Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17 - Historial de revisiones

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Lucasas: /* */

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‎

Lucasas: /* ECUACION DE ONDAS G18 */

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‎ECUACION DE ONDAS G18

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
+= NO =
-Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}
-−
-−
-=Ecuación de Onda=
-Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.
-−
- Utt – Uxx = f(x,t)
- U(0,t) = g(x,t)
- U(10,t) = h(x,t)
- U(x,0) = i(x,t)
- Ut(x,t) = j(x,t)
-−
-=Modelización por el Método del trapecio=
-−
-Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3  en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
-Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con  ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x  en el intervalo de t de 0 a 40.
-−
- Utt – Uxx = f(x,t)=0
- U(0,t) = g(x,t) =0
- U(10,t) = h(x,t)=0
-x/10    ∈ x<3
- U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
-/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
- Ut(x,t) = j(x,t)=0
-−
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]
-−
-[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]
-−
-=Método de Euler expllicito y Heun=
-−
-==Euler ==
- El codigo segun Euler explicito:
-−
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]
-−
-==Heun ==
-−
-la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:
-−
-−
-                        [[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]
-−
-=Representación de la Energia del Cable=
-−
-Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión
-−
-                        [[Archivo:formula_energia.png|300px]]
-−
-−
-−
-mediante el método de diferencias finitas
-−
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]
-−
-[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]
-−
-Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es mayor precisión en la representación de la recta pero solo visible la diferencia si se hace zoom en la gráfica. la cantidad de energía no varia de una longitud de paso a otra como era de esperar.
-−
-=Cable en Medio viscoso=
-−
-Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a
-−
- Utt - Uxx + aUt = 0
-−
-Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
-A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100
-−
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]
-−
- los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a
-−
-[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
-= Energía del Cable sujeto a una Estructura=
-−
-Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:
-−
-−
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]
-−
-Se repite el experimento con  Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.
-−
-−
-[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]
-−
-Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerzas con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así esta fuerza se va "acumulando" poco a poco.
-en cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial.
-Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.
-−
-=Energía del Cable sujeto al Aparato=
-−
-Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2.  Se utiliza la aproximación:
-−
- Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)
-−
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]
-−
-−
-[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]
-−
-Para el valor b= 2 se muestra un cable estático y con poca energía salvo en los instantes finales que se dispara, en cambio para el valor b=-2 se muestra un cable con una energía que oscila sin ningún patrón aparente entre dos valores acotados.
-−
-==Resolución por Fourier==
-−
-−
-por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2
-−
- Utt – Uxx = f(x,t)=0
- U(0,t) = g(x,t) =0
- U(10,t) = h(x,t)=0
-x/10    ∈ x<3
- U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
-/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
- Ut(x,t) = j(x,t)=0
-−
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|700px]]
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|700px]]
-−
-−
-[[Archivo:GraficoEjercicio8.png|1050px]]
-−
-[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
-[[Categoría:ED14/15]]
-[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

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Línea 106:		Línea 106:
	[[Archivo:GraficoEjercicio7.png\|900px]]		[[Archivo:GraficoEjercicio7.png\|900px]]

−	==Resolución por ~~fourier~~==	+	Para el valor b= 2 se muestra un cable estático y con poca energía salvo en los instantes finales que se dispara, en cambio para el valor b=-2 se muestra un cable con una energía que oscila sin ningún patrón aparente entre dos valores acotados.
		+
		+	==Resolución por Fourier==

@@ Línea 119: / Línea 119: @@
   Ut(x,t) = j(x,t)=0
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
+[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|700px]]
-[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]
+[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|700px]]
-[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]
+[[Archivo:GraficoEjercicio8.png|1050px]]
 [[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
 [[Categoría:ED14/15]]
 [[Categoría:Trabajos 2014-15]]

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Línea 90:		Línea 90:
	[[Archivo:GraficoEjercicio6.png\|900px]]		[[Archivo:GraficoEjercicio6.png\|900px]]

		+	Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerzas con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así esta fuerza se va "acumulando" poco a poco.
		+	en cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial.
		+	Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.

	=Energía del Cable sujeto al Aparato=		=Energía del Cable sujeto al Aparato=

← Revisión anterior		Revisión del 18:37 14 may 2015
Línea 60:		Línea 60:
	[[Archivo:GraficoEjercicio4.png\|800px]]		[[Archivo:GraficoEjercicio4.png\|800px]]

		+	Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es mayor precisión en la representación de la recta pero solo visible la diferencia si se hace zoom en la gráfica. la cantidad de energía no varia de una longitud de paso a otra como era de esperar.

	=Cable en Medio viscoso=		=Cable en Medio viscoso=

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Línea 95:		Línea 95:

	Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)		Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)
		+
		+	[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png\|900px]]
		+	[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png\|900px]]
		+
		+
		+	[[Archivo:GraficoEjercicio7.png\|900px]]

	==Resolución por fourier==		==Resolución por fourier==

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-{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G18 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
+{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
-Fernando Marin Lopez-Santacruz }}
+Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}
@@ Línea 88: / Línea 88: @@
 [[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]
 =Cable sujeto a Aparato=
@@ Línea 94: / Línea 96: @@
   Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)
-===  ===
+==Resolución por fourier==