Series de Fourier (Grupo MECA) - Historial de revisiones

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{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo [[Make-Edp-Cool-Again|MECA]]) | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ángel De Lucas Miranda}}

==Introducción==

Las series de Fourier son fundamentales en ingeniería y procesamiento de señales, ya que permiten descomponer cualquier señal periódica en una suma de senos y cosenos. Esto facilita el análisis y la manipulación de señales en numerosos campos. En telecomunicaciones y electrónica, se usan para modelar y procesar señales de audio, radio y vídeo, mejorando la transmisión y eliminación de ruido. En procesamiento de imágenes y sonido, permiten la compresión de datos (como en ''JPEG'' y ''MP3'') y la detección de patrones. En ingeniería eléctrica y control, se aplican al estudio de circuitos y sistemas dinámicos.

Incluso cuando las señales presentan discontinuidades, como en pulsos digitales y ondas cuadradas, las series de Fourier siguen siendo una herramienta poderosa para analizar su comportamiento y optimizar su uso en la tecnología moderna.

==Aproximación por series de Fourier==

Empezaremos este trabajo aproximando la función característica <math> f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) </math> en el intervalo <math> [0,1] </math>. Observamos que la función con la que estamos trabajando se trata de una función discontinua que no presenta ningún tipo de periodicidad, por ello, extendemos la función al intervalo <math> [-1,1] </math>.

Es fácil comprobar que la función extendida pertenece al grupo de funciones <math> L^2 </math>, además la función verifica la condición de Dirichlet, por tanto, la serie de Fourier de la función converge puntalmente al propio punto en los puntos de continuidad y al promedio en los puntos de discontinuidad. A continuación se muestra el desarrollo de Fourier de la función extendida <math> f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) </math> para diferentes valores de <math> n </math>.

[[Archivo:Aprox_fourier_MECA.gif|600px|thumb|right|Aproximación de Fourier de la función extendida <math> 1_{x \leq 1/4}(x) </math>]]
{{matlab|codigo=
def f(x):
# Definimos la función a trozos extendida
return np.where((x >= -0.25) & (x <= 0.25), 1, 0)

def coef_fourier(f,a,b,n):

T = b-a # Periodo
x = np.linspace(a,b,400)
val_f = f(x)

a_coef = [] # Lista de coeficientes

for j in range(n+1):
aux = 0
val_cos = np.cos(2*np.pi*j*x/T)
aux = np.trapz(val_f*val_cos,x)
aux = aux*(2/T) # La otra parte de la integral
a_coef.append(aux)

return a_coef

def aprox_fourier_par(a_coef,T,x,n):
aux = 0
aux += a_coef[0]/2
for i in range(1,n+1):
aux += a_coef[i]*np.cos(2*np.pi*i*x/T)
return aux
}}
<br/>
<br/>

En la figura anterior se puede observar lo que se conoce como el fenómeno de Gibbs. Este fenómeno establece que en el punto de discontinuidad la serie de Fourier que aproxima la función presenta una oscilación que sobrepasa superior o inferiormente a la función original. Este fenómeno se da cuando tratamos de aproximar por Fourier funciones discontinuas. Además, también se sabe que el error de aproximación tiende al <math> 9\% </math> del salto dado. A continuación se muestra una gráfica del error cometido por nuestra aproximación de Fourier usando dos normas diferentes, la norma del espacio <math> L^2 </math> y la norma del supremo.

[[Archivo:Error_aprox_MECA.png|600px|thumb|right| Error cometido por la aproximación de Fourier para distintos valores de <math> n </math>]]
{{matlab|codigo=
z = 300 # Número de aproximaciones que queremos hacer
error_L2 = []
error_sup = []

a_coef = coef_fourier(f,a,b,z) # Obtenemos los z primeros coeficientes de la serie de fourier (hay z+1 en total)

intervalo = np.linspace(0,1,200) #El intervalo donde queremos integrar, [0,1]
y_real = f(np.array(intervalo))

for k in range(1,z+1):

y_aprox = []

for j in intervalo:
y_aprox.append(aprox_fourier_par(a_coef[:k+1],T,j,k))

error_L2.append(np.sqrt( np.trapz( abs(y_real-y_aprox)**2,x) ))
error_sup.append(max(abs(y_real-y_aprox)))

valor_n = [i for i in range(1,z+1)]

plt.plot(valor_n,error_sup, color = "#d62728", label="Error norma supremo")
plt.plot(valor_n,error_L2, color = "#000080", label="Error norma $L^2$")
plt.xlabel('número de términos')
plt.ylabel('error')
plt.legend(loc="upper right")
plt.title("Error aproximación")
plt.savefig("Error_aprox")
}}
<br/>
<br/>

Tal como se puede observar en la imagen el error tiende asintóticamente a <math> 0.09 </math> (aproximadamente). Una forma de mitigar este fenómeno es con las sumas de Cesàro.

