Diferencia entre revisiones de «Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 01)»

Revisión del 16:06 6 dic 2025

Enlace al pdf del póster: Descargar póster de Coordenadas Cilíndricas Parabólicas GRUPO 01

Las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) son un sistema que generaliza las coordenadas planas al espacio tridimensional, definiendo la variable z como la altura. Este sistema es útil para la resolución de problemas con simetría parabólica, puesto que simplifica ecuaciones diferenciales parciales. Además de otros problemas de física e ingeniería como la difracción o el análisis de la distribución del potencial electrostático.

En el presente trabajo se estudiará este sistema partiendo de su transformación en cartesianas. La relación empleada es la siguiente:

Especificamos el dominio de las variables u,v y z:

Variables u y v del sistema de coordenadas, con z constante. Movimiento de la variable v respecto de u. Los vectores au, y su unitario eu, así como av y ev, son los vectores tangentes a las líneas coordenadas, y definen una base física junto con ez, del sistema cilíndrico parabólico.

El objetivo es analizar las magnitudes físicas del sistema, así como la obtención de expresiones para sus operadores vectoriales (gradiente, divergencia, rotacional). El análisis será explicado en detalle en los siguientes apartados.

1 Parametrización de las líneas/curvas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

1.1 Parametrización para cambio a cartesianas

A partir de la relación que vincula coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) con las cartesianas (x_1, x_2, x_3), se obtienen las siguientes expresiones:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): se mantienen v y z fijas y varía u.

\(\gamma_u (t)\) = \(\gamma_u (t, v, z)\):[math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2} , tv , z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): se mantienen constantes u y z, varía v.

\(\gamma_v(t)\) = \(\gamma_v(u, t, z)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): se mantienen constantes u y v, varía z.

\(\gamma_z(t)\) = \(\gamma_z(u, v, t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math]

1.2 Códigos y gráficas en Matlab

Representación gráfica lineas u y v en 2D (sin contar con z)

clear; 
clc;
figure;
hold on;

%Creación de los vectores
u = 0.5 : 0.05 : 5;
v = 0.5 : 0.05 : 5;
for i=-5:1:5
u_variable = i;
v_variable = i;

%Representación de la curva u, con v fijado 
x1_u = (u_variable.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u_variable .* v;
plot(x1_u, x2_u, 'm', 'LineWidth', 2);

%Representación de la curva v, con u fijado
x1_v = (u.^2 - v_variable.^2) / 2;
x2_v = u .* v_variable;
plot(x1_v, x2_v, 'r', 'LineWidth', 2);
end

%Configuración de la gráfica
title('Lineas u y v con distintos valores dados en 2D');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'Curva \gamma_u', 'Curva \gamma_v'}); 
grid on;
axis equal;
hold off;

Representación de plano con z constante

clear; 
clc;
figure;

%Creacion de los vectores
u = linspace(0, 2, 20);
v = linspace(0, 2, 20);
[U, V] = meshgrid(u, v);

%Ecuaciones
X = (U.^2 - V.^2) / 2;
Y = U .* V;
Z = zeros(size(X));

%Configuración de la gráfica
s = surf(X, Y, Z, 'FaceAlpha', 0.5, 'EdgeColor', 'm'); 
s.FaceColor = 'r';
title('Plano que forman los distintos valores de u y v en z=0');
xlabel('Eje x_1'); ylabel('Eje x_2'); zlabel('Eje x_3');
axis equal;
grid on;

2 Cálculos teóricos

2.1 Cálculo de los campos de velocidad

Los campos de velocidad son obtenidos mediante la derivación de las líneas coordenadas, cada una respecto de la variable que cambiaba con el tiempo.

• Derivada respecto de u

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial u}=u\\ \frac{\partial x_2}{\partial u}=v\\ \frac{\partial x_3}{\partial u}=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_u=u\vec{i}+v\vec{j} [/math]

• Derivada respecto de v

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial v}=-v\\ \frac{\partial x_2}{\partial v}=u\\ \frac{\partial x_3}{\partial v}=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_v=-v\vec{i}+u\vec{j} [/math]

• Derivada respecto de z

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial z}=0\\ \frac{\partial x_2}{\partial z}=0\\ \frac{\partial x_3}{\partial z}=1 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_v=\vec{k} [/math]

2.2 Cálculo de los módulos o factores de escala

Para obtener los vectores tangentes unitarios a las curvas, primero necesitamos las normas de cada campo de velocidad.

