Series de Fourier (equipo LUA) - Historial de revisiones

Rafael Pascual: /* Sumas de Cesàro */

2025-02-09T18:04:43Z

‎Sumas de Cesàro

Rafael Pascual: /* Forma compleja */

2025-02-09T17:02:32Z

‎Forma compleja

Alejandra Hernández en 21:16 15 feb 2024

2024-02-15T21:16:20Z

Alejandra Hernández en 19:38 15 feb 2024

2024-02-15T19:38:00Z

Alejandra Hernández en 16:56 15 feb 2024

2024-02-15T16:56:31Z

Alejandra Hernández en 16:55 15 feb 2024

2024-02-15T16:55:34Z

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Alejandra Hernández en 16:33 15 feb 2024

2024-02-15T16:33:15Z

Alejandra Hernández en 16:22 15 feb 2024

2024-02-15T16:22:29Z

Lucía Gil en 16:21 15 feb 2024

2024-02-15T16:21:42Z

Alejandra Hernández en 16:19 15 feb 2024

2024-02-15T16:19:35Z

← Revisión anterior		Revisión del 18:04 9 feb 2025
Línea 549:		Línea 549:

	Tal y como hemos mencionado, las sumas de Cesàro reducen las oscilaciones en torno a los puntos de discontinuidad de la función. Además, para un valor de <math> N </math> lo suficientemente grande, como es <math> N=100 </math>, la representación de las sumas de Cesáro son bastante similares a la función original, a precio de un error mayor, tal y como ya se ha comentado.		Tal y como hemos mencionado, las sumas de Cesàro reducen las oscilaciones en torno a los puntos de discontinuidad de la función. Además, para un valor de <math> N </math> lo suficientemente grande, como es <math> N=100 </math>, la representación de las sumas de Cesáro son bastante similares a la función original, a precio de un error mayor, tal y como ya se ha comentado.
−

	== Forma compleja ==		== Forma compleja ==

← Revisión anterior		Revisión del 17:02 9 feb 2025
Línea 644:		Línea 644:

	cumpliendose así lo ya mencionado en el ''Teorema de convergencia de la serie de Fourier'' de la '''sección <math> 3.2 </math>'''.		cumpliendose así lo ya mencionado en el ''Teorema de convergencia de la serie de Fourier'' de la '''sección <math> 3.2 </math>'''.
−

	== Enlaces externos ==		== Enlaces externos ==

← Revisión anterior		Revisión del 21:16 15 feb 2024
Línea 533:		Línea 533:


−	La primera gráfica está en tres dimensiones y representa las sumas de Cesàro en función de los valores de N (eje Y) y los valores de x (eje X). Realmente, la manera de visualizar cada una de estas funciones según el valor de N es imaginarse el plano <math> N=k </math> para cierto <math> k \in \{0,\dots, ~~100~~\} </math> y la intersección de dicho plano con la superficie representada es la correspondiente suma de Cesàro <math> S_k </math>. Estas sumas están representadas en la gráfica situada en la parte superior derecha.	+	La primera gráfica está en tres dimensiones y representa las sumas de Cesàro en función de los valores de N (eje Y) y los valores de x (eje X). Realmente, la manera de visualizar cada una de estas funciones según el valor de N es imaginarse el plano <math> N=k </math> para cierto <math> k \in \{0,\dots, 150\} </math> y la intersección de dicho plano con la superficie representada es la correspondiente suma de Cesàro <math> S_k </math>. Estas sumas están representadas en la gráfica situada en la parte superior derecha.

	En la última de las 4 gráficas, se muestra la mitigación del efecto de Gibbs haciendo uso de las sumas de Cesàro para N=100.		En la última de las 4 gráficas, se muestra la mitigación del efecto de Gibbs haciendo uso de las sumas de Cesàro para N=100.

← Revisión anterior		Revisión del 19:38 15 feb 2024
Línea 530:		Línea 530:
	}}		}}

−	[[Archivo:EquipoLUA ~~apartado3bv2~~ practica1.png\|1100px\|thumb\|center\|La primera gráfica representa las sumas de Cesàro en función de los valores de N y x en 3 dimensiones. En la segunda gráfica se aprecian las sumas de Cesàro para cada valor de N. La tercera gráfica muestra los errores en las normas <math> L^2 </math> y uniforme en función de los valores de N. La última gráfica muestra la mitigación del fenómeno de Gibbs al hacer uso de las sumas de Cesàro.]]	+	[[Archivo:EquipoLUA ejercicio3bv2 practica1.png\|1100px\|thumb\|center\|La primera gráfica representa las sumas de Cesàro en función de los valores de N y x en 3 dimensiones. En la segunda gráfica se aprecian las sumas de Cesàro para cada valor de N. La tercera gráfica muestra los errores en las normas <math> L^2 </math> y uniforme en función de los valores de N. La última gráfica muestra la mitigación del fenómeno de Gibbs al hacer uso de las sumas de Cesàro.]]

