Vortice de Rankine (Grupo 38) - Historial de revisiones

J.granda en 23:27 6 dic 2025

2025-12-06T23:27:17Z

J.granda: /* Cálculo de la divergencia */

2025-12-05T09:01:07Z

‎Cálculo de la divergencia

J.granda: /* Introducción */

2025-12-05T08:59:46Z

‎Introducción

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

J.granda en 08:43 5 dic 2025

2025-12-05T08:43:14Z

J.granda en 08:42 5 dic 2025

2025-12-05T08:42:53Z

J.granda en 08:25 5 dic 2025

2025-12-05T08:25:22Z

J.granda en 08:13 5 dic 2025

2025-12-05T08:13:30Z

J.granda: /* Superficies isobáricas */

2025-12-04T18:59:49Z

‎Superficies isobáricas

J.granda en 18:59 4 dic 2025

2025-12-04T18:59:22Z

J.granda en 18:47 4 dic 2025

2025-12-04T18:47:00Z

@@ Línea 2: / Línea 2: @@
 [[Categoría:Teoría de Campos]]
 [[Categoría:TC25/26]]
+[https://upm365-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/jaime_granda_alumnos_upm_es/EUlEr7xo1P5DkydtVPScpsoB5j7lFtP8JV5CaCxj0PeVkA?e=WtPRvx Póster]
 == Introducción ==
 Se define el vórtice de Rankine como un modelo simplificado de rotación de fluidos, muy útil a la hora de modelizar tornados y huracanes.

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 Para calcular analíticamente la divergencia del campo <math>\overrightarrow{v}</math> usamos la fórmula de la divergencia en coordenadas cilíndricas y calculamos para ambos casos posibles. <br/>
 En el caso de que <math>\rho \le 250</math> tenemos que <math>\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho \overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{9}{25}\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math> y aplicando la fórmula de la divergencia obtenemos <math>\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{9}{25}\rho) }{\partial \theta})=0</math> <br/>
-Por el otro lado tenemos la rama en la que <math>\rho \lt 250</math> y simplificando por esta rama obtenemos <math>\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi \rho}\overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{22500}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math> y aplicando la misma fórmula de antes obtenemos <math>\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{25000}{\rho}) }{\partial \theta})=0</math> <br/>
+Por otro lado tenemos la rama en la que <math>\rho \lt 250</math> y simplificando por esta rama obtenemos <math>\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi \rho}\overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{22500}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math> y aplicando la misma fórmula de antes obtenemos <math>\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{25000}{\rho}) }{\partial \theta})=0</math> <br/>
 Como ambas ramas dan el mismo resultado podemos afirmar claramente que <math>\nabla \bullet \overrightarrow{v}=0 </math> <br/>
 Este resultado se podia ver claramente con un poco de conocimiento de la fórmula y de derivadas parciales, ya que se puede ver que la componente <math>\theta</math> de la velocidad sólo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math> <br/>
 '''Significado físico del resultado''' <br/>
 La divergencia indica si entra más o menos flujo en una región. Si este resultado es 0 significa que el flujo es constante. Esto es típico de modelos ideales, tales como el que estamos estudiando, en el que el fluido ni se comprime ni se expande.
 === Cálculo del rotacional ===
 Para el cálculo del rotacional podemos usar los valores de <math>\overrightarrow{v}</math> que hemos previamente calculado ya. <br/>

@@ Línea 4: / Línea 4: @@
 == Introducción ==
-El vórtice de Rankine es un modelo simplificado de rotación de fluidos. Es muy útil para la modelización de tornados y huracanes, con centros
+Se define el vórtice de Rankine como un modelo simplificado de rotación de fluidos, muy útil a la hora de modelizar tornados y huracanes.
 == Campo de velocidades ==
 === Cálculo de la circulación ===

