Series de Fourier (CGomJRod) - Historial de revisiones

Javier Rodríguez Carrasquilla en 07:33 15 feb 2024

2024-02-15T07:33:47Z

Carlos Gómez: /* Base trigonométrica compleja */

2024-02-14T17:10:57Z

‎Base trigonométrica compleja

Carlos Gómez: /* Definición */

2024-02-14T17:04:33Z

‎Definición

Carlos Gómez: /* Definición */

2024-02-14T17:03:54Z

‎Definición

Carlos Gómez: /* Cambio de intervalo */

2024-02-14T16:57:55Z

‎Cambio de intervalo

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Carlos Gómez: /* Aproximación de una función discontinua */

2024-02-14T16:51:29Z

‎Aproximación de una función discontinua

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Aproximación de una función discontinua */

2024-02-14T16:33:36Z

‎Aproximación de una función discontinua

Carlos Gómez: /* Aproximación de una función discontinua */

2024-02-14T16:30:13Z

‎Aproximación de una función discontinua

Carlos Gómez: /* Aproximación de una función continua */

2024-02-14T16:28:57Z

‎Aproximación de una función continua

Carlos Gómez: /* Aproximación de una función continua */

2024-02-14T16:25:38Z

‎Aproximación de una función continua

← Revisión anterior		Revisión del 07:33 15 feb 2024
Línea 620:		Línea 620:

	{{ referencias }}		{{ referencias }}
		+	[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
		+	[[Categoría:EDP]]
		+	[[Categoría:EDP23/24]]

@@ Línea 568: / Línea 568: @@
 <center><math>\lbrace e^{inx}\rbrace_{n\in\mathbb{Z}}</math>.</center>
 Los coeficientes de la serie por tanto para una función <math>f\in L^{2}(-\pi,\pi)</math> se obtendrían mediante la fórmula
-<center><math>a_n=\frac{\langle f(x),e^{inx}\rangle_{L^{2}(-\pi,\pi)}}{\lVert e^{inx}\rVert_{L^{2}(-\pi,\pi)}^{2}}=\frac{\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot \overline{e^{inx}} dx}{\int_{-\pi}^{\pi} e^{inx}\cdot \overline{e^{inx}} dx}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot e^{-inx} dx</math>.</center>
+<center><math>a_n=\frac{\langle f(x),e^{inx}\rangle_{L^{2}(-\pi,\pi)}}{\lVert e^{inx}\rVert_{L^{2}(-\pi,\pi)}^{2}}=\frac{\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot \overline{e^{inx}} dx}{\int_{-\pi}^{\pi} e^{inx}\cdot \overline{e^{inx}} dx}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot e^{-inx} dx</math></center>
 y con esto se tendría
 <center><math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}e^{inx},\thinspace e.c.p</math>.</center>
@@ Línea 575: / Línea 575: @@
 f \colon [0,1] &\to \mathbb{R} \\
 x &\mapsto f(x):=4x(\frac{1}{2}-x)^2
-\end{align*}</math>.</center>
+\end{align*}</math></center>
 Por lo visto anteriormente, basta realizar la aproximación de la función en la base de <math> L^{2}(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) </math>. Realizando el cambio de variable pertinente, se obtiene que la base es <math>\lbrace e^{i2\pi nx}\rbrace_{n\in\mathbb{Z}}</math> y se obtendrían los coeficientes con las integrales mencionadas anteriormente. Nótese que ahora las funciones de la base no solo son ortogonales, también son ortonormales.
 [[Archivo:CGomJRod GraficoSerief4SF.png|600px|thumb|right|Gráficas de las funciones <math>f(x)</math> y <math>f_{n}(x)</math> para distintos <math>n</math>]]

@@ Línea 6: / Línea 6: @@
 Sean el espacio de Hilbert <math>L^2([-\pi,\pi])</math> y una base de Hilbert de dicho espacio <math>\{ \frac{1}{2},\cos(nx),\sin(nx)\}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Sea <math> f \in L^2 ([-\pi,\pi]) </math> entonces se llama serie de Fourier a la serie convergente tal que:
-<center><math> f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n x) +b_n \cos(n x)] /thinspace e.c.p  </math></center>
+<center><math> f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n x) +b_n \cos(n x)] \thinspace e.c.p  </math></center>
 Los términos <math> a_0,a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> reciben el nombre de coeficientes de Fourier y se calculan como sigue:

@@ Línea 6: / Línea 6: @@
 Sean el espacio de Hilbert <math>L^2([-\pi,\pi])</math> y una base de Hilbert de dicho espacio <math>\{ \frac{1}{2},\cos(nx),\sin(nx)\}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Sea <math> f \in L^2 ([-\pi,\pi]) </math> entonces se llama serie de Fourier a la serie convergente tal que:
-<center><math> f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n x) +b_n \cos(n x)]  </math></center>
+<center><math> f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n x) +b_n \cos(n x)] /thinspace e.c.p  </math></center>
 Los términos <math> a_0,a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> reciben el nombre de coeficientes de Fourier y se calculan como sigue:

