Reacción Autocatálisis A2 - Historial de revisiones

Borjarm en 16:40 11 may 2016

2016-05-11T16:40:05Z

Borjarm: /* Sistema de Ecuaciones */

2016-05-11T16:01:02Z

‎Sistema de Ecuaciones

Borjarm: /* Resolución del sistema de la reacción de Lotka por el método de Euler */

2016-05-11T15:55:07Z

‎Resolución del sistema de la reacción de Lotka por el método de Euler

Borjarm: /* Resolución del sistema de la reacción de Lotka por el método de Euler */

2016-05-11T15:51:29Z

‎Resolución del sistema de la reacción de Lotka por el método de Euler

Borjarm: /* Resolución del sistema de la reacción de Lotka por el método de Euler */

2016-05-11T15:50:58Z

‎Resolución del sistema de la reacción de Lotka por el método de Euler

Borjarm: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales a partir de la reacción consecutiva de Lotka. */

2016-05-11T15:49:44Z

‎Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales a partir de la reacción consecutiva de Lotka.

Borjarm: /* Sistema de Ecuaciones */

2016-05-11T15:43:09Z

‎Sistema de Ecuaciones

Mostrar los cambios

Borjarm: /* Resolución Numérica PVI */

2016-05-11T15:36:28Z

‎Resolución Numérica PVI

Borjarm: /* Resolución Numérica PVI */

2016-05-11T15:32:53Z

‎Resolución Numérica PVI

Borjarm: /* Deducción Problema de valor inicial */

2016-05-11T15:28:44Z

‎Deducción Problema de valor inicial

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Línea 446:		Línea 446:
	[[Categoría:ED15/16]]		[[Categoría:ED15/16]]
	[[Categoría:Trabajos 2015-16]]		[[Categoría:Trabajos 2015-16]]
		+
		+
		+
		+	== '''Conclusiones''' ==
		+	La reacción propuesta es una reacción compleja, es decir, es aquella que se produce, a nivel molecular, a través de varias etapas o reacciones elementales. Una reacción compleja se describe y explica a través de un mecanismo de reacción.
		+
		+	Podemos ver que las dos primeras reacciones son de autocatálisis, donde A se consume, para producir B, por medio de dos etapas intermedias. Las concentraciones de X e Y modificarán la velocidad de la reacción, por tanto el tiempo que transcurre para que se consuma A y se produzca B.
		+
		+	Partimos de una concentración de la sustancia A de 5 mol/L. Podemos ver que la concentración se mantiene prácticamente los 10 primeros segundos, sin embargo a medida que aumenta la concentración de X va disminuyendo, desapareciendo a los 30 segundos.
		+
		+	La concentración de X será la misma que la de A a los 20 segundos, siendo esta de 2,5 mol/L; a partir del segundo 40 donde X llega a su máximo, donde comenzará a disminuir hasta desaparecer por completo en el segundo 70. Este decrecimiento se debe a la aparición de Y.
		+
		+	La sustancia Y crece de forma muy rápida desde que X llega al máximo, ya que es el momento en el que comienza la tercera reacción. Su concentración máxima de 3,25 mol/L se alcanza en tan solo 10 segundos (comienza en el 40 y acaba en el 50), mostrando la rapidez de esta misma.
		+
		+	Por último la sustancia B prácticamente al aparecer Y, esto quiere decir que con una mínima cantidad de Y se puede comenzar la última reacción. La concentración de B llegará a su máximo aproximadamente en el segundo 160, cuando desaparece por completo Y. Esta reacción aunque presente una velocidad muy elevada al comienzo, al llegar al máximo se ralentiza, llegando a consumir más de 100 segundos en finalizar.
		+
		+	También cabe destacar que las funciones primera y última al ser de las sustancias principales son únicamente creciente (Y) o decreciente(X).
		+	Sin embargo las reacciones segunda y tercera, al ser auxiliares, presentan un crecimiento y un decrecimiento a medida que entran en acción sus componentes, para posteriormente desaparcer.