== Sumas de Cesàro y el fenómeno de Gibbs ==

Las sumas de Cesàro ayudan a mitigar el fenómeno de Gibbs al suavizar la convergencia de las series de Fourier. En lugar de tomar directamente la serie de Fourier parcial de orden N, las sumas de Cesàro promedian las sumas parciales anteriores, reduciendo así las oscilaciones cerca de las discontinuidades. Expresado matemáticamente:

<math>\sigma_N(f) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^{N} S_n(f)</math>

donde <math>S_n(f)</math> es la suma parcial de Fourier de orden n.

Este método mejora la estabilidad de la aproximación y reduce la magnitud de las sobreoscilaciones del fenómeno de Gibbs, aunque no las elimina por completo. Comprobemos esto numéricamente con el ejemplo anterior.

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

@@ Línea 103: / Línea 103: @@
 <div style="float:right; text-align:center; width:320px;">
-     [[Archivo:Sumas_cesaro_MECA.gif|300px|thumb|Sumas de Cesàro aplicadas a la función \( 1_{x \leq 1/4}(x) \). En el imagen se va aumentando el número de términos que se usan en la suma de Cesáro.]]
+     [[Archivo:Sumas_cesaro_MECA.gif|300px|thumb|Sumas de Cesàro aplicadas a la función \( 1_{x \leq 1/4}(x) \). En la imagen se va aumentando el número de términos usados en la suma de Cesàro.]]
-     [[Archivo:Abel_MECA.gif|300px|thumb|Sumas de Abel aplicadas a la función \( 1_{x \leq 1/4}(x) \). En la imagen se deja el número de términos que aparecen en la suma fijo, en este caso \( 300 \), y varía el parámetro suavizador \( r \)]]
+     [[Archivo:Error_aprox_Cesaro_MECA.png|300px|thumb|Error cometido por la aproximación usando sumas de Cesàro. Observamos que el error con la norma del supremo tiene menos oscilaciones que en la aproximación de Fourier, lo cual indica que efectivamente se está mitigando el fenómeno de Gibbs.]]
 </div>
 {{matlab|codigo=
 def cesaro(f, a, b, n, x):
      """
-     Calcula la suma de Cesàro para una serie de Fourier.
+     Calcula la aproximación de Fourier utilizando las sumas de Cesàro.
      """
-     a_coef = coef_fourier(f, a, b, n)  # Calculamos los coeficientes de Fourier
      T = b - a  # Período de la función
-     # Promediamos las sumas parciales de Fourier hasta el término n
+    aux = 0
-     cesaro_sum = sum(aprox_fourier_par(a_coef[:i+1], T, x, i) for i in range(n+1)) / (n+1)
+     # Sumamos las aproximaciones parciales de Fourier hasta el orden n+1
 def Abel(a_coef, T, x, n, r):
      """
-     Calcula la suma de Abel para una serie de Fourier.
+     Calcula la aproximación de Fourier utilizando las sumas de Abel.
      """
-     # Aplicamos el factor de suavizado r^i a cada término de la serie
+    aux = a_coef[0] / 2
      for i in range(1, n+1):
-         abel_sum += (a_coef[i] * np.cos(2 * np.pi * i * x / T)) * (r ** i)
+     # Se suman los términos de la serie ponderados por el factor r^i
 }}
 [[Categoría:EDP]]
 [[Categoría:EDP24/25]]

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-Una forma de mitigar este fenómeno es con las sumas de Cesàro.
+A continuación, mostraremos dos métodos diferentes para suavizar el fenómeno de Gibbs.
-== Sumas de Cesàro y el fenómeno de Gibbs ==
+== Sumas de Cesàro y Sumas de Abel ==
 Las sumas de Cesàro ayudan a mitigar el fenómeno de Gibbs al suavizar la convergencia de las series de Fourier. En lugar de tomar directamente la serie de Fourier parcial de orden N, las sumas de Cesàro promedian las sumas parciales anteriores, reduciendo así las oscilaciones cerca de las discontinuidades. Expresado matemáticamente:
@@ Línea 89: / Línea 89: @@
 <math>\sigma_N(f) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^{N} S_n(f)</math>
 </center>
-donde <math>S_n(f)</math> es la suma parcial de Fourier de orden n. Otro método para suavizar el fenómeno de Gibbs consiste en las sumas de Abel. Una sucesión  \( \sigma_N = \sum_{n=0}^{N} S_n \) se dice que es sumable de Abel a \( f \) si para cada \( 0 \leq r < 1 \), la serie
+donde <math>S_n(f)</math> es la suma parcial de Fourier de orden n. Otro método para suavizar el fenómeno de Gibbs se conoce como las sumas de Abel. Una sucesión  \( \sigma_N = \sum_{n=0}^{N} S_n \) se dice que es sumable de Abel a \( f \) si para cada \( 0 \leq r < 1 \), la serie
 <center>
 <math>
@@ Línea 101: / Línea 101: @@
 </math>
 </center>
-Las cantidades \( A(r) \) se llaman la media de Abel de la sucesión. Se puede probar que si la serie converge a \( f \) entonces la sucesión es sumable de Abel a \( f \). Además, la condición de ser Abel sumable es más fuerte que la de convergencia en las sumas de Cesàro.
+Las cantidades \( A(r) \) se llaman la media de Abel de la sucesión. Se puede probar que si la serie converge a \( f \) entonces la sucesión es sumable de Abel a \( f \). Además, la condición de ser Abel sumable es más fuerte que la condición de convergencia en las sumas de Cesàro. Veamos con el ejemplo inicial como estos dos métodos ayudan a mitigar el fenómeno de Gibbs.
 [[Archivo:Sumas_cesaro_MECA.gif|600px|thumb|right| Sumas de Cesàro aplicadas a la función <math> 1_{x \leq 1/4}(x) </math>]]

