Series de Fourier (Grupo CCE) - Historial de revisiones

Coloma de Lara en 06:22 19 feb 2026

2026-02-19T06:22:06Z

Coloma de Lara en 06:21 19 feb 2026

2026-02-19T06:21:38Z

Coloma de Lara: /* Estudio de Convergencia según el número de términos */

2026-02-19T06:10:22Z

‎Estudio de Convergencia según el número de términos

Coloma de Lara: /* Estudio de la Convergencia según la regularidad */

2026-02-19T06:09:24Z

‎Estudio de la Convergencia según la regularidad

Coloma de Lara: /* Aproximación de una función continua */

2026-02-19T06:08:23Z

‎Aproximación de una función continua

Coloma de Lara: /* Introducción */

2026-02-19T06:06:27Z

‎Introducción

Coloma de Lara en 22:36 18 feb 2026

2026-02-18T22:36:42Z

Coloma de Lara en 22:33 18 feb 2026

2026-02-18T22:33:04Z

Coloma de Lara en 22:32 18 feb 2026

2026-02-18T22:32:26Z

Coloma de Lara en 22:31 18 feb 2026

2026-02-18T22:31:44Z

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−	[[Archivo:Seriesdefourier_grupoCCEposter.~~jpg~~]]	+	[[Archivo:Seriesdefourier_grupoCCEposter.pdf]]

	== Visualizar la base trigométrica ==		== Visualizar la base trigométrica ==

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	Elena Rodríguez }}		Elena Rodríguez }}

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	== Visualizar la base trigométrica ==		== Visualizar la base trigométrica ==

@@ Línea 55: / Línea 55: @@
 === Estudio de Convergencia según el número de términos===
-Calculamos los coeficientes <math>a_k</math> mediante la '''fórmula del trapecio''' con una división de <math>10^{-3}</math>. Evaluamos el error en las normas <math>L^2</math> y uniforme (<math>L^\infty</math>) para observar la calidad de la aproximación en función del número de términos de la serie. Luego hemos dibujado en una gráfica el error en ambas normas en función de n, donde podemos ver que las gráficas obtenidas son del tipo exponencial negativa.
+Calculamos los coeficientes <math>a_k</math> mediante la '''fórmula del trapecio''' con una división de <math>10^{-3}</math>. Evaluamos el error en las normas <math>L^2</math> y uniforme (<math>L^\infty</math>) .
 {| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
 |-

@@ Línea 222: / Línea 222: @@
 [[Archivo:Erroresfunciones_grupoCCE.png|450px|thumb|center|Error de cada función.]]
 |}
- Obtenemos los coeficientes de los términos impares mediante MatLab:
 {| class="wikitable" style="text-align: center; width: 100%;"
 |+ Coeficientes de Fourier bn