@@ Línea 507: / Línea 507: @@
 = Cambio de intervalo=
-Hasta ahora se han visto tan solo series de Fourier asociadas a funciones definidas en intervalos simétricos con respecto al <math> 0 </math> o reducibles a serlo (mediante extensiones pares o impares). De cara a formular desarrollos de Fourier en un intervalo genérico, se suele usar una estrategia que consiste en extender nuestra función por periodicidad, y tomar el tramo que contenga al <math> 0 </math> para el desarrollo. Una vez hecho esto, se extiende la serie por periodicidad de la misma manera para quedarnos con el tramo que contiene al intervalo de definición de la función inicial.
+Hasta ahora se han visto tan solo series de Fourier asociadas a funciones definidas en intervalos simétricos con respecto al <math> 0 </math> o reducibles a serlo, mediante extensiones pares o impares. De cara a formular desarrollos de Fourier en un intervalo genérico, se suele usar una estrategia que consiste en extender nuestra función por periodicidad, y tomar el tramo que contenga al <math> 0 </math> para el desarrollo. Una vez hecho esto, se extiende la serie por periodicidad de la misma manera para quedarnos con el tramo que contiene al intervalo de definición de la función inicial.
 Pongamos como ejemplo la siguiente función
@@ Línea 514: / Línea 514: @@
 x &\mapsto f(x):=x e^{-x}
 \end{align*}</math></center>
-y a continuación su extensión por periodicidad con periodo <math>3-1=2</math> (de acuerdo a lo mencionado en la [[Series de Fourier (CGomJRod)#Definición|definición]]), de manera que <math>f(x)=f(x+2k),\thinspace k\in \mathbb{Z}</math>.
+Podemos extenderla por periodicidad con periodo <math>3-1=2</math> de acuerdo a lo mencionado en la [[Series de Fourier (CGomJRod)#Definición|definición]]. Así, <math>f(x)=f(x+2k),\thinspace k\in \mathbb{Z}</math>.
 Una vez visto esto, basta utilizar la base de <math>L^{2}\left( -1,1 \right)</math>
@@ Línea 520: / Línea 520: @@
 <center><math> \lbrace \frac{1}{2},\cos(n\pi x),\sin(n\pi x)\rbrace_{n \in \mathbb{N} }</math></center>
-y extender la serie por periodicidad hasta que caiga en <math>[1,3]=Dom(f)</math>.
+y extender la serie por periodicidad hasta que <math>[1,3]=Dom(f)</math>.
 [[Archivo:CGomJRod GraficoSerief3SF.png|600px|thumb|right|Gráficas de las funciones <math>f(x)</math> y <math>f_{n}(x)</math> para distintos <math>n</math>]]

