Series de Fourier (Grupo ILIA) - Historial de revisiones

Alicia.ruiz en 10:07 15 feb 2025

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 El cálculo de estos coeficientes implica integrar productos de <math> f(x) </math> con funciones trigonométricas, lo que puede llegar a ser muy laborioso para <math> 5, 10 </math> y <math> 20 </math> términos, y es por esto que estos cálculos se hacen mediante herramientas computacionales como Python. A continuación, se incluye el código que nos proporciona la aproximación que buscábamos.
-[[Archivo:Ilia.png|450px|thumb|right|Aproximación de f(x) mediante series de Fourier]]
+[[Archivo:UltimaILIA.png|500px|thumb|right|Aproximación de f(x) mediante series de Fourier]]
 <syntaxhighlight lang="python">
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 plt.show()
 </syntaxhighlight>

@@ Línea 164: / Línea 164: @@
 El cálculo de estos coeficientes implica integrar productos de <math> f(x) </math> con funciones trigonométricas, lo que puede llegar a ser muy laborioso para <math> 5, 10 </math> y <math> 20 </math> términos, y es por esto que estos cálculos se hacen mediante herramientas computacionales como Python. A continuación, se incluye el código que nos proporciona la aproximación que buscábamos.
-[[Archivo:AproxfILIA.png|450px|thumb|right|Aproximación de f(x) mediante series de Fourier]]
+[[Archivo:Ilia.png|450px|thumb|right|Aproximación de f(x) mediante series de Fourier]]
 <syntaxhighlight lang="python">
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 </syntaxhighlight>
 [[Categoría:EDP]]
 [[Categoría:EDP24/25]]

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 El cálculo de estos coeficientes implica integrar productos de <math> f(x) </math> con funciones trigonométricas, lo que puede llegar a ser muy laborioso para <math> 5, 10 </math> y <math> 20 </math> términos, y es por esto que estos cálculos se hacen mediante herramientas computacionales como Python. A continuación, se incluye el código que nos proporciona la aproximación que buscábamos.
-[[Archivo:aproxILIA.png|450px|thumb|right|Aproximación de f(x) mediante series de Fourier]]
+[[Archivo:AproxfILIA.png|450px|thumb|right|Aproximación de f(x) mediante series de Fourier]]
 <syntaxhighlight lang="python">

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 from scipy.integrate import quad
-# Definir la función f(x)
+# Intervalo
 def f(x):
      return x * np.exp(-x)
-# Definir los límites del intervalo
+# Coeficiente a_0
-a, b = -2, 3
+def a_0():
-L = (b - a) / 2  # Semilongitud del intervalo
+     return (1 / L) * quad(lambda x: f(x), a, b)[0]
-−
-# Base trigonométrica en [-2,3]
-def phi_0(x):
-     return 1 / np.sqrt(b - a)
-−
-def phi_cos(n, x):
-    return np.cos(n * np.pi * (x - a) / (b - a))
-−
-def phi_sin(n, x):
-    return np.sin(n * np.pi * (x - a) / (b - a))
-−
-# Cálculo de coeficientes de Fourier
-def coeficiente_an(n):
-    result, _ = quad(lambda x: f(x) * phi_cos(n, x), a, b)
-    return result / np.sqrt(b - a)
-def coeficiente_bn(n):
+# Coeficientes a_n y b_n
-     result, _ = quad(lambda x: f(x) * phi_sin(n, x), a, b)
+def a_n(n):
-    return result / np.sqrt(b - a)
+     return (1 / L) * quad(lambda x: f(x) * np.cos(n * np.pi * (x - a) / L), a, b)[0]
-def coeficiente_a0():
+def b_n(n):
-     result, _ = quad(lambda x: f(x) * phi_0(x), a, b)
+     return (1 / L) * quad(lambda x: f(x) * np.sin(n * np.pi * (x - a) / L), a, b)[0]
-    return result / np.sqrt(b - a)
-# Aproximación de la serie de Fourier
+# Aproximación de Fourier con N términos
-def aproximacion_fourier(x, N):
+def fourier_aprox(x, N):
-     suma = coeficiente_a0() * phi_0(x)
+     suma = a_0() / 2
      for n in range(1, N + 1):
-         suma += coeficiente_an(n) * phi_cos(n, x) + coeficiente_bn(n) * phi_sin(n, x)
+         suma += a_n(n) * np.cos(n * np.pi * (x - a) / L) + b_n(n) * np.sin(n * np.pi * (x - a) / L)
      return suma
-# Valores de x para graficar
+# Valores de N a considerar
-X = np.linspace(a, b, 400)
+N_vals = [5, 10, 20]
-# Lista de colores para cada aproximación
+# Puntos para graficar
-colores = [ "#0000FF","#0066CC", "#33CCFF",]
+x_vals = np.linspace(a, b, 500)
-# Graficar aproximaciones con 5, 10 y 20 términos
+# Graficar
-plt.figure(figsize=(10, 6), dpi=200)
+plt.figure(figsize=(10, 6))
-plt.plot(X, f(X), label="Función original f(x)", linewidth=2, color="black")  # Función original en negro
+plt.plot(x_vals, f_vals, 'k', label="Función original f(x)", linewidth=2)
-for i, N in enumerate([5, 10, 20]):
+colores = ['b', 'dodgerblue', "#66CCCC"]
-     plt.plot(X, [aproximacion_fourier(x, N) for x in X], label=f"Aprox. con {N} términos", color=colores[i])
+for i, N in enumerate(N_vals):
 plt.legend()
 plt.grid()
-plt.title("Aproximación de f(x) mediante series de Fourier en [-2,3]")
+plt.title("Aproximación de Fourier de f(x) = x e^(-x)")
 plt.xlabel("x")
 plt.ylabel("f(x)")