@@ Línea 421: / Línea 421: @@
 coefcos=[];
 for j=1:length(enes)-1
      k=enes(j)+1;
      X=f(t).*cos(k*pi*t);

@@ Línea 410: / Línea 410: @@
 colores=['r','m','g'];
-enes=linspace(0,100,101);
+enes=linspace(0,200,201);
 S=zeros(length(enes),length(t));
 S_N=@(x) coef0/2;
@@ Línea 419: / Línea 419: @@
 S(1,:)=S_N(t);
 for j=1:length(enes)-1
-−
+     j
-     coefcos=[];
+     k=enes(j)+1;
-    for k=1:enes(j)+1
+    X=f(t).*cos(k*pi*t);
-        X=f(t).*cos(k*pi*t);
+    ak=2*trapz(t,X);
-        ak=2*trapz(t,X);
+    coefcos=[coefcos ak];
-        coefcos=[coefcos ak];
-    end
      f_n= sumatorio(coef0,coefcos,zeros(1,length(coefcos)));
      S_N=@(x) (S_N(x)*j+f_n(x))/(j+1);
@@ Línea 500: / Línea 499: @@
 hold on
 semilogy(enes,error_unif)
 title('Errores de las sumas de Cesàro')
 xlabel('Valores de N')
@@ Línea 530: / Línea 528: @@
 ylabel('Eje Y')
 legend('f(x)','Extensión par de f(x)','S_1(x)','Extensión par S_1(x)','S_5(x)','Extensión S_5(x)','S_{10}(x)','Extensión par S_{10}(x)','S_{100}(x)',...
-'Extensión par S_{100}(x)','Location','northwest')
+    'Extensión par S_{100}(x)','Location','northwest')
 }}

← Revisión anterior		Revisión del 16:33 15 feb 2024
Línea 392:		Línea 392:


−	En primer lugar, el error en la norma <math> L^2 </math> tiene un comportamiento muy similar al caso de la aproximación de una función continua. Sin embargo, los errores son claramente mayores debido a las oscilaciones propias del fenómeno de Gibbs. En segundo lugar, el error en la norma uniforme sigue un comportamiento totalmente distinto con respecto al caso anterior. De hecho, ~~la convergencia del mismo a cero es mucho más lenta y los errores son mucho mayores~~. Esto ~~se debe a~~ que, tal y como hemos mencionado anteriormente, el error uniforme considera la diferencia máxima absoluta entre la función original y su aproximación de Fourier en todo el dominio~~. Por ello~~, ~~el error uniforme~~ se ~~ve realmente perjudicado~~ por el ~~fenómeno de Gibbs~~.	+	En primer lugar, el error en la norma <math> L^2 </math> tiene un comportamiento muy similar al caso de la aproximación de una función continua. Sin embargo, los errores son claramente mayores debido a las oscilaciones propias del fenómeno de Gibbs. En segundo lugar, el error en la norma uniforme sigue un comportamiento totalmente distinto con respecto al caso anterior. De hecho, en este caso, el error se mantiene constante con un valor de <math> 0.5 </math>. Esto sucede ya que, tal y como hemos mencionado anteriormente, en el punto de discontinuidad las series de Fourier convergen al punto medio entre <math> f(0.5^-) </math> y <math> f(0.5^+) </math>. Puesto que el error uniforme considera la diferencia máxima absoluta entre la función original y su aproximación de Fourier en todo el dominio, y se cumple que <math> \|f(0.5)-f_n(0.5)\|=0.5 </math> para todo <math> n \in \mathbb{N} </math>, y por ende el supremo será constantemente <math> 0.5 </math>.
		+

	=== Sumas de Cesàro ===		=== Sumas de Cesàro ===

@@ Línea 352: / Línea 352: @@
 [[Archivo:EquipoLUA apartado3av2 practica1.png|600px|thumb|right|Error en escala logarítima en las normas <math> L^2 </math> y uniforme según los valores de n.]]
-{{matlab|codigo=clear all
+{{matlab|codigo=
 close all
 format long
@@ Línea 358: / Línea 359: @@
 g=@(x) f(-x);
-t=linspace(0,1,1000);
+t=linspace(0,1,100001);
-enes=linspace(0,100,101);
+enes=linspace(0,400,401);
 coef0=2*trapz(t,f(t));
@@ Línea 368: / Línea 369: @@
 error_L2=[sqrt(integral(g,0,1))];
 error_unif=[max(h(t))];
 for j=1:length(enes)-1
-     coefcos=[];
-     for k=1:enes(j)+1
+     k=enes(j)+1;
-        X=f(t).*cos(k*pi*t);
+    X=f(t).*cos(k*pi*t);
-        ak=2*trapz(t,X);
+    ak=2*trapz(t,X);
-        coefcos=[coefcos ak];
+    coefcos=[coefcos ak];
-    end
      f_n= sumatorio(coef0,coefcos,zeros(1,length(coefcos)));
      g=@(x) (abs(f(x)-f_n(x))).^2;
@@ Línea 388: / Línea 389: @@
 xlabel('valor de n')
 ylabel('error en escala logarítmica')
-legend('Error en la norma L^2', 'Error en la norma uniforme')
+legend('Error en la norma L^2', 'Error en la norma uniforme','Location','southwest')
 }}

@@ Línea 350: / Línea 350: @@
 Además, otro punto a destacar de la imagen es que claramente a medida que aumentamos el valor de <math> n </math>, conseguimos una mejor aproximación a la función, es decir, un menor error de aproximación. A continuación, hemos elaborado otro código en Matlab para estudiar el comportamiento del error en función del valor de <math> n </math>. En concreto, hemos estudiado los errores en las normas <math> L^2 </math>, <math> \left( \int_{0}^{1} |f(x)-f_n(x)|^2 dx \right)^{\frac{1}{2}} </math>,y uniforme, <math>  sup_{x \in [0,1]} | f(x)-f_n(x)| </math>. (Destacar que, para ejecutar este código es necesario cargar la función ''sumatorio'' definida en la sección ''aproximación de una función continua'' en un archivo aparte).
-[[Archivo:EquipoLUA Apartado3av2 Practica1.png|600px|thumb|right|Error en escala logarítima en las normas <math> L^2 </math> y uniforme según los valores de n.]]
+[[Archivo:EquipoLUA apartado3av2 practica1.png|600px|thumb|right|Error en escala logarítima en las normas <math> L^2 </math> y uniforme según los valores de n.]]
 {{matlab|codigo=clear all