Finalmente, sustituyendo el punto \((x, y, z) = (0 ,1 ,1)\) se obtiene el punto en las coordenadas cilíndrico-parabólicas que es [math](u, v, z)= (1 ,1 ,1).\\[/math]

Calculo del gradiente del campo escalar:

El gradiente de un campo escalar f en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

Dónde: [math] h_u=h_v=\sqrt{u^2+v^2} ; h_z=1[/math]

Las derivadas parciales correspondientes serían:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente al sustituir el punto en el gradiente obtenido queda la siguiente expresión:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La divergencia de un campo vectorial \(\vec{F}\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] F_u = r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene tras derivar la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{\partial}{\partial u}(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^3+u·v^2}{2\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial v}(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^2·v+v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2+v^2}·\sqrt{u^2+v^2}·z)\right] [/math]

Simplificando se llega a la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{1}{2}·(3u^2+v^2+u^2+3v^2)+u^2+v^2 \right]=\frac{3(u^2+v^2)}{u^2+v^2}=3 [/math]

Concluyendo entonces que: [math] div(\vec{r})=3 [/math]

7 Rotacional de un campo vectorial

El rotacional es un operador que indica la tendencia de un campo vectorial a producir giro o rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, su expresión es:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} h_u \vec{e}_u & \frac{\partial}{\partial u}(h_u F_u) \\ h_v \vec{e}_v & \frac{\partial}{\partial v}(h_v F_v) \\ h_z \vec{e}_z & \frac{\partial}{\partial z}(h_z F_z) \end{vmatrix} [/math]

Los factores de escala son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_z = 1 [/math]

De modo que:

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2 [/math]

Sustituyendo estos valores, la expresión del rotacional queda:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{vmatrix} \sqrt{u^2+v^2}\,\vec{e}_u & \frac{\partial}{\partial u}(\sqrt{u^2+v^2} F_u) \\ \sqrt{u^2+v^2}\,\vec{e}_v & \frac{\partial}{\partial v}(\sqrt{u^2+v^2} F_v) \\ \vec{e}_z & \frac{\partial}{\partial z}(F_z) \end{vmatrix} [/math]

7.1 Rotacional del campo posición [math]\vec{r}[/math]

Las componentes del campo posición son:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \qquad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \qquad r_z = z [/math]

7.1.1 Componente en [math]\vec{e}_u[/math]

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) [/math]

Como:

[math]\frac{\partial}{\partial v}(z)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v)=0[/math]

Entonces:

[math] e_u = 0 [/math]

7.1.2 Componente en [math]\vec{e}_v[/math]

[math] e_v = \frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) [/math]

Como ni [math]F_u[/math] ni [math]F_z[/math] dependen de [math]z[/math], ambos términos se anulan:

[math] e_v = 0 [/math]

7.1.3 Componente en [math]\vec{e}_z[/math]

[math] e_z = \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) [/math]

Cálculos:

[math] h_v F_v = \frac{v(u^2+v^2)}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu [/math]

[math] h_u F_u = \frac{u(v^2+u^2)}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv [/math]

Entonces:

[math] e_z = vu - uv = 0 [/math]

7.2 Resultado final

[math] \nabla \times \vec{r} = 0 [/math]

El campo vectorial es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial, es conservativo y no presenta rotación.

8 Superficies de nivel

8.1 Descripción general

Dado los campos escalares:

[math]f_1(u,v,z)=u[/math]

[math]f_2(u,v,z)=v[/math]

[math]f_3(u,v,z)=z[/math]

Una superficie de nivel se define como:

[math]S_c={(u,v,z)\mid f(u,v,z)=c}[/math]

Así:

[math]S_c={(u,v,z)\mid u=c}[/math]

[math]S_c={(u,v,z)\mid v=c}[/math]

[math]S_c={(u,v,z)\mid z=c}[/math]

Las coordenadas cilíndricas parabólicas se relacionan con las cartesianas mediante:

[math] \begin{cases} x_1=\frac{u^2-v^2}{2}\\ x_2=uv\\ x_3=z \end{cases} [/math]

Interpretación geométrica:

[math]u=\text{cte}[/math]: cilindros parabólicos abiertos hacia [math]+x_1[/math].