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 ==Aproximación por series de Fourier==
-Empezaremos este trabajo aproximando la función característica <math> f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) </math> por su serie de Fourier. Observamos que se trata de una función discontinua no periódica. Para resolver este último problema, extendemos la función de forma par al intervalo <math> [-1,1] </math>.
+Empezaremos este trabajo aproximando la función característica <math> f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) </math> por su serie de Fourier. Observamos que se trata de una función discontinua no periódica. Empecemos por extender de forma par la función al intervalo <math> [-1,1] </math>.
 Es fácil comprobar que la función extendida pertenece al grupo de funciones <math> L^2 </math>, además la función verifica la condición de Dirichlet, por tanto, la serie de Fourier de la función converge puntalmente al propio punto en los puntos de continuidad y al promedio en los puntos de discontinuidad. A continuación se muestra el desarrollo de Fourier de la función extendida <math> f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) </math> para diferentes valores de <math> n </math>.
@@ Línea 101: / Línea 101: @@
 </math>
 </center>
-Las cantidades \( A(r) \) se llaman la media de Abel de la sucesión. Se puede probar que si la serie converge a \( f \) entonces la sucesión es sumable de Abel a \( f \). Además, la condición de ser Abel sumable es más fuerte que la de convergencia en las sumas de Cesàro, toda serie que converge a \( f \) con las sumas de Cesàro es sumable de Abel a \( f \) también, sin embargo, no toda sucesión Abel sumable converge con las sumas de Cesàro (Ejemplo <math> \left( (-1)^k (k + 1) \right)_{k \in \mathbb{N}} </math>)
+Las cantidades \( A(r) \) se llaman la media de Abel de la sucesión. Se puede probar que si la serie converge a \( f \) entonces la sucesión es sumable de Abel a \( f \). Además, la condición de ser Abel sumable es más fuerte que la de convergencia en las sumas de Cesàro.
 [[Archivo:Sumas_cesaro_MECA.gif|600px|thumb|right| Sumas de Cesàro aplicadas a la función <math> 1_{x \leq 1/4}(x) </math>]]

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 <math>\sigma_N(f) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^{N} S_n(f)</math>
 </center>
-donde <math>S_n(f)</math> es la suma parcial de Fourier de orden n.
+donde <math>S_n(f)</math> es la suma parcial de Fourier de orden n. Otro método para suavizar el fenómeno de Gibbs consiste en las sumas de Abel. Una sucesión  \( \sigma_N = \sum_{n=0}^{N} S_n \) se dice que es sumable de Abel a \( f \) si para cada \( 0 \leq r < 1 \), la serie
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 Otro método para suavizar el fenómeno de Gibbs consiste en las sumas de Abel. Una sucesión  \( \sigma_N = \sum_{n=0}^{N} S_n \) se dice que es sumable de Abel a \( f \) si para cada \( 0 \leq r < 1 \), la serie
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-Las cantidades \( A(r) \) se llaman la media de Abel de la sucesión.
+Las cantidades \( A(r) \) se llaman la media de Abel de la sucesión. Se puede probar que si la serie converge a \( f \) entonces la sucesión es sumable de Abel a \( f \). Además, la condición de ser Abel sumable es más fuerte que la de convergencia en las sumas de Cesàro, toda serie que converge a \( f \) con las sumas de Cesàro es sumable de Abel a \( f \) también, sin embargo, no toda sucesión Abel sumable converge con las sumas de Cesàro (Ejemplo <math> \left( (-1)^k (k + 1) \right)_{k \in \mathbb{N}} </math>)
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-Este método mejora la estabilidad de la aproximación y reduce la magnitud de las sobreoscilaciones del fenómeno de Gibbs, aunque no las elimina por completo. Comprobemos esto numéricamente con el ejemplo anterior.
 [[Archivo:Sumas_cesaro_MECA.gif|600px|thumb|right| Sumas de Cesàro aplicadas a la función <math> 1_{x \leq 1/4}(x) </math>]]

