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1 Introducción.

Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.

2 Dibujo de la curva.

La expresión matemática de la clotoide es:

Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:

La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide

clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;

3 Velocidad y aceleración.

Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide

t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t); 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ; 
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ; 
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ; 
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");

4 Longitud de la curva

La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:

Como se ha plasmado en el apartado anterior:

Cuyo módulo es:

Por tanto la longitud es:

5 Cálculo de los vectores tangente y normal

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:

El vector tangente:

El vector normal:

Figura 3. Curva vector tangente y normal

t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

6 Curvatura k(t).

Estudiaremos la curvatura de [math] γ(t) [/math] que se expresa de la siguiente forma:

La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 4: Gráfica de la curvatura

t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

7 Circunferencia osculatriz.

La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del latín osculum, que significa beso).
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= [math] \gamma (1.5) [/math], es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:

Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:

Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny =  cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r')      % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b')    % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off

8 La Clotoide aplicada a la ingeniería.

• Carreteras y ferrocarriles:

1. Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
2. Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
3. Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
4. Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

• Otras aplicaciones:

1. Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
2. Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno. 

• Propiedades clave 

1. Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
2. Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
3. Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente. 

9 Estructuras Civiles y la clotoide.

10 Superficie Reglada.

A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:

En función de u y v:

Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:

Figura 6. Helice cónica

u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100);     % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v);   % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie 
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar; 
c.Label.String='Valores en Z'; 
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y'); 
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico'); 
grid on;

11 Estructuras Civiles y la hélice cónica.

12 Masa de la superficie reglada.

Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f

Primero calculamos las derivadas de [math]\phi'_u [/math] y [math]\phi'_v [/math]

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz

Cuyo módulo es:

A continuacion se calcula [math] f(\phi(u,v))[/math]

Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:

clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);

13 Póster y enlace.

Archivo:La Clotoide g36.pdf