[math]v=\text{cte}[/math]: cilindros parabólicos abiertos hacia [math]-x_1[/math].

[math]z=\text{cte}[/math]: planos paralelos a [math]x_1Ox_2[/math].

8.2 Código MATLAB y representación gráfica

En esta sección se representan las superficies de nivel de los campos escalares f₁(u,v,z)=u, f₂(u,v,z)=v y f₃(u,v,z)=z.

Cada superficie de nivel se obtiene fijando un valor constante del campo:

• Para f₁, se fija u = 1 → cilindro parabólico.
• Para f₂, se fija v = 1 → cilindro parabólico.
• Para f₃, se fija z = 1 → plano horizontal.

A continuación se muestra el código MATLAB utilizado para generar las tres superficies:

Superficies de nivel juntas

Superficies de nivel separadas

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1 (u = constante)
u_const = 1;
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2)/2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2 (v = constante)
v_const = 1;
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2)/2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2);
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3 (z = constante)
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1, 3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on

8.3 Superficies regladas

Una superficie reglada es una superficie obtenida mediante el desplazamiento de una recta —llamada generatriz— que se mueve apoyada en una o varias curvas directrices. Durante su movimiento, la generatriz describe un conjunto de rectas cuyas posiciones forman la superficie.

8.3.1 Caracterización

Una superficie reglada admite una parametrización:

[math]\phi(u,v)=\gamma(v)+u,\vec{w}(v)[/math]

Las superficies de nivel de [math]u[/math], [math]v[/math] y [math]z[/math] son superficies regladas porque forman cilindros parabólicos o un plano.

Parametrizaciones:

Para [math]u=1[/math]:

[math] \phi(v,z)=\gamma(v)+z\vec{k} [/math] [math] \gamma(v)= \begin{cases} x_1=\frac{1-v^2}{2}\\ x_2=v\\ x_3=0 \end{cases} [/math]

Para [math]v=1[/math]:

[math] \phi(u,z)=\gamma(u)+z\vec{k} [/math] [math] \gamma(u)= \begin{cases} x_1=\frac{u^2-1}{2}\\ x_2=u\\ x_3=0 \end{cases} [/math]

Para [math]z=1[/math]:

[math] \phi(u,v)=\gamma(u)+v\vec{i} [/math] [math] \gamma(u)= \begin{cases} x_1=\frac{u^2-v^2}{2}\\ x_2=uv\\ x_3=1 \end{cases} [/math]

8.3.2 Utilidades de las superficies regladas

En un ámbito general, las superficies regladas son muy útiles porque:

1. Permiten diseñar estructuras complejas con superficies planas o curvas.
2. Son útiles para corte y doblado de materiales planos (metal, madera, vidrio), ya que cualquier sección a lo largo de la recta es recta.
3. Facilitan la generación rápida de superficies 3D, ya que basta con desplazar rectas en lugar de calcular curvas complejas.
4. Son muy visuales, ayudando a entender cómo se generan superficies a partir de rectas y cómo se relaciona la geometría con funciones matemáticas.
5. Son fáciles de parametrizar y analizar.
6. Muchas de sus propiedades geométricas (curvatura, tangentes) se pueden calcular de forma directa.
7. Pueden ser producidas con herramientas planas, lo que simplifica la fabricación de piezas.