Para \(\gamma'_u\)→ [math] |\gamma'_u|= \boxed{h_u = \sqrt{u^2 + v^2}} [/math]

Para \(\gamma'_v\)→ [math] |\gamma'_v|= \boxed{h_v }= \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}=\boxed{ \sqrt{u^2+v^2}} [/math]

Para \(\gamma'_z\)→ [math] |\gamma'_z|=\boxed{ h_z = 1} [/math]

2.3 Cálculo de los vectores tangentes a las líneas coordenadas

Los vectores unitarios tangentes se calcularan dividiendo los campos de velocidad por sus respectivas normas.

[math] \vec{e_u}= \frac {\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) [/math]

[math] \vec{e_v}= \frac {\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) [/math]

[math] \vec{e_z}= \frac {\gamma'_z}{h_z} = \vec{k} [/math] (ya era unitario)

2.4 Comprobación de la base ortonormal orientada positivamente

Para comprobar la ortonormalidad se calculan los productos escalares y las normas, cuyos resultados tienen que ser 0 y 1, respectivamente.

\(\vec{e_u} \cdot \vec{e_v}\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j})\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) =0[/math]

\(\vec{e_v} \cdot \vec{e_z}\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j})\cdot(\vec{k}) =0[/math]

\(\vec{e_z} \cdot \vec{e_u}\) = [math](\vec{k})\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}(u \vec{i} +v \vec{j})=0[/math]

[math]|\vec{e_u}|=|\vec{e_v}|=|\vec{e_z}|= 1 [/math]

En cuanto orientación, hay que comprobar que [math] \vec{e_z}=\vec{k}=\vec{e_u} \times \vec{e_v} [/math] , puesto que su signo depende de está operación. Es decir, que si el valor calculado con el producto vectorial coincide con el ya calculado en el apartado 2.3 ,[math] \vec{e_z} [/math] ,estará orientado positivamente.

[math] \vec{e_u} \times \vec{e_v}=\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e_z} [/math]

2.5 Códigos y gráficas de Matlab: vectores tangentes a las líneas coordenadas

clear;clc

%Vectores a emplear
u=linspace(0.5,5,100); %Valores de u
v=linspace(0.5,5,100);%Valores de v

%Punto donde se cortan las curvas (interes para los vectores unitarios)
u_punto=1; %(u0,v0)
v_punto=1;
%Coordenadas cartesianas del punto (x1,x2)
x1_punto=(u_punto^2-v_punto^2)/2;
x2_punto=u_punto*v_punto;

%Lineas de coordenadas

%Curva Y_u: fijamos v(v_fijo) y es u quien se mueve en el tiempo (u=libre)
v_fijo=v_punto;
x1_u=(u.^2-v_fijo^2)/2;
x2_u=u.*v_fijo;

%Curva Y_v: fijamos u(u_fijo) y v es quien se mueve en el tiempo (v=libre)
u_fijo=u_punto;
x1_v=(u_fijo^2-v.^2)/2;
x2_v=(u_fijo).*v;

%Vectores tangentes (unitarios): e_u y e_v
%Vectores
vu=[u_punto,v_punto];
vv=[-v_punto,u_punto];
%Norma común
n=norm(vu);
%Unitarios
e_u=vu/n;
e_v=vv/n;

%Gráfico
figure;
hold on; grid on;
%Linea coordenada Y_u
plot(x1_u,x2_u,'b','LineWidth',1.5);
%Línea coordenada Y_v
plot(x1_v,x2_v,'r', 'LineWidth',1.5);
%Vector tangente unitario a Y_u 
quiver(x1_punto,x2_punto,e_u(1),e_u(2),'c','LineWidth',1.5);
%Vector tangente unitario a Y_v
quiver(x1_punto,x2_punto,e_v(1),e_v(2),'m','LineWidth',1.5);

