Series de Fourier (Grupo DMR) - Historial de revisiones

Rafael Pascual: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-14T18:16:39Z

‎Base trigonométrica compleja

Marcos Cabellos: /* Extensión impar */

2025-02-14T16:31:01Z

‎Extensión impar

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Daniel Rodríguez Calderón: /* Código */

2025-02-14T08:38:26Z

‎Código

Marcos Cabellos: /* Extensión impar */

2025-02-13T08:38:23Z

‎Extensión impar

Marcos Cabellos: /* Extensión impar */

2025-02-13T08:35:28Z

‎Extensión impar

Marcos Cabellos: /* Código */

2025-02-13T08:28:09Z

‎Código

Daniel Rodríguez Calderón: /* Extensión impar */

2025-02-12T20:00:27Z

‎Extensión impar

Daniel Rodríguez Calderón: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-12T19:55:16Z

‎Base trigonométrica compleja

Daniel Rodríguez Calderón: /* Extensión impar */

2025-02-12T19:54:16Z

‎Extensión impar

Daniel Rodríguez Calderón: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-12T19:48:27Z

‎Base trigonométrica compleja

@@ Línea 39: / Línea 39: @@
 <math>\quad
-f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx})  +  \frac{b_n}{2i}(e^{inx}-e^{-inx})  \right] =
+f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx})  +  \frac{b_n}{2i}(e^{inx}-e^{-inx})  \right]
 </math>
 <math>

@@ Línea 170: / Línea 170: @@
-Tras representar esta función en las imágenes adjuntas, sólo nos falta adaptar la base al nuevo intervalo. Comprobemos que como verifica
+Tras representar esta función en las imágenes adjuntas, sólo nos falta adaptar la base <math> \{e^{n i x}\}_{n \in \mathbb{Z}}</math> al nuevo intervalo. Comprobemos que como
 <math>\quad
-\{e^{\pi n ix }\}_{n \in \mathbb{Z}} : (E_n,E_m)_{L^2} = \int_{-1}^1 E_n\overline{E_m} \,dx = \int_{-1}^1 e^{\pi (n-m)i} \,dx = \begin{cases}
+\{e^{\pi n ix }\}_{n \in \mathbb{Z}} : (e^{\pi n ix},e^{\pi m ix})_{L^2[-1,1]} = \int_{-1}^1 e^{\pi (n-m)i} \,dx = \begin{cases}
 \int_{-1}^1 1 dx = 2 \text{ , si } n = m, \\
 \text{ , si } n \neq m,
@@ Línea 181: / Línea 181: @@
-entonces es una base ortogonal, habiéndonos basado fuertemente en la periodicidad en el intervalo para el segundo caso. Además, podríamos ortonormalizar dividiendo por la norma común a todos los elementos, <math> \sqrt{2} </math>, por lo que podemos definir la base ortonormal
+entonces <math> \{e^{\pi n ix }\}_{n \in \mathbb{Z}}</math> es una base ortogonal en <math>[-1,1]</math>, habiéndonos basado fuertemente en la periodicidad en el intervalo para el segundo caso. Ahora, podemos ortonormalizarla dividiendo por la norma común a todos los elementos, <math> \sqrt{2} </math>. Esto define la base ortonormal
 <math>\quad
-\{E_n\}_{n \in \mathbb{Z}} := \{\frac{\sqrt{2}e^{\pi n ix }}{2}\}_{n \in \mathbb{Z}}.
+\{E_n\}_{n \in \mathbb{Z}} := \left\{\frac{\sqrt{2}e^{\pi n ix }}{2}\right\}_{n \in \mathbb{Z}}.
 </math>
@@ Línea 197: / Línea 197: @@
 </math>
 <math>
-  \quad C_n = (f^*,E_n)_{L^2} = \int_{-1}^1 f^*(x) \overline{E}_n(x) \,dx \in \mathbb{C}.
+  \quad C_n = (f^*,E_n)_{L^2[-1,1]} = \int_{-1}^1 f^*(x) \overline{E}_n(x) \,dx \in \mathbb{C}.
 </math>
@@ Línea 215: / Línea 215: @@
 <math> \quad
-f(x) \approx \sum_{i=-n}^{n} C_iE_{i|[0,1]}.
+f(x) \approx \sum_{i=-n}^{n} C_iE_{i\big{|}[0,1]}.
 </math>