@@ Línea 298: / Línea 298: @@
 <center><math> f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty b_n \cos(n x)  </math></center>
-Apliquemos lo anterior a la función <math>f(x)=1_{x \leq \frac{1}{2}}(x)</math> definida en el  compacto <math>[0,1]</math>,  cuya gráfica y su correspondiente extensión par se muestran a continuación.
+Apliquemos lo anterior a la función <math>g(x)=1_{x \leq \frac{1}{2}}(x)</math> definida en el  compacto <math>[0,1]</math>,  cuya definición y gráfica se muestra a continuación.
-[[Archivo:CGomJRod Graficof2SF.png|370px|thumb|right|Gráfico de la función <math> f(x)=1_{x\leq 1/2}(x), D(f)=[0,1]</math>]]
+{{matlab|codigo=
 {{matlab|codigo=
 close all
@@ Línea 319: / Línea 330: @@
 <br/>
 <br/>
-Donde la función <math>g</math> queda definida en el siguiente código:
 {{matlab|codigo=
 function [y] = g(x)
-     if x>1/2
+     if abs(x)>1/2
          y=0;
      else
@@ Línea 331: / Línea 343: @@
 <br/>
 <br/>
-[[Archivo:CGomJRod Graficof2ExtSF.png|370px|thumb|right|Extensión par de la función <math> f(x)=1_{x\leq 1/2}(x), D(f)=[0,1]</math>]]
 {{matlab|codigo=
 close all
@@ Línea 357: / Línea 370: @@
 <br/>
 <br/>
-Donde la función <math>g</math> queda definida en el siguiente código:
-{{matlab|codigo=
-function [y] = g(x)
-    if abs(x)>1/2
-        y=0;
-    else
-        y=1;
-    end
-end
-}}
-<br/>
-<br/>
 Es fácil ver que esta función es continua en todo su dominio salvo en <math>x=\frac{1}{2}</math> y <math>x=-\frac{1}{2}</math>, por lo que la serie convergerá puntualmente en todo el compacto salvo en esos puntos; en los que valdrá <math>\frac{1}{2}</math>. Esto se aprecia muy bien en la siguiente figura, en la que se muestra la serie de Fourier con <math>n=1,5,10</math>.
-[[Archivo:CGomJRod GraficoSerief2SF.png|600px|thumb|right|Gráficas de las funciones <math>f(x)</math> y <math>f_{n}(x)</math> para  <math>n=1,5,10</math>]]
+[[Archivo:CGomJRod GraficoSerief2SF.png|600px|thumb|right|Gráficas de las funciones <math>g(x)</math> y <math>f_{n}(x)</math> para  <math>n=1,5,10</math>]]
 {{matlab|codigo=
 close all
@@ Línea 411: / Línea 413: @@
 <center><math> S_N(x)=\frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N f_n(x)</math></center>
-A continuación se muestran dichas sumas junto con la función que buscábamos aproximar para <math>N=1,5,10</math>. En estas gráficas se observa no sólo cómo según aumenta el número de términos, la suma aproxima mejor la función, sino que desaparece el fenómeno de Gibbs en las discontinuidades de la función original.
+A continuación se muestran dichas sumas junto con la función que buscábamos aproximar para <math>N=1,5,10</math>. En estas gráficas se observa cómo la suma aproxima mejor la función según aumenta el número de términos, y además, cómo que desaparece el fenómeno de Gibbs en las discontinuidades de la función original.
-[[Archivo:CGomJRod GraficoSerief2SNSF.png|600px|thumb|right|Gráficas de las funciones <math>f(x)</math> y <math>S_{N}(x)</math> para distintos <math>N=1,5,10</math>]]
+[[Archivo:CGomJRod GraficoSerief2SNSF.png|600px|thumb|right|Gráficas de las funciones <math>g(x)</math> y <math>S_{N}(x)</math> para distintos <math>N=1,5,10</math>]]
 {{matlab|codigo=
 close all
@@ Línea 501: / Línea 503: @@
 <br/>
 <br/>
 = Cambio de intervalo=

@@ Línea 458: / Línea 458: @@
 Al igual que el apartado anterior, concluimos calculando el error cometido en la aproximación. En este caso tomaremos como aproximación la obtenida mediante las sumas de Cesàro.
-[[Archivo:CGomJRod GraficoErrf2SNSF.png|600px|thumb|right|Gráficos de errores]]
+[[Archivo:CGomJRod GraficoErrf2SNSF1.png|600px|thumb|right|Gráficos de errores]]
 {{matlab|codigo=
 close all

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Línea 282:		Línea 282:
	=Aproximación de una función discontinua=		=Aproximación de una función discontinua=

−	~~'''IMPORTANTE CAMBIAR LAS GRÁFICAS DEL ERROR (FINAL DE ESTE APARTADO) A LAS DEL ERROR DE LAS SUMAS DE CESARO, NO DE LA DE FOURIER'''~~

−	~~'''ESTAN LAS DE CESARO, INUTIL, SINO OSCILARÍAN <3'''~~

	Una vez hemos visto el ejemplo de una aproximación de una función continua tras extenderla de forma impar, veamos cómo hacerlo si la extensión es par.		Una vez hemos visto el ejemplo de una aproximación de una función continua tras extenderla de forma impar, veamos cómo hacerlo si la extensión es par.

@@ Línea 248: / Línea 248: @@
 En las gráficas anteriores no se aprecia como mejora la aproximación según aumenta el valor de <math>n</math>, sin embargo, esto se aprecia muy bien en las que se muestran a continuación. En la primera, se observa cómo disminuye rápidamente el error en la norma de <math>L^2(-1,1)</math> según aumentamos el valor de <math>n</math>. La segunda gráfica representa la misma idea pero empleando la norma uniforme.
 [[Archivo:CGomJRod GraficoErrf1SF.png|600px|thumb|right|Gráficos de errores]]
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 278: / Línea 277: @@
 <br/>
 <br/>
 =Aproximación de una función discontinua=

@@ Línea 136: / Línea 136: @@
 <center><math> f(x) =  \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(\frac{n\pi}{b} x)   </math></center>
-Apliquemos lo anterior a la función <math>f(x)=x\cdot (1-x)</math> en el compacto <math>[0,1]</math>, cuya gráfica y su correspondiente extensión impar se muestran a continuación. Para ello hay que definir primero la función <math>f</math> y ejecutar el siguiente código.
+Apliquemos lo anterior a la función <math>f(x)=x(1-x)</math> en el compacto <math>[0,1]</math>, a continuación se muestra la definición de la función <math>f</math> y su correspondiente gráfica.
 {{matlab|codigo=
 function [y] = f(x)
@@ Línea 166: / Línea 166: @@
 <br/>
 La función  queda definida en el siguiente código.