Revisión del 18:26 6 dic 2025

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional. Cumple la ecuación: [math] y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) [/math], siendo a un numero natural mayor que 0
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y a = 3:

1 Dibujo de la curva

Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:

Representación de la Catenaria

t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;

2 Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)

El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:

El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro t. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:

2.1 Representación en MATLAB

Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva

% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');

3 Longitud de la curva

La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo [math] t\in ({t_1},{t_2})[/math] viene dada por: [math] L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=[/math], siendo [math] |γ'(t)|[/math] el módulo del vector velocidad.
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: [math] \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) [/math] , del que obtenemos su módulo: [math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}[/math] = [math]\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}[/math].
Sustituyendo y operando en [math] t\in (-1,1)[/math] se obtiene:
[math] L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 [/math]

4 Vectores tangente [math]\vec{t}(t)[/math] y normal [math]\vec{n}(t)[/math]

El vector tangente [math]\vec{t}(t)[/math], unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: [math]\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]
En este caso queda: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} [/math]
Por otro lado, el vector normal [math]\vec{n}(t)[/math], también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: [math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], siendo [math]\vec{b}(t)[/math] el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math].

Por tanto [math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} [/math]

4.1 Representación en MATLAB

Vectores tangente y normal

% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')

5 Curvatura[math]\quad\kappa(t)[/math]

La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:[math]\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}[/math]
Por tanto, conociendo los vectores [math] γ'(t) [/math] y [math] γ''(t) [/math] obtenidos anteriormente, se calcula:
[math] κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} [/math] , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro t.

5.1 Representación en MATLAB

La representación en una gráfica de la curva: [math] κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} [/math] , en el intervalo [math]\quad t\in (-1,1)[/math].

% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor

6 Circunferencia osculatriz

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico.
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva [math]t_0[/math] se define como: [math]R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}[/math]
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a [math]\gamma(t_0=-0.5)[/math]:
[math]R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841[/math]
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: [math]\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)[/math]
Conociendo la curvatura [math]\kappa[/math] y el vector normal [math]\vec{n}[/math] , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a [math]\gamma(t_0=-0.5)[/math]:
[math]Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right) =\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)[/math]

6.1 Representación en MATLAB

Circunferencia osculatriz y Catenaria

% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')

7 Propiedades de la curva

La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad.
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente.
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

8 Ejemplos de la curva en construcciones civiles

Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos:

• 

  Puente de Manhattan (Nueva York)

• 

  Gateway Arch (San Luis, Misuri)

• 

  Golden Gate Bridge (San Francisco, California)

• 

  Catenaria ferroviaria

• 

  Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)

9 Catenaria y parábola

9.1 Representación en MATLAB

10 Catenoide

10.1 Representación en MATLAB

10.2 Ejemplos de la superficie en construcciones civiles

11 Función de densidad del catenoide

11.1 Distribución de la densidad y cálculo de la masa

La curva generatriz del catenoide viene dada por:

Al girarla alrededor del eje [math]x_3[/math], se obtiene la parametrización:

En forma vectorial:

Las derivadas parciales son:

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:

La densidad de la superficie es:

Por tanto, la integral de la masa queda:

11.2 Código MATLAB para calcular la masa

% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3; 
a = -1; b = 1; 
N = 20000;           % número de subintervalos
dt = (b-a)/N;        % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);

11.3 Resultado de la masa

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

donde se ha tomado [math]A = 3[/math] y los intervalos [math]t \in [-1,1][/math], [math]\theta \in [0,2\pi][/math].