@@ Línea 244: / Línea 244: @@
 |}
-[[Archivo:Figura6RefDMR.jpg|300px|thumb|right|Representando esta función real de variable real en las mismas referencias que con <math> f^* </math>, puede comprobarse que es precisamente su proyección ortogonal en el plano horizontal, claramente con parte imaginaria nula por estar definida como parte real de una función de valores complejos.]]
+[[Archivo:Figura6RefDMR.jpg|500px|thumb|right|Representando esta función real de variable real en las mismas referencias que con <math> f^* </math>, puede comprobarse que es precisamente su proyección ortogonal en el plano horizontal, claramente con parte imaginaria nula por estar definida como parte real de una función de valores complejos.]]
 <syntaxhighlight lang="matlab">

@@ Línea 133: / Línea 133: @@
 =Extensión impar=
 {| class="wikitable" style="text-allign:justify;width:200px; float:right; font-size:90%;"
@@ Línea 145: / Línea 143: @@
 | Representación de <math>f^*</math> con eje <math>x</math> y el plano complejo en la parte superior, mientras que representamos abajo parte real (izquierda) e imaginaria (derecha).
 |}
@@ Línea 181: / Línea 182: @@
 entonces es una base ortogonal, habiéndonos basado fuertemente en la periodicidad en el intervalo para el segundo caso. Además, podríamos ortonormalizar dividiendo por la norma común a todos los elementos, <math> \sqrt{2} </math>, por lo que podemos definir la base ortonormal
@@ Línea 197: / Línea 199: @@
   \quad C_n = (f^*,E_n)_{L^2} = \int_{-1}^1 f^*(x) \overline{E}_n(x) \,dx \in \mathbb{C}.
 </math>
 {| class="wikitable" style="text-align:justify; width:500px; float:right; font-size:80%;"
@@ Línea 211: / Línea 209: @@
 | colspan="2" |  Representación de aproximaciones con elementos hasta <math> n = 5,10,20 </math> en tres dimensiones, parte real de las aproximaciones y parte imaginaria respectivamente en esquinas superior izquierda y ambas de abajo. Mejora visiblemente, aunque difieran los extremos, reflejado en los errores representados en la esquina superior derecha.
 |}

@@ Línea 197: / Línea 197: @@
   \quad C_n = (f^*,E_n)_{L^2} = \int_{-1}^1 f^*(x) \overline{E}_n(x) \,dx \in \mathbb{C}.
 </math>
@@ Línea 208: / Línea 211: @@
 | colspan="2" |  Representación de aproximaciones con elementos hasta <math> n = 5,10,20 </math> en tres dimensiones, parte real de las aproximaciones y parte imaginaria respectivamente en esquinas superior izquierda y ambas de abajo. Mejora visiblemente, aunque difieran los extremos, reflejado en los errores representados en la esquina superior derecha.
 |}

@@ Línea 243: / Línea 243: @@
 [[Archivo:Figura6RefDMR.jpg|300px|thumb|right|Representando esta función real de variable real en las mismas referencias que con <math> f^* </math>, puede comprobarse que es precisamente su proyección ortogonal en el plano horizontal, claramente con parte imaginaria nula por estar definida como parte real de una función de valores complejos.]]
-<source lang="matlab">
+<syntaxhighlight lang="matlab">
 %%% Código generado junto con Chat GPT para aproximación y representación de gráficas.
@@ Línea 400: / Línea 400: @@
      'Interpreter', 'latex');
 hold off;
-</source>
+</syntaxhighlight>
 [[Categoría:EDP]]
 [[Categoría:EDP24/25]]

