Series de Fourier (Grupo CJMAS) - Historial de revisiones

Carlos Castro en 06:58 26 sep 2025

2025-09-26T06:58:46Z

Carlos Castro en 06:58 26 sep 2025

2025-09-26T06:58:37Z

Sofía de Benito: /* Introducción */

2025-02-17T17:21:18Z

‎Introducción

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Sofía de Benito: /* Introducción */

2025-02-17T17:20:49Z

‎Introducción

Sofía de Benito: /* Introducción */

2025-02-17T17:19:40Z

‎Introducción

Sofía de Benito: /* Base trigonométrica */

2025-02-17T13:04:10Z

‎Base trigonométrica

Marta de Miguel Prieto: /* Cambio de intervalo */

2025-02-15T18:08:41Z

‎Cambio de intervalo

Marta de Miguel Prieto: /* Base trigonométrica */

2025-02-15T17:50:18Z

‎Base trigonométrica

Marta de Miguel Prieto: /* Base trigonométrica */

2025-02-15T17:48:39Z

‎Base trigonométrica

Marta de Miguel Prieto: /* Introducción */

2025-02-15T17:35:46Z

‎Introducción

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	Series de Fourier. Grupo CJMAS \| [[:Categoría: EDP\|EDP]]\|[[:Categoría:EDP24/25\|2024-25]] \| Claudia Domínguez Sánchez, Javier Martínez Saiz, Marta De Miguel Prieto, Analía Olivero Betancor, Sofía De Benito Valdueza }}		Series de Fourier. Grupo CJMAS \| [[:Categoría: EDP\|EDP]]\|[[:Categoría:EDP24/25\|2024-25]] \| Claudia Domínguez Sánchez, Javier Martínez Saiz, Marta De Miguel Prieto, Analía Olivero Betancor, Sofía De Benito Valdueza }}

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 donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:
-<center> <math> d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{b-a}}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{\sqrt{b-a}} dx , </math> </center>
+<center> <math> d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{b-a}}\rangle=\frac{1}{\sqrt{b-a}}\int_{-T}^{T} f(x)  dx , </math> </center>
 <center> <math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math> </center>

@@ Línea 24: / Línea 24: @@
 donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:
-<center> <math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math> </center>
+<center> <math> d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{b-a}}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{\sqrt{b-a}} dx , </math> </center>
 <center> <math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math> </center>

@@ Línea 26: / Línea 26: @@
 <center> <math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math> </center>
-<center> <math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math> </center>
+<center> <math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math> </center>
-<center> <math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math> </center>
+<center> <math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math> </center>
 == Base trigonométrica ==

@@ Línea 40: / Línea 40: @@
 <center><math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n x) + c_n \sin(n x) \right) </math>. </center>
-Este es el intervalo más común para expresar la base, pero para analizar su comportamiento en otro intervalo, como  <math>[-1,1]</math>, representamos gráficamente sus primeros 10 términos. Para <math>a=-1,b=1</math> la base es:
+Este es el intervalo más común para expresar la base, pero para analizar su comportamiento en otro intervalo, como  <math>[-1,1]</math>, representamos gráficamente sus primeros 10 términos. Para <math>a=-1,b=1</math> la base ortonormalizada es:
-−
-<center><math>  \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>. </center>
-−
-Si consideramos la base ortonormalizada, usamos la expresión del apartado anterior. Así, los términos ortonormalizados son:
 <center><math>  \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>. </center>

@@ Línea 123: / Línea 123: @@
 == Cambio de intervalo ==
-Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica
+Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica
 <center> <math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\}  \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right),  \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math> </center>
-De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).
+De esta forma, trasladamos el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).
-Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:
+Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\):
 [[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]
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 }}
-La gráfica muestra la aproximación de la función \(f(x)= x e^{-x}\) mediante series de Fourier con cambio de variable. Se observa que las aproximaciones mejoran a medida que aumentamos el número de términos en la serie. En particular, en los puntos interiores del intervalo, las funciones \(f_n(x) \) se ajustan mejor a \(f(x)\) en comparación con los extremos, donde se nota una mayor discrepancia debido al comportamiento de la serie en los bordes del intervalo.
+La gráfica muestra la aproximación de \(f(x)= x e^{-x}\) mediante series de Fourier con cambio de variable. La precisión mejora a medida que aumenta el número de términos de la serie, ajustándose mejor en los puntos interiores del intervalo que en los extremos, donde notamos una mayor discrepancia.
-Este efecto se conoce como el fenómeno de Gibbs, que aparece al intentar aproximar la función mediante una serie de Fourier periódica. Como la serie debe ajustarse a una versión periódica de la función, surgen discontinuidades en los bordes, lo que provoca oscilaciones cerca de estos puntos. Aunque al aumentar el número de términos en la serie las oscilaciones se vuelven más localizadas, no desaparecen por completo, mostrando el carácter persistente del fenómeno de Gibbs.
+Este efecto, conocido como el fenómeno de Gibbs, surge al aproximar la función mediante una serie de Fourier periódica. Como la serie debe ajustarse a una versión periódica de la función, surgen discontinuidades en los bordes, lo que provoca oscilaciones cerca de estos puntos. Aunque al aumentar el número de términos en la serie las oscilaciones se vuelven más localizadas, no desaparecen por completo, mostrando el carácter persistente del fenómeno de Gibbs.

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 |}
-A medida que <math>n</math> aumenta, las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.
+A medida que <math>n</math> aumenta, las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, reduciendo su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.
 Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

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 == Introducción ==
-Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, expresan dichas funciones como series infinitas de términos trigonométricos, facilitando su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.
+Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas como series infinitas de términos senoidales y cosenoidales, facilitando su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.
 Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como