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 }}
 === Fuerza destructiva hacia una superficie ===
-Tomando una casa con pared de <math>50m^{2}</math> a una distancia <math>\frac{3}{4}R=187,5m</math> del centro del vórtice dado, podemos obtener la fuerza ejercida sobre la pared, orientada perpendicularmente al tornado usando el gradiente de presiones, y solo su componente <math>\overrightarrow{e_{\rho}}</math> y resolviendo el siguiente problema <math<F=A*\int_{\rho}^{R}\nabla P_{\rho} d\rho=50*\int_{187,5}^{250}0,15876\rho d\rho=50*[0,07938\rho^{2}]_{187,5}^{250}=50*0,07938*[250^{2}-187,5^{2}]=108527,3438N=10,85tf</math>.<br/>
+Tomando una casa con pared de <math>50m^{2}</math> a una distancia <math>\frac{3}{4}R=187,5m</math> del centro del vórtice dado, podemos obtener la fuerza ejercida sobre la pared, orientada perpendicularmente al tornado usando el gradiente de presiones, y solo su componente <math>\overrightarrow{e_{\rho}}</math> y resolviendo el siguiente problema <math>F=A*\int_{\rho}^{R}\nabla P_{\rho} d\rho=50*\int_{187,5}^{250}0,15876\rho d\rho=50*[0,07938\rho^{2}]_{187,5}^{250}=50*0,07938*[250^{2}-187,5^{2}]=108527,3438N=10,85tf</math>.<br/>
 Asi obtenemos que sobre la fachada de la casa dada a la distancia dada se ejerce una fuerza de 10,85 toneladas fuerza sobre ella.

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Línea 187:		Línea 187:
	grid		grid
	}}		}}
		+	=== Fuerza destructiva hacia una superficie ===
		+	Tomando una casa con pared de <math>50m^{2}</math> a una distancia <math>\frac{3}{4}R=187,5m</math> del centro del vórtice dado, podemos obtener la fuerza ejercida sobre la pared, orientada perpendicularmente al tornado usando el gradiente de presiones, y solo su componente <math>\overrightarrow{e_{\rho}}</math> y resolviendo el siguiente problema <math<F=A\int_{\rho}^{R}\nabla P_{\rho} d\rho=50\int_{187,5}^{250}0,15876\rho d\rho=50[0,07938\rho^{2}]_{187,5}^{250}=500,07938*[250^{2}-187,5^{2}]=108527,3438N=10,85tf</math>.<br/>
		+	Asi obtenemos que sobre la fachada de la casa dada a la distancia dada se ejerce una fuerza de 10,85 toneladas fuerza sobre ella.

@@ Línea 161: / Línea 161: @@
 Para representar las superficies isobáricas pedidas usamos el siguiente código
 [[Archivo:SuperficiesIsobaricas.png|miniaturadeimagen|Representación de las superficies isobáricas]]
 {{matlab|codigo=
 r=linspace(0,1000,1000);

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Línea 159:		Línea 159:
	Según se puede ver en la representación gráfica el gradiente apunta predominantemente en la dirección <math>\overrightarrow{e_{\rho}}</math>, que es alejándose del centro del vórtice. También tiene un pequeño componente en <math>\overrightarrow{e_{z}}</math> aunque es constante e invariable.		Según se puede ver en la representación gráfica el gradiente apunta predominantemente en la dirección <math>\overrightarrow{e_{\rho}}</math>, que es alejándose del centro del vórtice. También tiene un pequeño componente en <math>\overrightarrow{e_{z}}</math> aunque es constante e invariable.
	=== Superficies isobáricas ===		=== Superficies isobáricas ===
		+	Para representar las superficies isobáricas pedidas usamos el siguiente código
		+	[[Archivo:SuperficiesIsobaricas.png\|miniaturadeimagen\|Representación de las superficies isobáricas]]
		+	{{matlab\|codigo=
		+	r=linspace(0,1000,1000);
		+	th=linspace(0,2*pi,360);
		+	[Mr,Mth]=meshgrid(r,th);
		+	Mz=(0.07938.*Mr.^2-3000)/12.642;
		+	Mz(Mr>250)=(6325-(506250000./Mr(Mr>250).^2))./12.642;
		+	Mx=Mr.*sin(Mth);
		+	My=Mr.*cos(Mth);
		+	hold on
		+	mesh(Mx,My,Mz);
		+	Mz=(0.07938.*Mr.^2-5000)/12.642;
		+	Mz(Mr>250)=(4325-(506250000./Mr(Mr>250).^2))./12.642;
		+	mesh(Mx,My,Mz);
		+	Mz=(0.07938.*Mr.^2-7000)/12.642;
		+	Mz(Mr>250)=(2325-(506250000./Mr(Mr>250).^2))./12.642;
		+	mesh(Mx,My,Mz);
		+	Mz=(0.07938.*Mr.^2-8000)/12.642;
		+	Mz(Mr>250)=(1325-(506250000./Mr(Mr>250).^2))./12.642;
		+	mesh(Mx,My,Mz);
		+	legend('Isobara 950mbar','Isobara 970mbar','Isobara 990mbar','Isobara 1000bar')
		+	title('Superficies isobáricas de distintas presiones')
		+	view(3)
		+	axis equal
		+	grid
		+	}}