@@ Línea 111: / Línea 111: @@
 </syntaxhighlight>
 Al graficar estos términos, podemos apreciar cómo la combinación de estos elementos nos permite aproximar funciones periódicas arbitrarias, tal y como buscábamos.
@@ Línea 121: / Línea 123: @@
 Donde \( e_n \) es cada uno de los términos de la base <math> \left\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>, y <math> c_n </math> son los coeficientes que se calculan mediante el producto interno de <math> f(x) </math> con los elementos de la base.
 Como se puede observar, a medida que el parámetro <math> n </math> aumenta, los términos oscilan con un periodo cada vez menor, concretamente <math> T = \frac{2}{n} </math>, lo que refleja una mayor "frecuencia" en las oscilaciones. Esta característica es esencial en la aproximación de funciones suaves por medio de las series de Fourier, donde las funciones periódicas se aproximan cada vez con mayor precisión mediante una combinación lineal de estos términos básicos.

@@ Línea 125: / Línea 125: @@
 Como se puede observar, a medida que el parámetro <math> n </math> aumenta, los términos oscilan con un periodo cada vez menor, concretamente <math> T = \frac{2}{n} </math>, lo que refleja una mayor "frecuencia" en las oscilaciones. Esta característica es esencial en la aproximación de funciones suaves por medio de las series de Fourier, donde las funciones periódicas se aproximan cada vez con mayor precisión mediante una combinación lineal de estos términos básicos.
 [https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fcommons.wikimedia.org%2Fwiki%2FFile%3AFourier_series_for_square_wave.gif&psig=AOvVaw0i1ZGLZz9Q97yj6odtf7Nw&ust=1739696566572000&source=images&cd=vfe&opi=89978449&ved=0CBMQjRxqFwoTCNjAl_GoxYsDFQAAAAAdAAAAABAE Fourier con n aumentando]
 =Cambio de intervalo=

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	Como se puede observar, a medida que el parámetro <math> n </math> aumenta, los términos oscilan con un periodo cada vez menor, concretamente <math> T = \frac{2}{n} </math>, lo que refleja una mayor "frecuencia" en las oscilaciones. Esta característica es esencial en la aproximación de funciones suaves por medio de las series de Fourier, donde las funciones periódicas se aproximan cada vez con mayor precisión mediante una combinación lineal de estos términos básicos.		Como se puede observar, a medida que el parámetro <math> n </math> aumenta, los términos oscilan con un periodo cada vez menor, concretamente <math> T = \frac{2}{n} </math>, lo que refleja una mayor "frecuencia" en las oscilaciones. Esta característica es esencial en la aproximación de funciones suaves por medio de las series de Fourier, donde las funciones periódicas se aproximan cada vez con mayor precisión mediante una combinación lineal de estos términos básicos.
		+	[https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fcommons.wikimedia.org%2Fwiki%2FFile%3AFourier_series_for_square_wave.gif&psig=AOvVaw0i1ZGLZz9Q97yj6odtf7Nw&ust=1739696566572000&source=images&cd=vfe&opi=89978449&ved=0CBMQjRxqFwoTCNjAl_GoxYsDFQAAAAAdAAAAABAE Fourier con n aumentando]

	=Cambio de intervalo=		=Cambio de intervalo=

@@ Línea 113: / Línea 113: @@
 Al graficar estos términos, podemos apreciar cómo la combinación de estos elementos nos permite aproximar funciones periódicas arbitrarias, tal y como buscábamos.
-La relevancia de esta base radica en su aplicación en la aproximación de funciones mediante series trigonométricas. En particular, la expansión de Fourier de una función \( f(x) \) en esta base se expresa como:
+La relevancia de esta base radica en la aproximación de funciones mediante series trigonométricas. En particular, la expansión de Fourier de una función \( f(x) \) en esta base se expresa como:
 <center> <math>

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 =Introducción=
 En una amplia gama de problemas de ingeniería y matemáticas aparecen funciones periódicas que se necesitan aproximar mediante sumas de funciones trigonométricas, lo que conduce a las '''series de Fourier'''.
 Estas series constituyen una herramienta fundamental en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales y otros muchos ámbitos de la ciencia. La idea principal es que una función <math>f(x)</math>, definida en un espacio de Hilbert <math>L^2(-\pi,\pi)</math>, puede expresarse como una combinación infinita de funciones trigonométricas de la forma:

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		+	[[Archivo:Fourier\|miniaturadeimagen]]
	{{ TrabajoED \| Series de Fourier (Grupo ILIA) \| [[:Categoría:EDP\|EDP]]\|[[:Categoría:EDP24/25\|2024-25]] \| Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Luis Ramos Ortiz, Alicia Ruiz Dominguez }}		{{ TrabajoED \| Series de Fourier (Grupo ILIA) \| [[:Categoría:EDP\|EDP]]\|[[:Categoría:EDP24/25\|2024-25]] \| Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Luis Ramos Ortiz, Alicia Ruiz Dominguez }}