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=== Cálculo de los vectores velocidad y aceleración ===
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==Longitud de la curva==
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===Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica===
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===Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB===
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== Vector tangente y normal de la curva ==
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===Cálculo de la tangente===
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Módulo de la velocidad: <br />
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Vector tangente: <br />
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===Cálculo de la normal===
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Producto vectorial <math>\vec v × \vec a  </math> :<br />
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Módulo de <math>\vec v × \vec a  </math> :<br />
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Vector normal: <br />
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== Curvatura==
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==La Cicloide en la ingeniería civil==
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===Museo del Arte Kimbell===
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Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.<br />
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[[Archivo:Cicloidemuseo.jpg|600px|Figura 1. Museo]]
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===Cycloïd Piazza===
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Una instalación creada por Raphaël Zarka, fue inagurada en 2024 en la plaza del Centre Pompidou de París. La estructura es una escultura formada por superficies curvas basadas en la cicloide.
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===Hopkins Center for the Arts===
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[[Archivo:Hopkings.jpg|600px|Figura 2. Pista de skate]]
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== Bibliografía ==
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https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0
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https://purodiseno.lat/tendencias/un-artista-diseno-una-espectacular-pista-de-skate-en-el-centro-pompidou-para-los-juegos-olimpicos-paris-2024/

Revisión del 17:03 5 dic 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título La Cicloide. Grupo 49.
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores Bruno Goméz Vergara
Irene Yuan González Laruas
Elisa Amelia Lincango Sarango
Belén Mena Velasco
Adrián Menéndez Alonso
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, donde Res un número positivo fijado:
[math] γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math], [math] t ∈ (0,2π)[/math]

2 Representación de la curva

Figura 1. Representación del cicloide
% Datos
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
%Dibujo
figure;
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

3 Vector velocidad y aceleración

3.1 Cálculo de los vectores velocidad y aceleración

Vector velocidad:
[math] γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) [/math]
Vector aceleración:
[math] γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) [/math]

3.2 Representación de los vectores velocidad y aceleración

Representación de la velocidad en MATLAB:

Figura 2. Representación de la velocidad
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
vx=R*(1-cos(t)); % Vectores de la velocidad
vy=R*(sin(t)); %Vectores de la velocidad
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
 % Dibujo vectores velocidad
for i=1:3:100
    quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
hold off


Representación de la aceleración en MATLAB:

Figura 3. Representación de la aceleración
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
ax=R*(sin(t)); % Vectores aceleración
ay=R*(cos(t)); % Vectores aceleración

% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
% Dibujo vector aceleración
for j=1:3:100
    quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,8])
legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
hold off


4 Longitud de la curva

4.1 Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica

Longitud de la curva:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt [/math]

4.2 Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB


5 Vector tangente y normal de la curva

5.1 Cálculo de la tangente

Módulo de la velocidad:
[math] |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} [/math]
Vector tangente:
[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}[/math]

5.2 Cálculo de la normal

Producto vectorial [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math]\vec v × \vec a=\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 1-cost& sent &0\\ sent & cost & 0 \end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost)\vec k [/math]
Módulo de [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math] |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) [/math]
Vector binormal:
[math]\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k [/math]
Vector normal:
[math] \vec n(t) = \vec b× \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 0& 0 &-1\\ 1-cost& sent & 0 \end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

6 Curvatura

[math] \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]

7 La Cicloide en la ingeniería civil

7.1 Museo del Arte Kimbell

Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.
Figura 1. Museo

7.2 Cycloïd Piazza

Una instalación creada por Raphaël Zarka, fue inagurada en 2024 en la plaza del Centre Pompidou de París. La estructura es una escultura formada por superficies curvas basadas en la cicloide. Figura 2. Pista de skate

7.3 Hopkins Center for the Arts

Figura 2. Pista de skate


8 Bibliografía

https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0 https://purodiseno.lat/tendencias/un-artista-diseno-una-espectacular-pista-de-skate-en-el-centro-pompidou-para-los-juegos-olimpicos-paris-2024/

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