Marta cuevas en 12:15 3 dic 2025

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{{ TrabajoED | coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 27) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | MARTA CUEVAS GARCÍA <br> ANDREA DANIELA DE SOUSA SEQUERA <br> CLAUDIA GÁMEZ CASADO <br> CARLOTA SÁNCHEZ VARAS <br> Pablo Fernández Arce |}}

===Introduccion===
En este trabajo estudiaremos y aplicaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por \((u, v, z)\) y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>

Como las coordenadas cilíndricas pueden verse como la extensión de las coordenadas polares en \(R^2\) a \(R^3\), definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\), de manera análoga, las coordenadas cilíndricas parabólicas generalizan un cambio de coordenadas en \(R^2\) a \(R^3\) respecto de las coordenadas parabólicas de \(R^2\).

Sirven principalmente para simplificar ecuaciones y problemas cuya geometría natural está asociada a parábolas rotadas alrededor de un eje. Al elegir un sistema que coincide con la forma del problema, las ecuaciones (especialmente las diferenciales) se vuelven más fáciles de resolver.

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==

===Linea coordenada \(\gamma_u\) ===

Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

===Linea coordenada \(\gamma_v\) ===

Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

===Linea coordenada \(\gamma_z\) ===

Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

===Gráficas y códigos MATLAB en 2D y 3D ===

Las curvas coordenadas asociadas a \(u\) y \(v\) tienen forma de parábolas parametrizadas por \(u\) y \(v\).

[[Archivo:Campos2.jpg|700px|sinmarco|centro|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]

{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

[[Archivo:Cuevas1.jpg|700px|sinmarco|centro|líneas coordenadas en 3 dimensiones]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('curvas coordenadas de u y v con z fijado en x_3=0 ');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

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