Miguel Angel DGA en 19:24 8 dic 2022

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== CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE ANILLO CIRCULAR - GRUPO 3C ==

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Leyre Castañeda Gato, Natalia Cano Martín, Miguel Ángel De Gregorio Ávila, Juan Marquez Alba, Jaime San Vicente Lara}}
Para este artículo, nos disponemos a analizar y a visualizar, los distintos efectos que fijan los campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular, centrado en el origen, comprendido entre los radios 1 y 2, estando en el plano y≥x.
Supondremos que tenemos dos cantidades físicas.
Una de ellas, la temperatura <math> T(x,y) = log ((x-2)^2 + y^2 + 1) </math>, y la otra serán los desplazamientos, definidos por: <math> \vec u(ρ,θ) = (log(ρ)/2) · sen(2ρ- \Pi/2) </math>, siendo (x,y) la posición de cada punto, y <math> \vec r_0(ρ,θ) </math>, el vector de posición previo a la deformación.

== MALLADO DE LOS PUNTOS INTERIORES DEL SÓLIDO ==

Para poder representar de forma correcta el mallado de la placa plana, vamos a proceder a parametrizar la superficie usando coordenadas cilíndricas. Nos apoyaremos en Matlab para este, y posteriores visualizaciones de gráficas.
Elegimos un paso de muestreo de 2/10 o 0.2 para x e y, y representaremos la placa en un cuadrado de [-3,3]x[-1,3]. Insertamos también una imagen del mallado que resulta.

[[Archivo:Apartado1Mallado1.png|500px|left|Código Matlab]]
[[Archivo:FotoMallado1.png|500px|Mallado resultante]]

== CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA ==

A continuación, veremos las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas, dado por la función T definida al inicio, que serán representadas, usando el comando "contour", y veremos sus máximos. Como vemos, usaremos una gama cromática de colores que nos indican las zonas cálidas (amarillos) y las zonas más frías (azules). Como podemos ver en la imagen, disponemos de dos gráficas. La situada a la izquierda representa el campo escalar, mientras que la situada a la derecha, representa las curvas del nivel del campo.

[[Archivo:Apartado2Mallado.png|600px|left|Código Matlab]]

[[Archivo:FotoMallado2.png|600px|Mallado resultante]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ==

En este apartado, calcularemos el gradiente que representa la variación de temperatura. Derivaremos la temperatura T(x,y) respecto de cada variable
Hemos de apreciar que el gradiente de T, ∇(T), es ortogonal a las curvas de nivel.

[[Archivo:Apartado3Mallado.png|600px|left|Código Matlab]]
[[Archivo:FotoMallado3.png|600px|Mallado resultante]]

== CAMPO DE VECTORES ==

Mostraremos, en este apartado, el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa.
Aunque nos piden los resultados en t=0, nuestra función no depende de t. Mostraremos igualmente el campo de desplazamientos.

[[Archivo:Apartado4Mallado.png|600px|left|Código Matlab]]
[[Archivo:FotoMallado4.png|600px|Mallado resultante]]

== SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO==

El desplazamiento del sólido dado por el campo de vectores u⃗ (en t = 0). Lo representamos antes y después de que se produzca, así como una comparación entre ambos usando el comando subplot.

== 10-TENSIÓN DE VON MISES ==

La tensión de Von Mises se define por la siguiente formula:
[[Archivo:Tension_VonMises.PNG |400px|miniatura|centro|Fórmula de Von Mises]]

donde \(\ σ_{1}\), \(\ σ_{2}\), \(\ σ_{3}\) son los autovalores de σ, también conocidos como tensores principales. La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que es un indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

Vamos a proceder a representar dicha tensión con la ayuda del software MatLab.
Podremos observar gracias a la imagen que se adjunta a continuación que en el punto (0,2) se alcanza el mayor valor de la tensión de Von Mises.

[[Archivo:TVM12.PNG |400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rh=1:h:2;
tta=pi/4:h:3*pi/4;
[RR,TT]=meshgrid(rh,tta)
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT)
rr=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);

Msig=zeros(3,3);

for i=1:length(tta)
for j=1:length(rh)
r=RR(i,j);
t=TT(i,j);
Msig(1,1)=(-cos(2*t))*(log(r)+3)*1/2*r;
Msig(1,2)=log(r)*sin(2*t);
Msig(2,1)=log(r)*sin(2*t);
Msig(2,2)=(-cos(2*t)*log(r)+1)*1/2*r;
Msig(3,3)=(-cos(2*t)*log(r)+1)*1/2*r;
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;

end
end
surf(xx,yy,G)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
}}

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