%Estética del gráfico
title('Vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadadas');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
xlim([-2 2]);
ylim([0 2]);
legend('Línea \gamma_u','Línea \gamma_v','Vector e_u','Vector e_v','Location','southeast');
axis equal;
hold off;

3 Matrices de cambios de base

La matriz Q que transforma los vectores de la base [math] (\vec{e_u}, \vec{e_v},\vec{e_z}) [/math] a la base cartesiana [math] (\vec{i}, \vec{j},\vec{k}) [/math] es:

[math] Q=\begin{bmatrix} \vec{e_u}|& \vec{e_v}|& \vec{e_z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_u} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Para pasar un vector de coordenadas cilíndricas a cartesianas se llevará a cabo la siguiente operación:

[math] \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}= Q · \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix} [/math]

La matriz inversa [math] Q^{-1} = Q^t [/math] , transforma vectores del sistema cartesiano al cilíndrico parabólico.

[math] Q^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_u} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]
Mediante la misma operación anterior conseguimos un vector en coordenadas cilíndricas parabólicas.

[math] \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix}= Q^{-1} · \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} [/math]

4 Expresión del campo de posición [math]\vec{r} [/math], en la base [math] (\vec{e_u}, \vec{e_v},\vec{e_z}) [/math]

Primero usamos la relación entre cartesianas y cilíndricas parabólicas:

Estas coordenadas definirán mi vector [math]\vec{v}=v_1\vec{i} + v_2\vec{j} + v_3\vec{k}[/math], que se sustituirá en la fórmula que transforma vectores del sistema cartesiano al cilíndrico parabólico:

[math] \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix}= Q^{-1} · \begin{bmatrix} \frac{u^2-v^2}{2}\\ uv \\ z \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}\begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} \frac{u^2-v^2}{2}\\ uv \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix} [/math]

Por lo tanto, [math] \vec{r}(u, v, z)=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \vec{e_u} + \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \vec{e_v} + z \vec{e_z} [/math].

5 Cálculo del gradiente

Sea [math]f : D \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}[/math] un campo escalar, expresamos el gradiente [math]\nabla f[/math] como la suma de las derivadas parciales respecto de cada coordenada del sistema, y teniendo en cuenta también los factores de escala [math]h_u[/math], puesto que se está trabajando en un sistema de coordenadas diferente al cartesiano. Ésta es la expresión general del gradiente:

Aquí, [math]q_i[/math] son las [math]i[/math] coordenadas del sistema en cuestión, al estar en [math]\mathbb{R}^3[/math], [math]i[/math] tomará los valores [math]i = 1,2,3[/math], y [math]\hat{e}_i[/math] son los vectores de la base, es decir forman la base física del sistema. Definimos el operador nabla, necesarios para el cálculo de no sólo el gradiente, sino también la divergencia y el rotacional, como:

Para las coordenadas cilíndricas parabólicas, la expresión del gradiente es la siguiente:

Se nos da un campo escalar en coordenadas cartesianas, que fácilmente pasamos a coordenadas parabólicas sustituyendo: [math]f(x_1,x_2,x_3) = x_2 = uv[/math], y un punto [math] \text{P} = (x_1,x_2,x_3) = (0,1,1)[/math]. Para pasar P a coordenadas cilíndricas parabólicas, tenemos dos opciones. La más sencilla, sustituir el punto en el sistema de coordenas directamente, y hallas los valores de u y v resolviendo un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Sin embargo, conociendo la transformación inversa de coordendas cartesianas a parabólicas, podemos sustituir en dichas ecuación y hallar también de esa manera P(u,v,z). Sustituyendo directamente [math] \text{P} = (x_1,x_2,x_3) = (0,1,1)[/math] en el sistema:

Por tanto, el punto P en coordenadas cilíndricas parabólicas es [math] P(u,v,z) = (1,1,1)[/math].

