Series de Fourier (Grupo GIXP) - Historial de revisiones

Francisco Lavao: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-19T21:56:16Z

‎Base trigonométrica compleja

Gonzalo.gm: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-19T20:15:49Z

‎Base trigonométrica compleja

Francisco Lavao: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-15T10:08:28Z

‎Base trigonométrica compleja

Francisco Lavao: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-15T10:06:24Z

‎Base trigonométrica compleja

Francisco Lavao: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-15T10:05:44Z

‎Base trigonométrica compleja

Francisco Lavao: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-15T10:01:18Z

‎Base trigonométrica compleja

Francisco Lavao: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-15T10:00:54Z

‎Base trigonométrica compleja

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Francisco Lavao: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-15T00:30:51Z

‎Base trigonométrica compleja

Francisco Lavao: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-15T00:21:31Z

‎Base trigonométrica compleja

Gonzalo.gm en 19:20 14 feb 2025

2025-02-14T19:20:01Z

Mostrar los cambios

@@ Línea 245: / Línea 245: @@
 <math> x = \frac{\log \left(\sqrt{\frac{2\pi}{b-a}} \right)}{ik} + \frac{2\pi}{b-a}(y-a) </math>,
-trasladamos la base al intervalo <math> \left(a,b\right) </math>:
+trasladamos la base al intervalo <math> \left[a,b\right] </math>:
 <math> B_{L^2([a,b])} = \left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(y-a)}\right\}_{k \in \mathbb{Z}} </math>

@@ Línea 264: / Línea 264: @@
 Los coeficientes de la serie se calculan de la siguiente manera:
-* <math> z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2([0,1])} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} </math>
+* <math> z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2([0,1])} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{-2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} </math>
 Por lo tanto, la serie de Fourier queda expresada únicamente en términos de exponenciales complejas:

@@ Línea 257: / Línea 257: @@
 Escogiendo el intervalo <math> \left[ 0,1 \right] </math>, se tiene que la base trigonométrica compleja de <math> L^2([0,1]) </math> es
-<math> B_{\mathbb{C}} = \left\{e^{2\pi ikx}\right\}_{k \in \mathbb{Z}} </math>,
+<math> B_{L^2([0,1])} = \left\{e^{2\pi ikx}\right\}_{k \in \mathbb{Z}} </math>,
 <br />

@@ Línea 264: / Línea 264: @@
 Los coeficientes de la serie se calculan de la siguiente manera:
-* <math> z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2([a,b])} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} </math>
+* <math> z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2([0,1])} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} </math>
 Por lo tanto, la serie de Fourier queda expresada únicamente en términos de exponenciales complejas:

@@ Línea 264: / Línea 264: @@
 Los coeficientes de la serie se calculan de la siguiente manera:
-* <math> z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} </math>
+* <math> z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2([a,b])} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} </math>
 Por lo tanto, la serie de Fourier queda expresada únicamente en términos de exponenciales complejas:

@@ Línea 227: / Línea 227: @@
 Se puede definir el conjunto de funciones que toman valores complejos y cuyo modulo al cuadrado es integrable.
-<math> L^2( \Omega ) = \left\{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \ | \ \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^2 \, dx < \infty \right\} </math>.
+<math> L^2( \Omega ) = \left\{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \ : \ \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^2 \, dx < \infty \right\} </math>.
 Este conjunto tiene estructura de espacio vectorial y admite un producto escalar <math> \bigl \langle f, g \bigr \rangle_{\Omega} = \int_{\Omega} f(z) \overline{g(z)} \, dx </math> dotándole de una estructura de espacio de Hilbert.

@@ Línea 231: / Línea 231: @@
 Este conjunto tiene estructura de espacio vectorial y admite un producto escalar <math> \bigl \langle f, g \bigr \rangle_{\Omega} = \int_{\Omega} f(z) \overline{g(z)} \, dx </math> dotándole de una estructura de espacio de Hilbert.
-En esta sección se desarrollará una serie de Fourier para aproximar la función
+En esta sección, se desarrollará una serie de Fourier para aproximar la función
 <math> f(x) = 4x \left( \frac{1}{2} - x \right)^2 + ix </math>,
@@ Línea 237: / Línea 237: @@
 que toma valores complejos, definida en el intervalo <math> [0,1] </math>.
-El objetivo es expresar la función como combinación lineal de elementos de una base del espacio. En particular, la base trigonométrica. Esta base para <math> L^2([-\pi,\pi]) </math> es
+El objetivo es expresar la función como combinación lineal de elementos de una base del espacio, en particular, la base trigonométrica. Esta base para <math> L^2([-\pi,\pi]) </math> es
 <math> B_{L^2([-\pi,\pi])} = \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}\right\}_{k \in \mathbb{Z}} </math>.
@@ Línea 251: / Línea 251: @@
 En efecto, es base, ya que
-* <math> \bigl \langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)}, \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \bigr \rangle_{L^2([a,b])} = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)}  \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{-ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \, dx = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} \, dx = 1 </math> (unitario)
+* <math> \bigl \langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)}, \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \bigr \rangle_{L^2([a,b])} = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)}  \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{-ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \, dx = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} \, dx = 1 </math>
-* <math> \bigl \langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)}, \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ih\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \bigr \rangle_{L^2([a,b])} = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)}  \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{-ih\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \, dx = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} e^{i(k-h)\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \, dx = \frac{1}{i(k-h)2\pi} \left( 1 - 1 \right) \, dx </math> = 0 (ortogonal)
+* <math> \bigl \langle \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)}, \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ih\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \bigr \rangle_{L^2([a,b])} = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{ik\frac{2\pi}{b-a}(x-a)}  \frac{1}{\sqrt{b-a}}e^{-ih\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \, dx = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} e^{i(k-h)\frac{2\pi}{b-a}(x-a)} \, dx = \frac{1}{i(k-h)2\pi} \left( 1 - 1 \right) \, dx = 0 </math>
-Escogiendo el intervalo <math> \left( 0,1 \right) </math>, se tiene que la base trigonométrica compleja de <math> L^2([0,1]) </math> es
+Escogiendo el intervalo <math> \left[ 0,1 \right] </math>, se tiene que la base trigonométrica compleja de <math> L^2([0,1]) </math> es
 <math> B_{\mathbb{C}} = \left\{e^{2\pi ikx}\right\}_{k \in \mathbb{Z}} </math>,
@@ Línea 262: / Línea 262: @@
 y será la que se usará para desarrollar la serie de Fourier.
-Los coeficientes de la serie de Fourier se calculan de la siguiente manera:
+Los coeficientes de la serie se calculan de la siguiente manera:
 * <math> z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} </math>