Onda transversal plana (Grupo 54) - Historial de revisiones

Daniel Galarza Polo: /* \nabla T */

2025-12-10T20:08:42Z

‎\nabla T

Daniel Galarza Polo: /* \nabla T */

2025-12-10T20:07:58Z

‎\nabla T

Daniel Galarza Polo: /* Temperatura */

2025-12-10T19:43:05Z

‎Temperatura

Daniel Galarza Polo: /* Mallado */

2025-12-10T19:41:59Z

‎Mallado

Jorge.mjimenez: /* Rotacional */

2025-12-07T22:59:10Z

‎Rotacional

Jorge.mjimenez: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec{e}_\rho */

2025-12-07T22:58:05Z

‎Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec{e}_\rho

Jorge.mjimenez: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec{e}_\rho */

2025-12-07T22:57:34Z

‎Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec{e}_\rho

ArmandoDTM: /* Aplicación del trabajo */

2025-12-07T22:56:50Z

‎Aplicación del trabajo

Daniel Galarza Polo: /* Aplicación del trabajo */

2025-12-07T22:53:09Z

‎Aplicación del trabajo

Daniel Galarza Polo: /* Aplicación del trabajo */

2025-12-07T22:52:05Z

‎Aplicación del trabajo

← Revisión anterior		Revisión del 20:08 10 dic 2025
Línea 116:		Línea 116:
	Tras realizar los cálculos obtenemos que <math>\nabla T</math> = 0 , siendo este un punto crítico.		Tras realizar los cálculos obtenemos que <math>\nabla T</math> = 0 , siendo este un punto crítico.
	El Gradiente de T podemos confirmar que es ortogonal a la dirección de las curvas de nivel en todos los puntos.		El Gradiente de T podemos confirmar que es ortogonal a la dirección de las curvas de nivel en todos los puntos.
−
−	~~Si <math>x = y</math> entonces <math>\nabla T = (0,0)</math> (punto crítico).~~
−	~~Las direcciones de <math>\nabla T</math> son siempre proporcionales al vector <math>(1,-1)</math> (apuntan en dirección <math>(1,-1)</math> o en la contraria según el signo de <math>x - y</math>).~~

@@ Línea 96: / Línea 96: @@
 ==  <math>\nabla T</math>  ==
+Para poder calcular el Gradiente de T, primero debemos obtener las derivadas parciales.
-'''Cálculo <math>\nabla T</math>'''
+Derivadas parciales:
-−
-Dado <math>
- T(\rho,\theta) = -\log\!\big((\rho - 1)^2 + 0.1\big),
-</math>
-como <math>T</math> solo depende de <math>\rho</math>, su derivada parcial respecto a <math>\theta</math> es nula.
-En coordenadas cilíndricas, la fórmula del gradiente es
 <math>
-\nabla T
+\frac{\partial T}{\partial x} = T_x = 2(x - y),
-= \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\vec{e}_\rho
+\qquad
-+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\vec{e}_\theta .
+\frac{\partial T}{\partial y} = T_y = -2(x - y).
 </math>
-Por tanto aquí
+Por tanto el gradiente es
 <math>
-\frac{\partial T}{\partial \theta} = 0,
+\nabla T(x,y) = (T_x, T_y)
-\qquad
+= \bigl(2(x - y),\, -2(x - y)\bigr)
-\frac{\partial T}{\partial \rho}
+= 2(x - y)\,(1, -1).
-= -\,\frac{2(\rho - 1)}{(\rho - 1)^2 + 0.1}.
 </math>
-<math>
+Tras realizar los cálculos obtenemos que <math>\nabla T</math> = 0 , siendo este un punto crítico.
-\nabla T(\rho,\theta)
+El Gradiente de T podemos confirmar que es ortogonal a la dirección de las curvas de nivel en todos los puntos.
-−
--\,\frac{2(\rho - 1)}{(\rho - 1)^2 + 0.1}\,\vec{e}_\rho.
-</math>
-Si necesitamos las componentes en coordenadas cartesianas,
+Si <math>x = y</math> entonces <math>\nabla T = (0,0)</math> (punto crítico).
-<math>\vec{e}_\rho = (\cos\theta,\;\sin\theta)</math>,
+Las direcciones de <math>\nabla T</math> son siempre proporcionales al vector <math>(1,-1)</math> (apuntan en dirección <math>(1,-1)</math> o en la contraria según el signo de <math>x - y</math>).

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Línea 63:		Línea 63:

	La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T(x,y) = (x - y)^2 </math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''.		La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T(x,y) = (x - y)^2 </math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''.
−
−	~~La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Supongamos que la conocemos y está dada por~~
−
−	~~<math>~~
−	~~T(\rho,\theta) = -\log\!\big((\rho - 1)^2 + 0.1\big).~~
−	~~</math>~~
−
−
−

@@ Línea 23: / Línea 23: @@
 A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.
-Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [0,4] × [-\frac{1}{2} , \frac{1}{2}]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e  <math>y</math>.
+Hacemos uso de un paso de muestreo, el intervalo entre punto y punto es <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e  <math>y</math>.
 [[Archivo:Mallado_542526.png|500px||miniaturadeimagen]]

@@ Línea 460: / Línea 460: @@
 Calcular <math>\lvert \nabla \times \vec{u} \rvert</math> en todos los puntos del sólido. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
 Rotacional en coordenadas cilíndricas
-'''Rotacional en coordenadas cilíndricas'''
 <math>
@@ Línea 486: / Línea 485: @@
-'''Sustitución de nuestro campo'''
+Sustitución de nuestro campo
 En nuestro caso <math>u_\varphi \equiv 0</math>, <math>u_z \equiv 0</math>, y <math>u_r</math> depende sólo de <math>r</math> (no depende de <math>\varphi</math> ni de <math>z</math>). Por tanto:
@@ Línea 506: / Línea 505: @@
-'''Módulo del rotacional y puntos con mayor rotacional'''
+Módulo del rotacional y puntos con mayor rotacional
 El módulo es
@@ Línea 513: / Línea 512: @@
 en todos los puntos.
-'''No hay puntos con mayor rotacion'''
+No hay puntos con mayor rotacion

