Representación numérica en un ordenador - Historial de revisiones

Carlos Castro en 08:24 8 abr 2015

2015-04-08T08:24:58Z

Carlos Castro en 08:23 8 abr 2015

2015-04-08T08:23:31Z

Herraiz: /* Visualización de los tipos enteros en Octave UPM */

2013-10-02T12:48:39Z

‎Visualización de los tipos enteros en Octave UPM

Herraiz: /* Números naturales */

2013-10-02T12:44:32Z

‎Números naturales

Herraiz en 09:36 5 sep 2013

2013-09-05T09:36:15Z

Herraiz: /* Precisión doble y sencilla */

2013-08-30T15:31:09Z

‎Precisión doble y sencilla

Herraiz: /* Números naturales */

2013-08-30T15:27:14Z

‎Números naturales

Herraiz: /* Números naturales */

2013-08-30T15:26:37Z

‎Números naturales

Herraiz: /* Números naturales */

2013-08-30T15:25:32Z

‎Números naturales

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Herraiz: /* Números naturales */

2013-08-30T15:24:45Z

‎Números naturales

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 | 1000
 |}
-El sistema parece bastante ineficiente. Por ejemplo, para representar el número 8 se necesitan cuatro cifras (1001). Sin embargo, cada una de las cifras del número en binario se representa en el ordenador por un transistor. En el sistema de representación de información, cada una de las cifras recibe el nombre de ''bit''. Cuando un número contiene 8 bits, recibe el nombre de ''byte''<ref>Este sistema tiene su origen en los primeros microprocesadores, que eran capaces de manejar números de 8 bits. En la actualidad, las arquitecturas de los ordenadores personales trabajan con números de 64 bits. Véase [http://es.wikipedia.org/wiki/Byte Byte] (Wikipedia ES).</ref>.
+El sistema parece bastante ineficiente. Por ejemplo, para representar el número 8 se necesitan cuatro cifras (1000). Sin embargo, cada una de las cifras del número en binario se representa en el ordenador por un transistor. En el sistema de representación de información, cada una de las cifras recibe el nombre de ''bit''. Cuando un número contiene 8 bits, recibe el nombre de ''byte''<ref>Este sistema tiene su origen en los primeros microprocesadores, que eran capaces de manejar números de 8 bits. En la actualidad, las arquitecturas de los ordenadores personales trabajan con números de 64 bits. Véase [http://es.wikipedia.org/wiki/Byte Byte] (Wikipedia ES).</ref>.
 Los transistores actuales son microscópicos, por lo que un ordenador puede contener cientos de millones de transistores, lo que posibilita la representación de números muy grandes. Por ejemplo, los procesadores Intel Core i5 pueden contener hasta 700 millones de transistores<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Intel_Core_i5_microprocessors List of Intel Core i5 microprocessors] (Wikipedia EN)</ref>. En estos procesadores, teóricamente sería posible entonces representar números naturales hasta el <math>2^{700\cdot 10^6}</math> en sistema decimal. Este número tendría 210 millones de cifras<ref>Para calcular la cantidad de cifras en decimal ''m'' correspondiente a ''n'' bits calculamos $$m = \log_{10} 2^n = n \log_{10} 2$$. En este caso, hemos calculado $$700\cdot 10^6 \log_{10} 2 = 2.10\cdot 10^8$$</ref> en sistema decimal. En la realidad, la representación de números naturales no puede alcanzar números con esa enormidad de cifras. En primer lugar, muchas operaciones requieren al menos dos números, lo que reduciría la cantidad de cifras para cada número a la mitad. Además, algunos bits se dedican a controlar el formato de los números, su posición en la memoria del ordenador, a representar la operación que se realizará con esos números, etc. En la práctica, las [[Arquitectura de un ordenador|arquitecturas modernas]] funcionan con números de 64 bits.

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 |-
 | 8
-| 1001
+| 1000
 |}
 El sistema parece bastante ineficiente. Por ejemplo, para representar el número 8 se necesitan cuatro cifras (1001). Sin embargo, cada una de las cifras del número en binario se representa en el ordenador por un transistor. En el sistema de representación de información, cada una de las cifras recibe el nombre de ''bit''. Cuando un número contiene 8 bits, recibe el nombre de ''byte''<ref>Este sistema tiene su origen en los primeros microprocesadores, que eran capaces de manejar números de 8 bits. En la actualidad, las arquitecturas de los ordenadores personales trabajan con números de 64 bits. Véase [http://es.wikipedia.org/wiki/Byte Byte] (Wikipedia ES).</ref>.