Alternativamente, se define la transformación inversa:

Si sustituimos (0,1,1) por (x1,x2,x3), hallamos la misma solución [math]P(u,v,z) = (1,1,1)[/math]. Realizando las derivadas parciales, y sustituyendo los factores de escala, calculados previamente en el apartado 2.2, obtenemos,

Ese sería el gradiente independientemente del punto en el que estemos, ahora sustituimos en nuestro punto [math] P(u,v,z) = (1,1,1)[/math]:

Otra forma de calcularlo, que no es pedida, es hallando el gradiente en coordenadas cartesianas. Al ser un campo vectorial, podemos pasar el vector de la base cartesiana a la base cilíndrica parabólica mediante la matriz de cambio de base inversa [math]Q^{-1}[/math], definida en el apartado 3.

Y ahora sustituyendo en P, obtenemos la misma solución:

6 Calculo de la divergencia

Sea un campo vectorial [math]\vec{u} : D \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathcal{V}[/math], el operador divergencia nos transforma ese campo vectorial a un campo escalar. La divergencia del campo vectorial posición [math]\vec{r} = x^1\,\hat{e}_1 + x^2\,\hat{e}_2 + x^3\,\hat{e}_3[/math], cuya base física es la cartesiana, se ha definido en la base física parabólica cilíndrica en la sección 4, [math]\vec{r} = x^u\,\mathbf{e}_u + x^v\,\mathbf{e}_v + x^z\,\mathbf{e}_z[/math].

Al no ser coordenadas cartesianas, la expresión general de la divergencia se complica, ya que hay que considerar los factores de escala.

Se vuelve a recordar algunas componentes que aparecen en la expresión:

Ahora el problema se reduce a sustituir en la ecuación y operar:

Por tanto, la divergencia del campo posición en coordenadas cilíndricas parabólicas es 3. Este valor no es casual, el vector posición siempre nos dará una divergencia igual a la dimension del espacio vectorial.

7 Cálculo del rotacional

El rotacional de un campo vectorial [math]\vec{F}[/math] tiene como expresión general, en la base física cartesiana:

Al cambiar de base física a la parabólica cilíndrica, ésta se complica, puesto que aparecen los factores de escala

En esta ocasión nuestro campo vectorial es el campo posición [math]\vec{r}[/math]. Las componentes del campo posición en la base física parabólica cilíndrica ya se ha hallado en la sección 4, además de los factores de escala en 2.2. Por tanto, si sustituimos en el determinante y resolvemos:

El rotacional del campo posición es el vector nulo. El campo posición es un campo vectorial conservativo, con lo cual se podría hallar un campo escalar, una función potencial, cuyo gradiente nos devuelve [math]\vec{r}[/math]. Sin embargo, el mismo resultado se podría haber hallado de una manera mucho más sencilla, con la expresión del rotacional en la base cartesiana, debido a que las derivadas parciales del vector posición en cartesianas son muy fáciles de calcular, y se puede ver que es irrotacional. Un campo irrotacional, lo es en cualquier base física sobre la que trabajemos.

8 Superficies de nivel

8.1 Clasificación de las superficies. Ecuaciones cuádricas.

Una superficie de nivel se define, para un campo escalar f, aplicado en un punto genérico P(u,v,z) como:

Es decir igualamos el campo escalar a una constante c. Dados los 3 siguientes campos escalares, hallamos sus superficies de nivel,

Como vemos, los campos escalares que nos dan son las variables del sistema cilíndico parabólico u,v y z respectivamente. Por tanto, las superficies de nivel coinciden con las superficies coordenadas del sistema. Estas superficies las representaremos en MATLAB, manteniendo constante la coordenada en cuestión, y variando las dos restantes. Si, mediante las relaciones de transformación inversa descritas en el apartado 5, convertimos u y v a coordenadas cartesianas, y las igualamos a la constante c, obtenemos una ecuación cuádrica, son polinomios de 2º grado en 3 variables, que podemos representar matricialmente, hallar sus autovalores, signatura y rango, para poder clasificar las superficies.

Ésta es la ecuación cuádrica para la superficie de nivel u=c. La matriz [math]\text{A}^{\ast}[/math] de la cuádrica es:

Y la parte cuadrática de la matriz es:

A es simétrica y por tanto diagonalizable. Para clasificar la ecuación cuádrica, debemos hallar la signatura de A, y por tanto los autovalores de la matriz. En este caso, dos filas de la matriz son filas nulas, por tanto existe el autovalor nulo doble, y en la segunda fila un 1 en [math]a_{22}[/math].