← Revisión anterior		Revisión del 18:59 4 dic 2025
Línea 159:		Línea 159:
	Según se puede ver en la representación gráfica el gradiente apunta predominantemente en la dirección <math>\overrightarrow{e_{\rho}}</math>, que es alejándose del centro del vórtice. También tiene un pequeño componente en <math>\overrightarrow{e_{z}}</math> aunque es constante e invariable.		Según se puede ver en la representación gráfica el gradiente apunta predominantemente en la dirección <math>\overrightarrow{e_{\rho}}</math>, que es alejándose del centro del vórtice. También tiene un pequeño componente en <math>\overrightarrow{e_{z}}</math> aunque es constante e invariable.
	=== Superficies isobáricas ===		=== Superficies isobáricas ===
−	~~[[Archivo:IsobarasRankine.png\|miniaturadeimagen\|Representación de las isobaras pedidas]]~~
−	~~{{matlab\|codigo=~~
−	~~r=linspace(0,1000,1000);~~
−	~~z=(0.07938.*r.^2-3000)/12.642;~~
−	~~z(r>250)=(6325-(506250000./r(r>250).^2))./12.642;~~
−	~~hold on~~
−	~~plot(r,z);~~
−	~~z=(0.07938.*r.^2-5000)/12.642;~~
−	~~z(r>250)=(4325-(506250000./r(r>250).^2))./12.642;~~
−	~~plot(r,z);~~
−	~~z=(0.07938.*r.^2-7000)/12.642;~~
−	~~z(r>250)=(2325-(506250000./r(r>250).^2))./12.642;~~
−	~~plot(r,z);~~
−	~~z=(0.07938.*r.^2-8000)/12.642;~~
−	~~z(r>250)=(1325-(506250000./r(r>250).^2))./12.642;~~
−	~~plot(r,z);~~
−	~~legend('Isobara 950mbar','Isobara 970mbar','Isobara 990mbar','Isobara 1000bar')~~
−	~~title('Isobaras de distintas presiones')~~
−	}}

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 En el caso de que <math>\rho \leq 250</math> obtenemos <math>\nabla P=0,15876 \rho \overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}}</math><br/>
 Y en el caso de que <math>\rho \gt 250</math> obtenemos <math>\nabla P=\frac{1,0125*10^{9}}{\rho^{3}}\overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}}</math><br/>
-Por tanto en general el gradiente de presiones de nuestro vórtice de Rankine es <math>\begin{Bmatrix}0,15876\rho \overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}} &  \rho \leq 250 \\\frac{1,0125*10^{9}}{\rho^{3}} \overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}} & \rho >  250 \\\end{Bmatrix}</math>
+Por tanto en general el gradiente de presiones de nuestro vórtice de Rankine es <math>\nabla P=\begin{Bmatrix}0,15876\rho \overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}} &  \rho \leq 250 \\\frac{1,0125*10^{9}}{\rho^{3}} \overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}} & \rho >  250 \\\end{Bmatrix}</math>
 [[Archivo:GradienteDePresiones.png|miniaturadeimagen|Representación del gradiente de presiones de un vórtice de Rankine]]
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 157: / Línea 157: @@
 title('Gradiente de presiones en un vórtice de Rankine')
 }}