@@ Línea 199: / Línea 199: @@
-{| class="wikitable" style="text-align:justify; width:725px; float:right; font-size:80%;"
+{| class="wikitable" style="text-align:justify; width:500px; float:right; font-size:80%;"
 |+ Aproximaciones mediante base trigonométrica compleja.
 |-

@@ Línea 48: / Línea 48: @@
 De esta forma hemos obtenido la base trigonométrica compleja
 <math>\quad
@@ Línea 55: / Línea 56: @@
 Usando el producto escalar, comprobemos que es una base ortogonal
 <math>\quad

@@ Línea 148: / Línea 148: @@
 \begin{align}
 f: [0,1] \subseteq \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{C} \\
-x &\mapsto 4x(\frac{1}{2} − x)^2 + ix
+x &\mapsto 4x(\frac{1}{2} − x)^2 + ix.
 \end{align}
 </math>
 Notemos que el intervalo de definición no es simétrico. Extendamos <math> f </math> de forma impar
 <math>\quad
 \begin{align}
 f^*: [-1,1] \subseteq \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{C}   \\
-x &\mapsto \begin{cases} 4x(\frac{1}{2} + x)^2 + ix \text{ , si } x\in [-1,0]\\
+x &\mapsto \begin{cases} 4x(\frac{1}{2} + x)^2 + ix \text{ , si } x\in [-1,0],\\
-x(\frac{1}{2} - x)^2 + ix \text{ , si } x\in [0,1]
+x(\frac{1}{2} - x)^2 + ix \text{ , si } x\in [0,1].
 \end{cases}
 \end{align}
 </math>
@@ Línea 185: / Línea 187: @@
 Para realizar las aproximaciones, necesitamos los coeficientes de cada elemento que consideremos, que pueden obtenerse por ortonormalidad de la base mediante el producto escalar ya que
 <math>\quad
-f^*(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_nE_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_ne^{\pi n i} \quad ,
+f^*(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_nE_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_ne^{\pi n i}, \quad
 </math>
 <math>
   \quad C_n = (f^*,E_n)_{L^2} = \int_{-1}^1 f^*(x) \overline{E}_n(x) \,dx \in \mathbb{C}.
 </math>
 {| class="wikitable" style="text-align:justify; width:725px; float:right; font-size:80%;"
@@ Línea 204: / Línea 206: @@
 | colspan="2" |  Representación de aproximaciones con elementos hasta <math> n = 5,10,20 </math> en tres dimensiones, parte real de las aproximaciones y parte imaginaria respectivamente en esquinas superior izquierda y ambas de abajo. Mejora visiblemente, aunque difieran los extremos, reflejado en los errores representados en la esquina superior derecha.
 |}
 Podemos estimar estos coeficientes <math> C_n </math> numéricamente por fórmula del trapecio, y así aproximar la función para un número dado de <math> E_n </math>. La aproximación con los elementos de la base de <math>-n</math> a <math>n</math> será entonces
 <math> \quad
-f(x) \approx \sum_{i=-n}^{n} C_iE_{i|[0,1]}
+f(x) \approx \sum_{i=-n}^{n} C_iE_{i|[0,1]}.
 </math>
 Vemos que la aproximación mejora el error en norma <math>L_2</math>, algo que esperábamos por continuidad de <math>f</math> y su extensión impar. Además, como

@@ Línea 45: / Línea 45: @@
-donde <math> c_0:=\frac{a_0}{2}</math>, <math> c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} </math> y <math> c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} </math>. Decimos que este desarrollo es formal por el penúltimo paso:
+donde <math> c_0:=\frac{a_0}{2}</math>, <math> c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} </math> y <math> c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} </math>. Decimos que este desarrollo es formal por el penúltimo paso, notemos que estamos reordenando sumandos.
-−
-Notemos que estamos reordenando sumandos.
-−
 De esta forma hemos obtenido la base trigonométrica compleja