@@ Línea 709: / Línea 709: @@
 Su componente normal es <math>(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho</math>.
-Por tanto, el '''componente tangencial''' es
+Por tanto, el componente tangencial es
 <math>

@@ Línea 700: / Línea 700: @@
-La cantidad pedida es la magnitud del '''componente tangencial''' del vector tensión sobre la superficie cuya normal es <math>\vec{e}_\rho</math>.
+La cantidad pedida es la magnitud del componente tangencial del vector tensión sobre la superficie cuya normal es <math>\vec{e}_\rho</math>.
 El vector sobre la superficie normal <math>\vec{n} = \vec{e}_\rho</math> es
@@ Línea 721: / Línea 721: @@
-'''Cálculo en coordenadas cilíndricas'''
+Cálculo en coordenadas cilíndricas
 En la resolución anterior obtuvimos el tensor de tensiones en la base polar (<math>\vec{e}_\rho</math>, <math>\vec{e}_\theta</math>) :
@@ Línea 773: / Línea 773: @@
-'''Conclusión:''' las tensiones tangenciales sobre las superficies normales a <math>\vec{e}_\rho</math> son nulas en todos los puntos del dominio (para el campo <math>\vec{u}</math> dado).
+Conclusión: las tensiones tangenciales sobre las superficies normales a <math>\vec{e}_\rho</math> son nulas en todos los puntos del dominio (para el campo <math>\vec{u}</math> dado).
-'''¿Dónde son mayores?'''
+¿Dónde son mayores?
 Dado que la magnitud del componente tangencial es ''exactamente cero en todo el dominio'', no hay puntos donde sean mayores: son nulas en todo el arco.
-Por consiguiente, '''no hay correlación''' con los puntos de mayor deformación de la malla — las mayores deformaciones radiales existen en <math>\rho = 2</math> (o crecen con <math>\rho</math>), pero las tensiones tangenciales pedidas son cero en todas partes.
+Por consiguiente, no hay correlación con los puntos de mayor deformación de la malla — las mayores deformaciones radiales existen en <math>\rho = 2</math> (o crecen con <math>\rho</math>), pero las tensiones tangenciales pedidas son cero en todas partes.
-'''Comparación'''
+Comparación
-* La magnitud de la '''tensión tangencial''' pedida,
+* La magnitud de la tensión tangencial pedida,
 <math>
@@ Línea 790: / Línea 790: @@
 </math>
-resulta '''exactamente cero en todo el dominio''' (por <math>\sigma_{\rho\theta} = 0</math> en la base polar).
+resulta exactamente cero en todo el dominio.
 ⇒ No hay puntos donde las tensiones tangenciales sean mayores; son nulas en todas partes.
-* Las '''deformaciones''' (componentes del tensor <math>\varepsilon</math>) son no nulas y aumentan con <math>\rho</math>. En particular,
+* Las deformaciones (componentes del tensor <math>\varepsilon</math>) son no nulas y aumentan con <math>\rho</math>. En particular,
 <math>
@@ Línea 803: / Línea 803: @@
-'''Conclusión '''
+Las mayores deformaciones ocurren en el borde exterior <math>\rho = 2</math>
-−
-Las mayores deformaciones (ocurren en el borde exterior <math>\rho = 2</math>) '''no''' coinciden con mayores tensiones tangenciales, porque estas son nulas en todo el arco. No hay correlación en este caso concreto: la deformación radial crece con <math>\rho</math>, pero la componente tangencial del ''traction'' es cero por la simetría del campo.
 [[Archivo:TensTan_542526.png|800px||miniaturadeimagen]]

@@ Línea 1092: / Línea 1092: @@
 == Aplicación del trabajo==
-Para dar una aplicación concreta, interpretaremos el dominio del problema —un arco circular definido entre los radios 1 y 2— como una sección de la corteza terrestre, y consideraremos que el campo de desplazamientos 𝑢 representa el movimiento inducido por ondas sísmicas, en particular las ondas S, que son ondas transversales que se propagan durante un terremoto.
+Para dar una aplicación concreta, interpretaremos el dominio del problema (arco circular definido entre los radios 1 y 2) como una sección de la corteza terrestre, y consideraremos que el campo de desplazamientos 𝑢 representa el movimiento inducido por ondas sísmicas, en particular las ondas S, que son ondas transversales que se propagan durante un terremoto.
 Aplicado a lo anteriormente calculado:

@@ Línea 1098: / Línea 1098: @@
 La función temperatura:
 Podría representar, en este contexto, un gradiente térmico asociado a zonas profundas de la corteza donde existe actividad volcánica o  magmática
 El campo de desplazamientos:
 Puede interpretarse como un desplazamiento radial provocado por el  paso de ondas sísmicas S
 La divergencia:
 Representa cambios locales de volumen en el material
 El rotacional:
 Representa la tendencia del material a rotar, torcerse o cizallarse, algo que es característico de las ondas S
 Si es elevado --> deformación intensa
@@ Línea 1115: / Línea 1119: @@
 Cálculo del tensor de deformaciones y tensor de tensiones:
 Nos permite determinar cómo se distribuyen las tensiones internas en el material
 Masa de la placa (densidad variable):
 Representa una distribución no uniforme del material