@@ Línea 266: / Línea 266: @@
 Podemos observar como la representación gráfica coincide con la obtenida en el apartado anterior, ya que se trata del mismo problema resuelto por métodos diferentes.
 Un aspecto importante a la hora de aplicar Runge-Kutta a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necesario definir primero las Ki de ambas incógnitas antes que las Kj sindo i<j, de lo contrario, a la hora de aplicar el bucle, los valores de las Ki utilizados serían los de la anterior iteración del bucle, obteniendo, por lo tanto, resultados erróneos.
 == '''Conclusiones''' ==

@@ Línea 378: / Línea 378: @@
 Para "h=0.01" tenemos lo siguiente:
 Como no se separan ambos métodos podemos afirmar que es estable.
 == '''Resolución por Heun''' ==

@@ Línea 377: / Línea 377: @@
 En la comparación representaremos en azul el método de Heun y en rojo el método de Euler.
 Para "h=0.01" tenemos lo siguiente:
-Como no se separan ambos métodos podemos afirmar que esestable.
+Como no se separan ambos métodos podemos afirmar que es estable.
 == '''Resolución por Heun''' ==

@@ Línea 327: / Línea 327: @@
 == '''Resolución del sistema de la reacción de Lotka por el método de Euler''' ==
   clear all
@@ Línea 370: / Línea 371: @@
   grid on
   hold off
-[[Archivo:Euler4.png|500px|texto alternativo]]
+[[Archivo:Euler4.png|400px|texto alternativo]]
-[[Archivo:Euler5.png|500px|texto alternativo]]
+[[Archivo:Euler5.png|400px|texto alternativo]]
 Un método es estable cuando el error local es pequeño y además este error no se amplifica a lo largo del tiempo. Para calificar la estabilidad del método de Euler resolveremos el sistema anterior con este método, con pasos "h=0.01" y "h=0.001", y lo compararemos con la resolución del sistema con el método de Heun, que se asemeja más a la solución exacta.

@@ Línea 280: / Línea 280: @@
 Partimos de la reacción consecutiva propuesta por Lotka:
-''A + X → k₁*2X''
+A + X → k₁*2X
-''X + Y → k₂*2Y''
+X + Y → k₂*2Y
-''Y → k₃*B'''
+Y → k₃*B
 Con contantes: k₁, k₂ y k₃.
-Donde A, X, B, Y son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras ecuaciones son autocatalíticas, la reacción transcurre consumiendo A y originándose B, como se ve en la reacción global
+Donde A, X, Y, D son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X y Y dominan la velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2 deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando adecuadamente los términos:
-''A + B → k₁*2B.''
+x’(t) = k1 A x − k2 x y        y’= k2 x y − k3 y         B’= k3 y           A’ + x’ + y’ + B’ = 0
-Para deducir las ecuaciones diferenciales nos basamos en los dos principios físicos ya nombrados, ley de acción de masas y principio de conservación de la masa.
+Observamos que las dos primeras ecuaciones son autocatalíticas, la reacción transcurre consumiendo A y originándose B, como se ve en la reacción global
-Las concentración de las cuatro sustancias depende del tiempo, B(t),A(t),X(t),Y(t) pero las simplificamos a A,X,B,Y para un mejor manejo.
+A + B → k₁*2B.
 Para deducir las tres primeras ecuaciones nos apoyamos en la ley de acción de masas, que dice: la velocidad de reacción es proporcional al producto de la concentración de los reactivos.
-Vemos que X e Y intervienen en las reacciones como producto y reactivo por tanto nos da lugar a X’=X₁’+X₂’ al igual que Y Y’=Y₁’+Y₂’ de ahí obtenemos:
+De la primera ecuación de Lotka sacamos que x’(t) = k1 A x, '''[1]''' de la segunda sacamos que y’(t)= k2 x y, '''[2]'''  y, de la tercera, B’= k3 y , '''[3]'''.
-''X’ = k₁*A*X - k₂*X*Y''
+Además, sabemos, en la segunda reacción, que la velocidad con la que se forma y es igual desaparece x, por lo que podemos escribir x’(t)= -k2 x y. '''[4]'''. De la misma manera, a partir de la tercera reacción sacamos y’= -k3 y '''[5]'''.
-Los signos se establecen debido a que en la primera ecuación se produce X en cambio, en la segunda se consume para producir Y.
+A partir de [1] y de [4] obtenemos la primera ecuación a demostrar:
-''Y’ = k₂*X*Y - k₃*Y''
+'''x’ = k₁*A*x - k₂*x*y'''
-Los signos siguen el mismo criterio que en el caso anterior donde en la segunda reacción se produce Y y en la tercera se va consumiendo.
+A partir de '''[2]''' y '''[5]''' obtenemos la segunda ecuación a demostrar:
-La tercera ecuación a deducir es más sencilla puesto que B solo interviene en la última reacción como producto:
+'''y’ = k₂*x*y - k₃*y'''
-''B’ = k₃*Y''
+La tercera ecuación es más sencilla a deducir puesto que es, directamente, '''[3]''':
-Para la última ecuación diferencial a deducir partimos del principio de conservación de la masa, que establece que la suma de las concentraciones de los compuestos es constante (no desaparece masa en el proceso):
+'''B’ = k₃*y'''
-''A+B+X+Y= cte.''
+Para la última ecuación diferencial a deducir partimos del principio de conservación de la masa, que establece que la suma de las concentraciones de los compuestos es constante (las pérdidas de masa son despreciables): A+B+X+Y= cte.
-Lo que derivando nos da la siguiente ecuación:
+Lo que derivando nos da la cuarta ecuación a deducir:
-''
-X’+Y’+A’+B’= 0''
-Quedando así deducidas las cuatro ecuaciones diferenciales pedidas, que se emplearan en los siguientes apartados.
+'''x’+y’+A’+B’= 0'''
 == '''Resolución del sistema de la reacción de Lotka por el método de Euler''' ==

