Series de Fourier (Grupo ACIRV) - Historial de revisiones

Rubén Gutiérrez Hernández: /* Introducción */

2025-02-20T07:30:01Z

‎Introducción

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Angelasotelo: /* Base trigonométrica */

2025-02-19T22:09:35Z

‎Base trigonométrica

Angelasotelo: /* Aproximación de una función discontinua */

2025-02-19T19:55:49Z

‎Aproximación de una función discontinua

Angelasotelo: /* Aproximación de una función discontinua */

2025-02-19T19:54:41Z

‎Aproximación de una función discontinua

Angelasotelo: /* Aproximación de una función discontinua */

2025-02-19T19:49:42Z

‎Aproximación de una función discontinua

Angelasotelo: /* Aproximación de una función continua */

2025-02-19T19:47:06Z

‎Aproximación de una función continua

Angelasotelo: /* Aproximación de una función continua */

2025-02-19T19:46:15Z

‎Aproximación de una función continua

Carmen Doñoro: /* Base trigonométrica compleja */

2025-02-19T15:14:36Z

‎Base trigonométrica compleja

Angelasotelo en 15:49 15 feb 2025

2025-02-15T15:49:17Z

Rubén Gutiérrez Hernández: /* Aproximación de una función discontinua */

2025-02-15T13:42:13Z

‎Aproximación de una función discontinua

@@ Línea 8: / Línea 8: @@
 La idea es que cualquier función \( f(x) \) periódica con \( f\in L^2(-\pi,\pi) \) puede expresarse como:
-<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] </math> </center>
+<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\pi n x\right) + c_n \sin\left(\pi n x\right) \right] </math> </center>
 donde los coeficientes \( d_n \) y \( c_n \) se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
 =Base trigonométrica=
-La <b>base trigonométrica</b> es una base del espacio <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama <b>series de Fourier</b>.
+La <b>base trigonométrica</b>  <math> \left\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>
 Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración:

@@ Línea 427: / Línea 427: @@
 title('Error de la Aproximación de Fourier')
 grid on
+}}
 [[Categoría:EDP]]
 [[Categoría:EDP24/25]]

@@ Línea 290: / Línea 290: @@
-Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo haremos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y para la sumade Cèsaro.
+Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo vemos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y luego visualizamos el que resulta de usar las sumas de Cesàro
 [[Archivo: EJ3_ERROR_FOURIER_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 348: / Línea 348: @@
 F = @(x) 1.*(x <= 1/4);
 g = @(x) F(-x);
-f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);
+f_ext = @(x) 1.(x <= 1/4).(x >= -1/4);
 % Puntos para la evaluación
-xx = linspace(-1, 1, 10000);
+xx = linspace(-1,1, 10000);
 % Graficamos la función original
@@ Línea 377: / Línea 377: @@
 % Cálculo de los coeficientes de Fourier
 d_0 = 0;
-d0 = (2.*F(u).*(1/2))';
+d0 = (2.F(u).(1/2))';
 d_0 = h*w'*d0;  % Coeficiente a_0
 SF = zeros(length(n), length(xx)) + d_0;
@@ Línea 389: / Línea 389: @@
 end
-% Aplicamos las sumas de Cesàro
+% Aplicamos las sumas de Cesàro y guardamos en una matriz su valor para
-SNs = zeros(1, length(xx));
+% cada n
-for i = 1:length(n)
+SN =  zeros(length(n), length(xx));
-     SNs = SNs + SF(i,:);
+SNs = zeros(length(n), length(xx));
 end
 % Cálculo del error con normas L^∞ y L^2
@@ Línea 404: / Línea 404: @@
 error_L2 = zeros(1, length(n));
 for i = 1:length(n)
      % Norma uniforme (máximo error absoluto)
-     error_uniforme(i) = max(abs(F(xx) - SF(i,:)));
+     error_uniforme(i) = max(abs(f_ext(xx) - SN(i,:)));
      % Norma L^2 usando la regla del trapecio
-     integrando = (F(u) - SF(i, round(linspace(1, length(xx), length(u)))).^2);
+     integrando =2.*((f_ext(xx) - SN(i,:)).^2);
-     error_L2(i) = sqrt(h * (w' * integrando'));
+     error_L2(i) = sqrt(h1.*w1'*integrando');
 end
 % Graficamos los errores
 figure
-semilogy(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
+plot(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
 hold on
-semilogy(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
+plot(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
-xlabel('Valor de n')
+xlabel('Número de términos N')
-ylabel('Error en escala logarítmica')
+ylabel('Error')
-title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
+legend('Norma uniforme', 'Norma L^2')
-legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
+title('Error de la Aproximación de Fourier')
 grid on
 [[Categoría:EDP]]
 [[Categoría:EDP24/25]]

@@ Línea 340: / Línea 340: @@
 ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
 }}
-[[Archivo: EJ3_ERROR_SUMAS_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
+[[Archivo: imagen_error_sumas_cesaro_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
 {{matlab|codigo=
 clear all

@@ Línea 87: / Línea 87: @@
 Definimos \( f_n(x) \) como la suma de los primeros \( n \) términos de la serie de Fourier:
-<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \sum_{k=1}^{n} c_n \sin(k\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>
+<center> <math> f_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n} c_k \sin(k\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>
 A continuación, representamos gráficamente \( f(x) \) y \( f_n(x) \) para \( n=1,5,10 \).

@@ Línea 289: / Línea 289: @@
-Falta comparar el error de ambas aproximaciones.
 {{matlab|codigo=
 a=0; b=1;
 u_1=a:10^(-3):b;
 N=length(u_1)-1;
 h=(b-a)/N;
@@ Línea 299: / Línea 300: @@
 % Definir la función f(x)
 f = @(x) 1.*(x<=1/4);
 % Pesos para la integración con la regla del trapecio
@@ Línea 317: / Línea 319: @@
          f_n=f_n+d_k*cos(k*pi*u_1); %Suma de términos
      end
-f_n=f_n+d_0;
+f_n=f_n+d_0; %Función extendida
      % Cálculo de errores
-     g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
+     g1=abs(f_ext(u_1)-f_n).^2;
      error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
-     error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
+     error2(n)=max(abs(f_ext(u_1)-f_n)); % Norma suprema
 end
@@ Línea 338: / Línea 340: @@
 ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
 }}
 [[Categoría:EDP]]
 [[Categoría:EDP24/25]]