Series de Fourier (MAMBD) - Historial de revisiones

Matilde: /* Aproximación de una función continua */

2025-02-23T19:40:41Z

‎Aproximación de una función continua

Matilde: /* Cambio de intervalo de aproximación */

2025-02-23T19:35:47Z

‎Cambio de intervalo de aproximación

Matilde: /* Aproximación de una función continua */

2025-02-23T19:34:10Z

‎Aproximación de una función continua

Matilde: /* Aproximación de una función continua */

2025-02-23T19:33:37Z

‎Aproximación de una función continua

Matilde: /* Aproximación de una función continua */

2025-02-23T19:33:12Z

‎Aproximación de una función continua

Matilde: /* Introducción */

2025-02-23T19:32:39Z

‎Introducción

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Matilde en 19:31 23 feb 2025

2025-02-23T19:31:27Z

Matilde: /* Introducción */

2025-02-23T19:28:08Z

‎Introducción

Matilde: /* Introducción */

2025-02-23T19:27:07Z

‎Introducción

Matilde: /* Cambio de intervalo de aproximación */

2025-02-13T17:13:56Z

‎Cambio de intervalo de aproximación

@@ Línea 54: / Línea 54: @@
 [[Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
-[[Archivo:ErroresFourier.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
+[[Archivo:ErroresFourier.jpeg|400px|thumb|right|Errores <math>L^2</math> y uniforme en función de n]]
 <syntaxhighlight lang="python">
 import numpy as np

@@ Línea 164: / Línea 164: @@
 \mathcal{F} =
 \left\{
-\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
+\frac{1}{\sqrt{b - a}}, \left[
 \sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n \left(\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi\right) \right),
 \sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n \left(\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi \right)\right)

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 =Aproximación de una función continua=
-Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{\sqrt{2}}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función
+Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función
 <math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
@@ Línea 48: / Línea 48: @@
 \end{array}\right.,</math> que es continua en <math>[-1,1]</math>.
-Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base resulta ser impar. Con esto deducimos que integrar dicho producto en un intervalo simétrico da como resultado cero, pues las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
+Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base resulta ser impar. Con esto deducimos que integrar dicho producto en un intervalo simétrico da como resultado cero, pues las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
 <center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n c_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} c_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

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 Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base resulta ser impar. Con esto deducimos que integrar dicho producto en un intervalo simétrico da como resultado cero, pues las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
-<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>
+<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n c_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} c_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>
 Tras el análisis anterior, veamos gráficamente como, según aumentamos la cantidad de términos de la serie, esta se aproxima mejor a la función original <math>f</math>. En los siguientes gráficos observamos como, efectivamente, al aumentar la <math>n</math>, los primeros términos de la serie de Fourier se van acercando a nuestra función original. Así mismo, gracias a esta mejora en la aproximación, en la segunda gráfica podemos apreciar como el error disminuye conforme aumenta <math>n</math>. Destacamos que el error de aproximación desciende del orden <math>10^{-2}</math>, que es una cifra más que aceptable teniendo en cuenta que solamente hemos tomado 20 términos de una serie infinita.

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 =Aproximación de una función continua=
-Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función
+Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{\sqrt{2}}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función
 <math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}

@@ Línea 26: / Línea 26: @@
 <math>
 \begin{aligned}
-&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{T}}\frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
+&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
 &\bullet \quad d_n = \langle f, \frac{1}{\sqrt{T}}\cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}}\int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
 &\bullet \quad c_n = \langle f, \frac{1}{\sqrt{T}}\sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}}\int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.

@@ Línea 17: / Línea 17: @@
 <math>\begin{equation*}
-     f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
+     f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot\frac{1}{\sqrt{T}} \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
 \end{equation*}</math>

@@ Línea 26: / Línea 26: @@
 <math>
 \begin{aligned}
-&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
+&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
-&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
+&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
-&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
+&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
 \end{aligned}
 </math>

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−	* Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.	+	* Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math> es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.