@@ Línea 114: / Línea 114: @@
    y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
    y(1)=y0;
-   % RK4
+   % Trapecio
-  for i=1:N
+ for i=1:N
-     K1=k*(c-y(i))*y(i);
+ y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
-     K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
+ end
-     K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
+ x=1.01-y;
-     K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
+ % Gráfico
-     y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
+ hold on
-   end
+ plot(t,y,'k x')
-   x=1.01-y;
+ plot(t,x,'g x')
-   % gráfica
+ hold off
-   hold on
+ legend('Concentración de B','Concentración de A', 'location',   'best')</small>
-   plot(t,y,'k x')
-   plot(t,x,'g x')
-   hold off
-   legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best')
@@ Línea 142: / Línea 139: @@
-<small>[[Archivo:runge kutta1.png|350px|thumb|left|texto alternativo]]
+[[Archivo:runge kutta1.png|350px|thumb|left|texto alternativo]]
    % dy=k1*(c-y)*y   x0=1   y0=0.01   k1=1   h=0.1   [0,10]   c=1.01
    % Datos del problema
@@ Línea 155: / Línea 152: @@
    y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
    y(1)=y0;
-   % Trapecio
+   % RK4
    for i=1:N
-  y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
+     K1=k*(c-y(i))*y(i);
    end
    x=1.01-y;
-   % gráfico
+   % Gráfica
    hold on
    plot(t,y,'k x')
    plot(t,x,'g x')
    hold off
-   legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best')
+   legend('Concentración de B','Concentración de A’, ‘location’, ’best')
-−
-−
-</small>
 == '''Sistema de Ecuaciones''' ==