Conocemos los autovalores y los determinantes de las matrices;

Podemos clasifificar la cúadrica, en un Cilindro Parabólico Rotacionalmente Simétrico.

Para la segunda superficie de nivel, v=c, el procedimiento es el mismo:

Esa sería la ecuación cuadrátrica de segundo grado, lo expresamos matricialmente y obtenemos sus autovalores y determinantes.

También se trata de un Cilindro Parabólico.

El tercer caso z=cte es más sencillo. Las variables u y v recorren [math]\mathbb{R}^2[/math], por tanto tenemos planos paralelos, dependiendo del valor de c.

8.2 Superficies regladas

Las superficies regladas son aquellas generadas por una recta móvil, y esa recta genera una superficie, que parametrizamos:

[math]\gamma(v)[/math] es la curva, una parábola, [math]\vec{w}(v)[/math] es el campo vectorial que aporta dirección a la curva, [math]u[/math] determina el movimiento sobre la curva.

Para la superficie de nivel u=c

Esta curva traza una parabola en el plano, si tomamos el vector director en dirección k (0,0,1) se construye el cilindro parabólico

Para la superficie de nivel v=c, procedemos de la misma manera

Para la superficie de nivel z=c, es simplemente un plano

Por tanto, al haber sido capaces de expresar las superficies mediante la parametrización dada en la definición, estas superficies son regladas

8.3 Usos de las superficies regladas

Se emplean principalmente en arquitectura, en el diseño de estructuras, motores, torres de enfriamiento, escaleras. Por ejemplo, las toberas, elementos de los motores de los cohetes, empleados para generar un empuje, usan superficies parabólicas regladas.

8.4 Representación de las superficies de nivel en MATLAB

Representación gráfica de las superficies de nivel
clear;
clc; 
figure;

%Valores
rango_general = linspace(-2, 2, 22);
rango_general_general = linspace(-2, 2, 22);
ufijo = 2;
vfijo = 2;
zfijo = 2;
[v1, z1] = meshgrid(rango_general, rango_general_general); 
[u2, z2] = meshgrid(rango_general, rango_general_general); 
[u3, v3] = meshgrid(rango_general, rango_general_general);

%Ecuaciones
x1 = 0.5.*(ufijo^2 - v1.^2);
y1 = ufijo .* v1;
x2 = 0.5 * (u2.^2 - vfijo.^2);
y2 = u2 .* vfijo;
x3 = 0.5 * (u3.^2 - v3.^2);
y3 = u3 .* v3;
z3 = zfijo * ones(size(x1));

%Configuración de gráficas
subplot(1, 3, 1);
surf(x1, y1, z1,'EdgeColor', 'm');
title('Superficie de nivel f_1(u,v,z)');
xlabel('x_1'); 
ylabel('x_2'); 
zlabel('x_3');
axis tight; grid on; view(135, 30); 

subplot(1, 3, 2);
surf(x2, y2, z2,'EdgeColor', 'm');
title('Superficie de nivel f_2(u,v,z)');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
axis tight; grid on; view(135, 30);

subplot(1, 3, 3);
surf(x3, y3, z3,'EdgeColor', 'm');
title('Superficie de nivel f_3(u,v,z)');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
axis tight; grid on; view(135, 30);
colormap jet;

9 Curvatura

9.1 Cálculo de la curvatura

Dada la parábola:

[math] y=-Ax^2+B; [/math] dónde [math] A=3 y B=1; x ∈ [−1, 1] [/math]

Resultando:

[math] y=-3x^2+1; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]

Para nuestro caso, en el plazo z=0 (puede ser con z cualquiera siempre que sea un plano), tomamos y=f(x) y x=x resultando: [math] \vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k} [/math]

[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]

[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: [math]|\vec{v}(x)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(x))^2}\right)^3[/math]

[math] f(x)=-3x^2+1 [/math]

[math] f'(x)= -6x [/math]

[math] f''(x)= -6 [/math]

Sustituyendo, la curvatura finalmente sale:

[math] \kappa(x)=\frac{6}{(1+36x^2)^{3/2}} [/math]

Ahora, evaluamos los puntos críticos de la parábola, que son: x=-1, x=1, x=0.