8.3.3 Aplicaciones en ingeniería

Llevadas al ámbito de la ingeniería, estas características resultan muy valiosas, ya que combinan geometría simple con funcionalidad estructural. Entre sus aplicaciones destacan:

1. Diseño estructural: creación de rampas, puentes, fachadas y cubiertas.
2. Fabricación y construcción: ideales para materiales planos como aluminio o vidrio, permitiendo construir curvas sin necesidad de doblar excesivamente los materiales.
3. Optimización de estructuras: reducen costos, disminuyen el desperdicio de material y aligeran perfiles como vigas y tubos.
4. Modelado y simulación: su sencilla parametrización facilita el análisis de tensiones y deformaciones, utilizándose en software CAD y FEM para modelar geometrías complejas sin complicaciones matemáticas.
5. Estética y funcionalidad: permiten crear formas arquitectónicas impresionantes y elegantes sin sacrificar resistencia estructural.

9 Calculo de la curvatura

Determinar la curvatura \( k(w) \).

Ecuación de la parábola

[math] y = -Ax^2 + B [/math] Donde:

• [math]A = 3[/math]
• [math]B = 1[/math]
• [math]x \in [-1, 1][/math]

Ecuación particular

[math] y = -3x^2 + 1 [/math]

Parametrización

[math] \gamma(w) = (w, -3w^2 + 1, 0) [/math] Con: [math]w \in [-1, 1][/math]

Fórmula de la curvatura

1. Definimos la curvatura de una función parametrizada

[math] k(w) = \frac{\| \gamma'(w) \times \gamma''(w) \|}{\| \gamma'(w) \|^3} [/math]

Cálculos de las derivadas

1. Primera derivada (velocidad): [math] \gamma'(w) = (1, -6w, 0) [/math]

2. Segunda derivada (aceleración): [math] \gamma''(w) = (0, -6, 0) [/math]

Producto vectorial entre \( \gamma'(w) \) y [math] \gamma''(w) [/math]

[math] \gamma'(w) \times \gamma''(w) = \begin{vmatrix} \mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\ 1 & -6w & 0 \\ 0 & -6 & 0 \end{vmatrix} = (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}} [/math]

[math] \gamma'(w) \times \gamma''(w) = (0, 0, -6) [/math]

Magnitud del producto cruz

[math] \| \gamma'(w) \times \gamma''(w) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6 [/math]

Magnitud de \( \gamma'(w) \)

[math] \| \gamma'(w) \| = \sqrt{1^2 + (-6w)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 36w^2} [/math]

Curvatura

[math] k(w) = \frac{6}{(1 + 36w^2)^{3/2}} [/math]

Evaluación en puntos específicos

1. Para [math]w = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = \frac{6}{37^{3/2}} [/math]

2. Para [math]w = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = \frac{6}{37^{3/2}} [/math]

3. Para [math]w = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}} = 6 [/math]

Conclusión

La mayor curvatura se encuentra en el vértice de la parábola, y tiene un valor de 6 .

La menor curvatura se encuentra cuando [math]w = -1[/math] & [math]w = 1[/math], en estos puntos, la curvatura tiene un valor de [math]\frac{6}{37^{3/2}}[/math]

Curvatura.

clear,clc
% Parámetros de la parábola
A = 2;
B = 2;

% Intervalo de t (x)
t = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura teórica
kappa = (2 * A) ./ ((1 + 4 * A^2 * t.^2).^(3/2));

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, kappa, 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -Ax^2 + B');
xlabel('t (x)');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;

% Mostrar los puntos de mayor y menor curvatura
hold on;
plot(0, 2*A, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Mayor curvatura');
plot([-1, 1], kappa([1, end]), 'go', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Menor curvatura');
legend;

10 Uso de la parábola en ingeniería

10.1 ¿Qué es la parabola?

Podemos describir la parábola de distintas formas, según su campo de estudio:

1. En matemáticas, se define como la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo de ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono igual al presentado por su generatriz.

2. En dibujo técnico, se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas ya que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Un ejemplo de ello las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad, que son parábolas.

10.2 Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura

Una de las propiedades características de la parábola es su capacidad de distribuir cargas de manera uniforme y concentrar la energía en un punto, su foco, debido a su simetría y la forma en la que los vectores de fuerza interactuan con sus puntos de apoyo.