@@ Línea 53: / Línea 53: @@
-  <small>%DATOS DEL PROBLEMA [[Archivo:Euler2.png|350px|thumb|left|texto alternativo]]
+ %DATOS DEL PROBLEMA [[Archivo:Euler2.png|350px|thumb|left|texto alternativo]]
-   %Concentración inicial sustancia A = 1 mol/l
+   <small>%DATOS DEL PROBLEMA
-  %Concentración inicial sustancia B = 0.01 mol/l
+ %x(t)= Concentración de A a lo largo del tiempo en mol/L = 1
-  %k = 1 mol/s
+ %y(t)= Concentración de B a lo largo del tiempo en mol/L = 0.01
-  %h = 0.1 en los primeros diez segundos t=[0,10] s
+ %k = 1 mol/s
-  k=1;
+ %h = 0.1
-  h=0.1;
+ %En los primeros diez segundos t=[0,10]s
-  t0=0;
+ k=1;
-  tN=10;
+ h=0.1;
-  y0=0.01;
+ t0=0;
-  %Definimos el vector tiempo con h=0.1
+ tN=10;
-  t=t0:h:tN;
+ y0=0.01;
-  %La constante del P.V.I. es la suma de las concentraciones %como resultado del Principio de conservación de la masa.
+ %Definimos el vector tiempo con h=0.1
-  %C=0.1+y0=1.01;
+ t=t0:h:tN;
-  y=zeros(1, length(t));
+ %La constante c del P.V.I. es la suma de las concentraciones como resultado del Principio de conservación de la masa.c=0.1+y0=1.01;
-  %La variable y será la solución de la concentración B.
+ y=zeros(1, length(t));
-  y(1)=y0;
+ %La variable y será la solución de la concentración B.
-  %Definimos la función para aplicarla a continuación en el %Método de Euler.
+ y(1)=y0;
-  f=inline('y*(1.01-y)','t','y');
+ %Definimos la función para aplicar, a continuación, el Método de Euler.
-  for i=1:length(t)-1
+ f=inline('y*(1.01-y)','t','y');
-  y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i)); %Aplicamos Euler
+ for i=1:length(t)-1
-  end
+    y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i)); %Aplicamos Euler
-  %Calculamos la concentración de A a partir de las %concentraciones de B y de C, como la diferencia entre %ambas (siendo la concentración de B "y").
+ end
-  x=1.01-y;
+ %Calculamos la concentración de A a partir de las concentraciones de B y de C, como la diferencia entre ambas (siendo la concentración de B "y").
-  %Dibujamos ambas gráficas
+ x=1.01-y;
-  plot(t,y,'k x');
+ %Dibujamos ambas gráficas
-  hold on
+ plot(t,y,'k x');
-  plot (t,x,'g x');
+ hold on
-  hold off
+ plot (t,x,'g x');
-  title('Gráfica Concentración-Tiempo');
+ hold off
-  xlabel('tiempo(s)');
+ title('Gráfica Concentración-Tiempo');
-  ylabel('Concentración (mol/l)');
+ xlabel('tiempo(s)');
-  legend('Concentración de B', 'Concentración de A', 'Location','Best');</small>
+ ylabel('Concentración (mol/l)');

@@ Línea 15: / Línea 15: @@
 == '''Deducción Problema de valor inicial''' ==
 Lo primero es denominar x (t) e y (t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen  en la ecuación de arriba. Para encontrar la ecuación en función de una única variable y (t), se parte de la ley de conservación de la masa, obteniendo como resultado
 '''X (t)+y (t)=cte.=c'''
-Como ya hemos explicado anteriormente podemos obtener a partir de la Ley de Acción de masas que:
+Si derivamos, obtenemos la primera ecuación que nos piden demostrar que se cumple:
-'''y’(t)=k1*x(t)*y(t)'''
+La segunda ecuación la podemos obtener, directamente, a partir de la Ley de Acción de masas que no dice que:
-Sustituyendo la variable x (t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación diferencial deseada:
+'''y’(t)=k1*x(t)*y(t)'''
-'''y′ (t)=k1∗ (c−y(t))∗y(t)'''
+Integrando y sustituyendo la variable x (t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación diferencial deseada:
-Si se parte de que la concentración inicial en t=0 es y0, obtendremos el problema de valor inicial pedido.
+'''y′ (t)=k1∗ (c−y(t))∗y(t)'''
+Si se parte de que la concentración inicial de B en t=0 es y0, obtendremos el problema de valor inicial pedido.
 == '''Resolución Numérica PVI''' ==