1. Para [math]x = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = 0,027 [/math]

2. Para [math]x = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = 0,027 [/math]

3. Para [math]x = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{-6}{(1)^{3/2}} = 6 [/math]

9.2 Función de la curvatura en matlab

Representación gráfica de la funcíon de la curvatura cuando x∈[−1,1]
clear; 
clc;
figure;


%Asignación de valores
x = linspace(-1, 1, 1000); 
derf1 = -6 * x;    
derf2 = -6;         

%Curvatura
n = abs(derf2);
d = (1 + derf1.^2).^(3/2);
k = n ./ d;

%Configuración del gráfico
plot(x, k, 'm', 'LineWidth', 2);
title('representación de la función de curvatura');
xlabel('x');
ylabel('Curvatura');
xlim([-1 1]);           
grid on;

10 Información sobre la parábola y su uso en la ingeniería

10.1 ¿Qué es la parábola?

En matemáticas, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a una generatriz. También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan a la recta llamada directriz y un punto llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante.

10.2 Aplicaciones de la parábola en ingeniería civil y arquitectura

Tanto en ingeniería civil y arquitectura es muy fácil encontrar parábolas. Esto se debe a: la forma en U de la parábola que distribuye la cargas uniformemente, el aprovechamiento de los recursos (materiales de construcción) para producir muy pocos residuos, el atractivo visual de su diseño (patrones elegantes y armónicos), etc.

Akashi kaikyō (Japón)

1. PUENTES

• Puentes colgantes
  

Los cables principales de un puente colgante adoptan una curva parabólica. La carga aplicada en los extremos del puente se transmite a lo largo de los cables de suspensión y se distribuye a lo largo de la curva de manera uniforme. La carga se transfiere al tablero y luego a los cables verticales, que transmiten la carga por tracción a los cables principales, que están bajo tensión. Esa tensión es contrarrestada por la compresión que soportan los pilares o torres, que dirigen la compresión hacia las fundaciones y los anclajes en tierra. Esto ayuda a evitar la aparición del momento flector y proporciona una mayor estabilidad y resistencia al puente. Además, es un puente utilizado también por motivos estéticos.

Sydney Harbour Bridge (Australia)

• Puentes en arco
  

La principal propiedad de la parábola en los puentes en arco es su eficiencia para la distribución uniforme de cargas verticales, lo que minimiza la presencia de esfuerzos cortantes y de flexión, predominando los esfuerzos axiles de compresión. Además contribuye a un mayor empuje en la base del arco, incrementando la estabilidad del puente. Su diseño permite abarcar espacios más amplios en comparación con otros tipos de arcos, lo que resulta ideal para proyectos de gran envergadura.

Presa de Aldeadávila (Salamanca)

2. PRESAS
Las presas son estructuras hidrostáticas que soportan la presión horizontal del agua. Concretamente las presas de arco transmiten esa presión hacia los laterales del valle que suelen estar compuestos de roca dura. El diseño parabólico optimiza el flujo del agua evitando la erosión y reduciendo el impacto medio ambiental.

Geometría de la carretera

3. CARRETERAS
Las parábolas son frecuentemente empleadas en carreteras que conectan diferentes pendientes. Estas curvas verticales o transiciones parabólicas garantizan una alineación suave entre las tangentes traseras y delanteras. Su diseño equilibra factores como la distancia de visibilidad, el movimiento de tierras óptimo y las pendientes adecuadas. Estas curvas son cruciales para conseguir diseños de carreteras funcionales y económicos y satisfacer las demandas de la infraestructura de transporte moderna.

Túnel de la Cara del Moral (Málaga)

4. TÚNELES
Un túnel es una obra subterránea de carácter lineal, cuyo objetivo es la comunicación entre dos punto, para el transporte de personas, tráfico, mercancías o agua (acueductos-aprovechamiento hidroeléctrico-). Las parábolas permiten determinar el ancho y el alto del túnel, al igual que las dimensiones de un vehículo. De este modo se puede averiguar la altura máxima con la que un vehículo puede transitar incluso con carga adicional.