Esto provoca que durante los años se hayan desarrollado infinidad de aplicaciones tanto en diseño estructural como arquitectónico, siendo las siguientes las más relevantes:

1. Puentes colgantes y arcos

1.1. Puentes colgantes. En este tipo de puentes, los cables principales tienen un trayectoria cercana a la parábolica, aunque realmente es cilíndrica, lo que permite que las cargas se distribuyan uniformemente desde el tablero hasta las torres. Un ejemplo significativo es el Puente Golden Gate.

1.2. Arcos parabólicos. En ciertos puentes, se utiliza el arco parabólico para soportar el tablero y así optmizar la estabilizad estructural a la vez que se reduce el peso y material requerido. Un ejemplo de ello es el Puente de la Barqueta.

Puente de la Barqueta

2. Techos y cúpulas

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

2.1. Estadios y auditorios. Además de distribuir uniformemnte las cargas, como ya se ha mencionado anteriormente, en este tipo de estructuras su ventaja radica en la capacidad de redirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora enormemente la acústica, como en el Estadio de Múnich.

Estadio Olímpico de Munich

2.2. Cúpulas arquitectónicas. De nuevo, la capacidad de distribución de cargas permite transmitir el peso hacia los pilares, haciendo posible construcciones más altas y estéticas como iglesias y edificios icónicos.

3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso es el la creación de efectos visuales a la vez que se controla la entrada de luz natural, como en el Museo de Arte de Milwakee.

Museo de Arte de Milwaukee

3.2. Ventilación y luz natural. Estas formas posibilitan un flujo de aire e iluminación óptimos, mejorando así la sostenibilidad.

4. Acueductos y canalizaciones

En la ingeniería hidráulica, el estudio parabólica es funadamental para canalizar fluidos.

4.1. Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias.

4.2. Diseños modernos. Actualmente, estos diseños en canales mejoran la eficiencia del flujo de agua minimizando la pérdida de energía debido a la resistencia.

5. Estructuras antisísmicas

Las formas parabólicas también son utilizadas en zonas de actividad sísimica por su capacidad de disipar energía.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos son capaces de soportar deformaciones controladas durante movimientos telúricos, mantiendo la estructura.

5.2. Diseños innovadores. En edificios contemporáneos, se minimizan los daños tras un terremotos utilizando parábolas para reforzar componentes críticos.

10.3 Otras apliacaciones en ingeniería

Una de las propiedades fundamentales de la parábola es la capacidad de reflexión, que consiste en reflejar los rayos que incidan paralelamente a su eje hacia su foco.

Esta provoca su frecuente uso en tecnologías de concentración y dirección de energía, teniendo diversas aplicaciones; entre ellas:

1. Antenas parabólicas y radiotelescopios

Con el fin de captar y concentrar ondas electrpmagnéticas en su foco, donde se encuentra su receptor, las antenas parabólicas utilizan la forma parabólica. Esta tecnología es de gran importancia para las comunicaciones satelitales y la radioastronomia, al permitir captar señales desde lasrgas distancias.

2. Faros y linternas

También encontramos aplicaciones en objetos tan comunes como faros de vehículos y linternas, en los cuales se coloca una fuente de luz en el foco del paraboloide. La luz emitida es reflejada en la superficie parabólica y se proyecta como un haz paralelo, optmizando así el alcance y la dirección.

3. Concentradores de energía solar

Los paraboloides, en sistemas solares, concentran los rayos solares en un único punto, opteniendo altas temperaturas que pueden ser usadas para generar energía térmica o eléctrica. Esta tecnología se utiliza en plantas de energía solar de gran escala.

4. Micrófonos parabólicos

Utilizados en la industria del entretenimiento o la investigación, los micrófonos parabólicos reflejan las ondas hacia un micrófono en el foco del parabolide amplificando sonidos. Esto hace posible captar claramente sonidos provenientes de una dirección específica.

11 Bibliografía