Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 - Historial de revisiones

Javier Parras: /* Método del Trapecio */

2015-03-11T22:11:13Z

‎Método del Trapecio

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Nat.odv: /* Método de Euler */

2015-03-06T13:59:52Z

‎Método de Euler

Javier Parras: /* Conclusión */

2015-03-05T23:03:51Z

‎Conclusión

Javier Parras: /* Método de Heun */

2015-03-05T22:49:52Z

‎Método de Heun

Javier Parras: /* Método de Heun */

2015-03-05T22:45:40Z

‎Método de Heun

Javier Parras: /* Método de Euler */

2015-03-05T22:43:27Z

‎Método de Euler

Javier Parras: /* Método de Euler */

2015-03-05T22:41:35Z

‎Método de Euler

Javier Parras: /* Método de Euler */

2015-03-05T22:40:09Z

‎Método de Euler

Javier Parras: /* Método de Euler */

2015-03-05T22:38:12Z

‎Método de Euler

Javier Parras: /* Interpretación */

2015-03-05T22:33:09Z

‎Interpretación

@@ Línea 121: / Línea 121: @@
 Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que también. Para solucionarlo, despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función del resto de variables y después aplicaremos el método numérico:
 <math>
-\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
+\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2})+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
 </math>

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Línea 580:		Línea 580:

	Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.		Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.
		+
		+	Sin embargo cuando tomamos un tamaño de paso grande (por ejemplo h=5) observamos una deformación significativa en la representación gráfico. Podemos decir por lo tanto que el método de Euler es estable siempre y cuando la h sea pequeña. Pero si coger un tamaño de paso pequeño en contraproducente, ya que para que sea realmente estable el tamaño de paso elegido dará lugar a un gran numero de iteraciones, para lo cual es necesario un ordenador con bastante memoria RAM para que pueda soportarlo, Son muchos contras para una operación que se podría realizar de un modo más rápido y efectivo utilizando simplemente otro método.

	===Método de Heun===		===Método de Heun===

@@ Línea 665: / Línea 665: @@
-La reacción consecutiva comienza con una concentración de A de 5mol/L y una concentración de X de 5.10^(-4)mol/L, siendo la concentración de B al final del proceso igual a la suma de las concentraciones iniciales de X y A, cumpliéndose de esta forma la ley de conservación de masas. Observamos que la reacción autocatálica, a medida que transcurre el tiempo consume A para producir X a gran velocidad, que lo vemos en que la pendiente de la curva correspondiente a A es siempre negativa, por lo tanto está decreciendo.
+La reacción consecutiva comienza con una concentración de A de <math> 5 \frac{mol}{L} </math>, una concentración de X de <math> 5*10^{-4} \frac{mol}{L} </math> y una concentración de Y de <math> 10^{-5} \frac{mol}{L} </math>, siendo la concentración de B al final del proceso igual a la suma de las concentraciones iniciales de todas ellas, cumpliéndose de esta forma la ley de conservación de masas. Observamos que la reacción autocatalítica, a medida que transcurre el tiempo consume A para producir X a gran velocidad, que lo vemos en que la pendiente de la curva correspondiente a A es siempre negativa, por lo tanto está decreciendo.
-Observamos, como era de esperar, que el compuesto Y aparece cuando hemos conseguido la suficiente cantidad de X como para que comienza la siguiente reacción autocatálica. Tanto en la gráfica de X como en la de Y presentan un cambio de pendiente marcado por un máximo, en este punto se dejan de producir estos compuestos y comienzan a ser consumidos.
+Observamos, como era de esperar, que el compuesto Y aparece en cantidad apreciable cuando hemos conseguido la suficiente cantidad de X como para que comienza la siguiente reacción autocatalítica. Tanto en la gráfica de X como en la de Y presentan un cambio de pendiente marcado por un máximo, siendo a partir este punto mayor el consumo que la producción de ambas sustancias.
-Finalmente, vemos la aparición de B en la gráfica, poco después de Y, ya que es necesario tener una cierta cantidad de Y para comenzar a producir B. Podemos ver que la pendiente de ,a curva de B siempre es positiva, por lo tanto siempre crece.
+Finalmente, vemos la aparición de B en la gráfica, poco después de Y, ya que es necesario tener una cierta cantidad de Y para comenzar a producir B de manera apreciable. Podemos ver que la pendiente de la curva de B siempre es positiva, por lo tanto siempre crece.
-Es importante darse cuenta de que la suma de las concentraciones de los compuestos para cualquier instante de tiempo es igual a 5+0.0004 lo que es 5.0005mol/L, debido a la ley de conservación de masas
+Es importante darse cuenta de que la suma de las concentraciones de los compuestos para cualquier instante de tiempo es igual a <math> 5.00051 \frac{mol}{L} </math>, debido a la ley de conservación de masas.

@@ Línea 582: / Línea 582: @@
 ===Método de Heun===
-El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
+El método de Heun es un método explícito. Para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
 <math> \left \{
        \begin{matrix}
@@ Línea 634: / Línea 634: @@
 K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
 K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
+%Aplicamos el método
 X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
 Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
@@ Línea 650: / Línea 650: @@
 legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
 }}
-Vemos que la gráfica es semejante a la obtenida por el método de Euler, en este caso utilizando sólo un tamaño de paso.
+Vemos que la gráfica es semejante a la obtenida por el método de Euler, en este caso utilizando sólo un valor para el tamaño de paso.
-Es importante definir las constantes en  el bucle antes que las ecuaciones ya que si no nos daría un error, debido a que es un método que depende explícitamente de esas constantes.
+Es importante definir las constantes del bucle en el orden que se expresó para el método de Runge-Kutta, ya que si no nos daría un error, por lo explicado también en ese subapartado. También es importante definir estas constantes antes de aplicar el método en sí.
 === Conclusión ===

@@ Línea 585: / Línea 585: @@
 <math> \left \{
        \begin{matrix}
-         y0,t0\\
+         y_{0},t_{0}\\
-         y_(n+1)=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
+         y_{n+1}=y_{n}+0.5h*(K1+K2)\\
-         K1=f(t_n,y_n)\\
+         K1=f(t_{n},y_{n})\\
-         K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
+         K2=f(t_{n}+h,y_{n}+K1*h)
         \end{matrix}
     \right . </math>

@@ Línea 560: / Línea 560: @@
 }}
-[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|250px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
+[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|220px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
-[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
+[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|220px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
-[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|250px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
+[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|220px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
-[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]
+[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|220px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]
 Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y además el error no aumenta a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:

@@ Línea 506: / Línea 506: @@
   \end{matrix}
     \right . </math>
+A continuación se muestra el código MatLab de la resolución numérica
 [[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
@@ Línea 561: / Línea 561: @@
-Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
+Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y además el error no aumenta a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
 <math> \left \{
        \begin{matrix}
@@ Línea 603: / Línea 603: @@
 Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.
 ===Método de Heun===

@@ Línea 460: / Línea 460: @@
 Derivando esta ecuación deducimos que:
 <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
-Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
+Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida.
 Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
 <math> \left \{
@@ Línea 474: / Línea 475: @@
 La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>
-En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
+En conclusión, vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
 <math> \left \{
        \begin{matrix}