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 Podemos comprobar que el valor ''intmax('int64')'' es más pequeño que ''intmax('uint64')''.
 === Visualización de los tipos enteros en Octave UPM ===
-En [[Octave UPM]] podemos visualizar fácilmente la representación binaria de cualquier número usando el comando ''format''. El comando ''format'' acepta la opción ''bit'' para mostrar la representación en binario de los números, que es como los guarda internamente Octave UPM. Se puede volver al comportamiento habitual (mostrar cuatro decimales) ejecutando ''format'' sin ningún argumento.
+En [[Octave UPM]] podemos visualizar fácilmente la representación binaria de cualquier número usando el comando ''format''. El comando ''format'' acepta la opción ''bit'' para mostrar la representación en binario de los números, que es como los guarda internamente Octave UPM. Se puede volver al comportamiento habitual (mostrar cuatro decimales) ejecutando ''format'' sin ningún argumento. La opción ''bit'' de ''format'' no está disponible en [[MATLAB]], solo se puede usar en [[Octave UPM]] o [[GNU Octave]].
 Para los ejemplos que vamos a mostrar aquí, vamos a forzar a que todos los números usen los tipos de datos enteros, ya que por defecto [[Octave UPM]] usa el tipo de datos ''double''. Veamos el caso de los enteros sin signo, que usábamos para representar a los números naturales más el cero.

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 == Números naturales ==
-Los dispositivos electrónicos que forman parte del ordenador están fabricados usando transistores. Un transistor es un elemento electrónico ''biestable'' que es capaz de representar dos estados. Mediante impulsos eléctricos es posible leer el estado de un transistor, y cambiarlo. Debido a esta característica, en la actualidad todos los ordenadores funcionan con un sistema de representación numérica binario. En este sistema, solo existen dos cifras diferentes: 0 y 1. Por ejemplo, el sistema decimal, usado habitualmente por las personas, tiene diez cifras diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
+Los dispositivos electrónicos que forman parte del ordenador están fabricados usando transistores. Un transistor es un elemento electrónico ''biestable'', es decir, es capaz de representar dos estados. Mediante impulsos eléctricos es posible leer el estado de un transistor, y cambiarlo. Debido a esta característica, en la actualidad todos los ordenadores funcionan con un sistema de representación numérica binario. En este sistema, solo existen dos cifras diferentes: 0 y 1. Por ejemplo, el sistema decimal, usado habitualmente por las personas, tiene diez cifras diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
 Toda la información que se guarda y procesa en el ordenador se transforma al sistema de representación numérica binario. El caso más sencillo de entender es el de los números naturales (aunque en los ejemplos incluiremos el cero también). Tradicionalmente, representamos los números naturales usando el sistema decimal de representación. Pero se pueden representar en cualquier otro sistema, de manera sencilla. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos:

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 === Error debido a la precisión ===
-En ambos casos, como todo el espacio que ocupa el número tiene que repartirse entre mantisa y exponente, existe también un límite en la precisión que podemos representar. Es decir, los números en punto flotante son '''discretos'''. Por ejemplo, si tomamos un número con infinitos decimales, inevitablemente se perderán decimales al representarlo en punto flotante. Este error se conoce como ''error de truncación'', ya que ''truncamos'' (cortamos) el número real e ignoramos los decimales de menor peso.
+En ambos casos, como todo el espacio que ocupa el número tiene que repartirse entre mantisa y exponente, existe también un límite en la precisión que podemos representar. Es decir, los números en punto flotante son '''discretos'''. Por ejemplo, si tomamos un número con infinitos decimales, inevitablemente se perderán decimales al representarlo en punto flotante. Este error se conoce como ''error de redondeo'', ya que el número decimal se redondea ignorando los decimales de menor peso.
 Veamos un ejemplo. El número <math>\sqrt{2}</math> tiene infinitos decimales. Por tanto, al representarlo en punto flotante, se perderán algunos decimales. Sin embargo, la pérdida de números decimales no es aparente, ya que [[Octave UPM]] muestra cuatro decimales por defecto, y como máximo 14 decimales al imprimir en pantalla:
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 >> ans^2
 ans =  2.00000000000000|lang="matlab"}}
-Sin embargo, aunque el primer y último resultados parecen iguales, en el segundo caso [[Octave UPM]] ha mostrado algunos ceros que normalmente no pone. ¿Por qué aparecen los ceros? En este caso, al calcular <math>(\sqrt{2})^2</math> no ha obtenido un resultado exacto, ya que ha tenido que truncar el número <math>\sqrt{2}</math>. Al no obtener un resultado exacto, hay algunos decimales de más, pero con un peso tan pequeño que no aparecen en las primeras 14 posiciones.
+Sin embargo, aunque el primer y último resultados parecen iguales, en el segundo caso [[Octave UPM]] ha mostrado algunos ceros que normalmente no pone. ¿Por qué aparecen los ceros? En este caso, al calcular <math>(\sqrt{2})^2</math> no ha obtenido un resultado exacto, ya que ha tenido que redondear el número <math>\sqrt{2}</math>. Al no obtener un resultado exacto, hay algunos decimales de más, pero con un peso tan pequeño que no aparecen en las primeras 14 posiciones.
 Podemos averiguar cuál ha sido el error que ha cometido en el cálculo:

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 * ''single'', que ocupa 4 bytes (32 bits), también denominado ''float'' o de precisión sencilla
 * ''double'', que ocupa 8 bytes (64 bits), también denominado de precisión doble
 Los límites que podemos representar con estos números son los siguientes:
 {|class="wikitable"
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 | <math>1.79769313486232\cdot 10^{308}</math>
 |}
 === Error debido a la precisión ===
 En ambos casos, como todo el espacio que ocupa el número tiene que repartirse entre mantisa y exponente, existe también un límite en la precisión que podemos representar. Es decir, los números en punto flotante son '''discretos'''. Por ejemplo, si tomamos un número con infinitos decimales, inevitablemente se perderán decimales al representarlo en punto flotante. Este error se conoce como ''error de truncación'', ya que ''truncamos'' (cortamos) el número real e ignoramos los decimales de menor peso.

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 Los dispositivos electrónicos que forman parte del ordenador están fabricados usando transistores. Un transistor es un elemento electrónico ''biestable'' que es capaz de representar dos estados. Mediante impulsos eléctricos es posible leer el estado de un transistor, y cambiarlo. Debido a esta característica, en la actualidad todos los ordenadores funcionan con un sistema de representación numérica binario. En este sistema, solo existen dos cifras diferentes: 0 y 1. Por ejemplo, el sistema decimal, usado habitualmente por las personas, tiene diez cifras diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
-Toda la información que se guarda y procesa en el ordenador se transforma al sistema de representación numérica binario. El caso más sencillo de entender es el de los números naturales (aunque en los ejemplos incluiremos el cero también), que es un número con 20 cifras en sistema decimal. Tradicionalmente, representamos los números naturales usando el sistema decimal de representación. Pero se pueden representar en cualquier otro sistema, de manera sencilla. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos:
+Toda la información que se guarda y procesa en el ordenador se transforma al sistema de representación numérica binario. El caso más sencillo de entender es el de los números naturales (aunque en los ejemplos incluiremos el cero también). Tradicionalmente, representamos los números naturales usando el sistema decimal de representación. Pero se pueden representar en cualquier otro sistema, de manera sencilla. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos:
 {| class="wikitable"
 ! Decimal
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 Los transistores actuales son microscópicos, por lo que un ordenador puede contener cientos de millones de transistores, lo que posibilita la representación de números muy grandes. Por ejemplo, los procesadores Intel Core i5 pueden contener hasta 700 millones de transistores<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Intel_Core_i5_microprocessors List of Intel Core i5 microprocessors] (Wikipedia EN)</ref>. En estos procesadores, teóricamente sería posible entonces representar números naturales hasta el <math>2^{700\cdot 10^6}</math> en sistema decimal. Este número tendría 210 millones de cifras<ref>Para calcular la cantidad de cifras en decimal ''m'' correspondiente a ''n'' bits calculamos $$m = \log_{10} 2^n = n \log_{10} 2$$. En este caso, hemos calculado $$700\cdot 10^6 \log_{10} 2 = 2.10\cdot 10^8$$</ref> en sistema decimal. En la realidad, la representación de números naturales no puede alcanzar números con esa enormidad de cifras. En primer lugar, muchas operaciones requieren al menos dos números, lo que reduciría la cantidad de cifras para cada número a la mitad. Además, algunos bits se dedican a controlar el formato de los números, su posición en la memoria del ordenador, a representar la operación que se realizará con esos números, etc. En la práctica, las [[Arquitectura de un ordenador|arquitecturas modernas]] funcionan con números de 64 bits.
-Si usamos 64 bits para representar un número natural en sistema decimal, el número más grande que podremos representar es <math>2^{64}-1\approx 1.84\cdot 10^{19}</math> (restamos 1 para contar el cero también, aunque no sea un número natural). Podemos comprobarlo con [[Octave UPM]]. Si estamos usando un ordenador con arquitectura de 64 bits, podemos escribir el siguiente comando para comprobar el número natural más grande que podemos representar:
+Si usamos 64 bits para representar un número natural en sistema decimal, el número más grande que podremos representar es <math>2^{64}-1\approx 1.84\cdot 10^{19}</math> (restamos 1 para contar el cero también, aunque no sea un número natural), que es un número con 20 cifras en sistema decimal. Podemos comprobarlo con [[Octave UPM]]. Si estamos usando un ordenador con arquitectura de 64 bits, podemos escribir el siguiente comando para comprobar el número natural más grande que podemos representar:
 {{#tag:source|>> intmax('uint64')
 ans = 18446744073709551615|lang="matlab"}}