Centro Heydar Aliyev de Zaha Hadid (Azerbaiyán)

5. CUBIERTAS ARQUITECTÓNICAS
El techo o cubierta de varios edificios suele presentar arcos parabólicos, usados por: su eficiencia estructural y distribución de cargas; su cobertura de grandes áreas sin necesidad de pilares (estadios); su forma aerodinámica que resiste al viento y a la nieve; y su estética.

Arquitectos como, Zaha Hadid que consigue crear espacios dinámicos e innovadores con estilos deconstructivistas y futuristas o Antonio Gaudí cuyo estilo era una manifestación del modernismo catalán mediante curvas orgánicas y formas vegetales, usaron la parábola en diversas obras.

10.3 Otros usos de la parábola

Baloncesto

10.3.1 Por sus características mecánicas (movimiento y fuerzas que lo provocan)

Uno de los movimientos más estudiados en física es el parabólico, que se puede descomponer en un movimiento rectilíneo uniforme el eje de las x (en horizontal) y el un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje de las y (en vertical) por la acción de la gravedad. Su análisis sirve para predecir trayectorias de proyectiles o balones, por ello es constantemente empleado en las ramas de deportes, balística, aviación e ingeniería aeroespacial.

10.3.2 Por sus características ópticas (comportamiento de la luz)

Las parábolas tienen una propiedad de reflexión única: cualquier rayo que entra perpendicular a la directriz (paralelo al eje focal) se refleja y pasa directamente por el foco. Si se estudia a la inversa, se observa que todo rayo originado en el foco es paralelo al eje focal. A continuación se expondrán algunos ejemplos donde se tiene en cuenta está propiedad:

Antena parabólica

1. Antenas parabólicas
La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico (forma de plato cóncavo). Se utiliza para enfocar las ondas electromagnéticas en un punto específico, conocido como foco, o para emitirlas de forma concentrada. Esta capacidad de concentrar la energía en una dirección específica (o de un punto específico) le otorga una alta directividad y, por lo tanto, una alta ganancia de señal. Las antenas parabólicas pueden ser transmisoras, receptoras o full dúplex (reciben y transmiten simultáneamente). Este tipo de tecnología es esencial para la comunicación vía satélite y radioastronomía.

Faro del coche

2. Faros y linternas
Los faros de la calle o del coche y las linternas usan igualmente la propiedad de reflexión de las parábolas. Esto se emplea para evitar que la luz se disperse y permitir que el haz luminoso viaje más lejos y con mayor intensidad, proporcionando una iluminación eficaz en la oscuridad.

Horno solar portátil

3. Hornos solares
En un horno solar, la parábola se utiliza como pantalla reflectante para concentrar la luz solar en un punto focal .El recipiente de cocción se coloca en el foco, donde la energía solar se concentra para cocinar alimentos. A veces, son usados para tratamiento térmico de materiales como la madera, plásticos y productos químicos. Lo bueno del horno es que no funciona con combustible y utiliza el sol una fuente de energía renovable.

11 Bibliografía

• La parábola en la ingeniería. [1]
• Antenas parabólicas. [2]
• Antena parabólica. [3]
• Mathspace – Vector calculus. [4]
• Fuerzas que intervienen en un puente colgante – FINAL. [5]
• Lectura 11 – Puentes. [6]
• Arco simple – Presas. [7]
• Tipos de presa – Iberdrola. [8]
• Introduction to vertical curves. [9]
• Cónicas en ingeniería civil. [10]
• Superficie reglada. [11]
• Notas breves sobre curvas planas y superficies regladas. [Moodle de la asignatura]
• Tema 2: Campos tensoriales y operadores diferenciales. [Apuntes de Moodle]
• Coordinates. Part 1. Wolfram Neutsch, De Gruyter, pp. 1186–1187.
• Field Theory Handbook. 2nd Edition. P. Moon y D. E. Spencer, sección 8.2.
• The LaTeX Companion. 2nd Edition. Frank Mittelbach y Michel Goossens.
• YouTube – Video. [12]
• Parabolic cylindrical coordinates – Wolfram Demonstrations Project. [13]
• Trabajos de otros años