@@ Línea 53: / Línea 53: @@
 En este apartado, aproximamos la función continua <math>f(x) = 1 - 2|1/2 - x|</math> en el intervalo <math>[0, 1]</math>.
 === Estudio de Convergencia según el número de términos===
@@ Línea 134: / Línea 118: @@
 | style="text-align: center;" | [[Archivo:Errores_grupoCCE.png|400px|thumb|center|Errores graficados en norma L2 y uniforme.]]
 |}
-Con esto podemos estudiar la convergencia a partir del número de términos de la serie de Fourier. A medida que aumentamos n, la suma parcial <math>f_n(x)</math> se ajusta con mayor precisión a la forma de la función original.
 === Estudio de la Convergencia según la regularidad===
 {| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
 |-
@@ Línea 195: / Línea 174: @@
 [[Archivo:Salto_grupoCCE.png|300px|thumb|center|]]
 |}
-Podemos ver que en el caso de la parábola la Serie de Fourier la aproxima practicamente a la perfección, mientras que en nuestra función en el pico en <math>x=0.5</math> (se aprecia mejor en la gráfica anterior que esta más ampliada) falla, y en cambio en la función salto hay oscilaciones persistentes en la discontinuidad, el llamado fenómeno de Gibbs. Para poder compararlo bien vamos a representar el error de cada función en norma
-<math>L^2</math> y en escala logarítmica (ya que hemos visto antes que siguen una exponencial negativa).
 {| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
@@ Línea 244: / Línea 222: @@
 [[Archivo:Erroresfunciones_grupoCCE.png|450px|thumb|center|Error de cada función.]]
 |}
-Como podemos ver en el caso de la función salto añadir términos no hace que disminuya el error de forma significativa, ya que su error es el que menos pendiente tiene. En la triangular el error va decreciendo mucho más rápido, y en la parábola se consigue el menor error con la menor cantidad de términos, presentando la pendiente más inclinada lo que indica que el error disminuye más rápido.
+ Obtenemos los coeficientes de los términos impares mediante MatLab:
-−
-Por último, ver que los coecientes de Fourier son un indicador de la regularidad. Cuanto más rápido caen a cero, más regular es la función. Si obtenemos los coeficientes de cada función anterior veremos que los de la parábola son los más cercanos a 0. Obteenemos los coeficientes de los términos impares mediante MatLab:
 {| class="wikitable" style="text-align: center; width: 100%;"
 |+ Coeficientes de Fourier bn
@@ Línea 269: / Línea 245: @@
 ! Decaimiento !! '''1/n'''  !! '''1/n²'''  !! '''1/n³'''
 |}
-Y observamos que los coeficientes de la función salto decaen de manera <math>\frac{1}{n}</math> , más lentos que los de la triangular que lo hacen de manera <math>\frac{1}{n^2}</math> y los de la parábola lo hacen al menos a <math>\frac{1}{n^3}</math>.
 [[Categoría:EDP]]
 [[Categoría:EDP25/26]]

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	Elena Rodríguez }}		Elena Rodríguez }}

−
−	~~== Introducción==~~
−	Este trabajo tiene como objetivo principal profundizar en la '''aproximación de funciones por series de Fourier''', herramienta fundamental en el estudio de las Ecuaciones en Derivadas Parciales. En este artículo vamos a primero visualizar la base trigonométrica y segundo obtener una aproximación mediante Series de Fourier de una función continua.
−	~~===La Base Trigonométrica en [-T, T] ===~~
−	Para una función definida en un intervalo <math>[-T, T]</math>, utilizamos un conjunto de funciones que actúan como generadores del espacio. Esta familia de funciones es la denominada '''base trigonométrica''' y usamos la normalizada:
−
−	~~<center>~~
−	~~<math> \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}}, \frac{1}{\sqrt{T}}\cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right), \frac{1}{\sqrt{T}}\sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>~~
−	~~</center>~~
−	~~Estas funciones son las piezas fundamentales para construir cualquier función periódica con la regularidad suficiente.~~
−
−	~~===Definición de la Serie de Fourier ===~~
−	~~Dada una función <math>f(x)</math> integrable en el intervalo <math>[-T, T]</math>, su desarrollo en '''Serie de Fourier''' se define como:~~
−
−	~~<center>~~
−	<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) </math>
−	~~</center>~~
−
−	~~Donde los coeficientes de Fourier se calculan mediante las siguientes proyecciones (integrales):~~
−
−	* '''Coeficiente constante:''' <math> d_0 = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} dx </math>
−	* '''Coeficientes de cosenos:''' <math> d_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx </math>
−	* '''Coeficientes de senos:''' <math> c_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx </math>

	== Visualizar la base trigométrica ==		== Visualizar la base trigométrica ==

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 {{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo CCE| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Coloma de Lara
 Carlos de Miguel
 Elena Rodríguez }}

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	Y observamos que los coeficientes de la función salto decaen de manera <math>\frac{1}{n}</math> , más lentos que los de la triangular que lo hacen de manera <math>\frac{1}{n^2}</math> y los de la parábola lo hacen al menos a <math>\frac{1}{n^3}</math>.		Y observamos que los coeficientes de la función salto decaen de manera <math>\frac{1}{n}</math> , más lentos que los de la triangular que lo hacen de manera <math>\frac{1}{n^2}</math> y los de la parábola lo hacen al menos a <math>\frac{1}{n^3}</math>.
		+	[[Categoría:EDP]]
		+	[[Categoría:EDP25/26]]

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