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 ==Introducción==
-Las series de Fourier son fundamentales en ingeniería y procesamiento de señales, ya que permiten descomponer cualquier señal periódica en una suma de senos y cosenos. Esto facilita el análisis y la manipulación de señales en numerosos campos. En telecomunicaciones y electrónica, se usan para modelar y procesar señales de audio, radio y vídeo, mejorando la transmisión y eliminación de ruido. En procesamiento de imágenes y sonido, permiten la compresión de datos (como en ''JPEG'' y ''MP3'') y la detección de patrones. En ingeniería eléctrica y control, se aplican al estudio de circuitos y sistemas dinámicos.
+Las series de Fourier son una herramienta matemática fundamental en ingeniería y diversas disciplinas, utilizada, entre otras aplicaciones, en la resonancia magnética (RM). En ocasiones, las imágenes obtenidas en RM presentan artefactos: falsas estructuras o manchas que pueden confundirse con quistes u otras patologías. Uno de los fenómenos que contribuye a la aparición de estos artefactos es el fenómeno de Gibbs, el cual se genera en presencia de discontinuidades en las señales. En este trabajo estudiaremos el fenómeno de Gibbs.
-−
-Incluso cuando las señales presentan discontinuidades, como en pulsos digitales y ondas cuadradas, las series de Fourier siguen siendo una herramienta poderosa para analizar su comportamiento y optimizar su uso en la tecnología moderna.
 ==Aproximación por series de Fourier==
-Empezaremos este trabajo aproximando la función característica <math> f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) </math> en el intervalo <math> [0,1] </math>. Observamos que la función con la que estamos trabajando se trata de una función discontinua que no presenta ningún tipo de periodicidad, por ello, extendemos la función al intervalo <math> [-1,1] </math>.
+Empezaremos este trabajo aproximando la función característica <math> f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) </math> por su serie de Fourier. Observamos que se trata de una función discontinua no periódica. Para resolver este último problema, extendemos la función de forma par al intervalo <math> [-1,1] </math>.
 Es fácil comprobar que la función extendida pertenece al grupo de funciones <math> L^2 </math>, además la función verifica la condición de Dirichlet, por tanto, la serie de Fourier de la función converge puntalmente al propio punto en los puntos de continuidad y al promedio en los puntos de discontinuidad. A continuación se muestra el desarrollo de Fourier de la función extendida <math> f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) </math> para diferentes valores de <math> n </math>.
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 En la figura anterior se puede observar lo que se conoce como el fenómeno de Gibbs. Este fenómeno establece que en el punto de discontinuidad la serie de Fourier que aproxima la función presenta una oscilación que sobrepasa superior o inferiormente a la función original. Este fenómeno se da cuando tratamos de aproximar por Fourier funciones discontinuas. Además, también se sabe que el error de aproximación tiende al <math> 9\% </math> del salto dado. A continuación se muestra una gráfica del error cometido por nuestra aproximación de Fourier usando dos normas diferentes, la norma del espacio <math> L^2 </math> y la norma del supremo.
-[[Archivo:Error_aprox_MECA.png|600px|thumb|right| Error cometido por la aproximación de Fourier para distintos valores de <math> n </math>]]
+[[Archivo:Error_aprox_MECA.png|600px|thumb|right| Error cometido por la aproximación de Fourier para distintos valores de <math> n </math>. Es importante observar que el error tiende asintóticamente a <math>\approx 0.09 </math>, precisamente el <math> 9\% </math> de <math> 1 </math>, en el caso de la norma de <math> L^2 </math>]]
 {{matlab|codigo=
 z = 300   # Número de aproximaciones que queremos hacer
@@ Línea 83: / Línea 81: @@
 <br/>
-Tal como se puede observar en la imagen el error tiende asintóticamente a <math> 0.09 </math> (aproximadamente). Una forma de mitigar este fenómeno es con las sumas de Cesàro.
+Una forma de mitigar este fenómeno es con las sumas de Cesàro.
 == Sumas de Cesàro y el fenómeno de Gibbs ==
@@ Línea 94: / Línea 92: @@
 Este método mejora la estabilidad de la aproximación y reduce la magnitud de las sobreoscilaciones del fenómeno de Gibbs, aunque no las elimina por completo. Comprobemos esto numéricamente con el ejemplo anterior.
 [[Categoría:EDP]]
 [[Categoría:EDP24/25]]