Nivel piezométrico G5 - Historial de revisiones

Emilio Valero: /* Sistema completo de ecuaciones */

2014-05-22T23:22:46Z

‎Sistema completo de ecuaciones

Emilio Valero: /* Nivel piezométrico en intervalos de tiempo grandes */

2014-05-22T17:25:21Z

‎Nivel piezométrico en intervalos de tiempo grandes

Emilio Valero: /* Método de Fourier */

2014-05-22T17:07:27Z

‎Método de Fourier

Emilio Valero: /* Método de Fourier */

2014-05-22T16:50:06Z

‎Método de Fourier

Emilio Valero en 15:40 22 may 2014

2014-05-22T15:40:11Z

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Emilio Valero: /* Resolución del problema por diferencias finitas y método del trapecio */

2014-05-22T14:58:06Z

‎Resolución del problema por diferencias finitas y método del trapecio

Emilio Valero: /* Método de Fourier */

2014-05-20T17:56:40Z

‎Método de Fourier

Emilio Valero: /* Nivel piezométrico en intervalos de tiempo grandes */

2014-05-20T12:00:09Z

‎Nivel piezométrico en intervalos de tiempo grandes

Emilio Valero: /* Nivel piezométrico en intervalos de tiempo grandes */

2014-05-20T11:55:34Z

‎Nivel piezométrico en intervalos de tiempo grandes

Emilio Valero: /* Método de Euler */

2014-05-20T11:40:56Z

‎Método de Euler

@@ Línea 47: / Línea 47: @@
 \[\left\{\begin{matrix}\ \frac{\partial h}{\partial t}- D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho})=0 , & \\ h(\rho _{0},t)=h _{\rho}, \quad \quad  h(20,t)=h _{0}, & \\ h(\rho,0)=h _{i}(\rho) , & \end{matrix}\right.\]
-''Texto en cursiva''==Resolución del problema por diferencias finitas y método del trapecio==
+==Resolución del problema por diferencias finitas y método del trapecio==
 Para obtener resultados concretos al problema planteado en el apartado 2, le damos valores numéricos a los parámetros y resolvemos el problema por el método de diferencias finitas aplicando el método del trapecio.
 <math> \rho _{0} =1m., \quad  h _{0}=40m., \quad  h _{\rho}=35, \quad  D=-10^{-2}, \quad  h(\rho,0) = h _{0}</math>

@@ Línea 257: / Línea 257: @@
 | [[Archivo:Figuraapartado6.jpg|thumb|300px|left|Nivel piezométrico con soluciones cada 200 horas. ]] ||
 |}
-En esta gráfica observamos que a diferencia de la primera gráfica, la curva que representa el cambio del nivel piezométrico es mucho más pronunciada. Esto es debido a que el intervalo de tiempo es muchísimo más grande '''( T=5000)''' y que '''dt=1''', con lo que el programa dibujará soluciones cada 1 intervalos de tiempo. También podemos observar que el pico debido a la discontinuidad inicial en la primera gráfica desaparece en esta. Esto se debe a que '''t=o''' está muy muy próximo a '''t=5''' o '''t= 20''' con lo que el pico directamente pasa a ser una pequeña curva que con el paso del tiempo se pronuncia más.
+En esta gráfica observamos que a diferencia de la primera gráfica, la curva que representa el cambio del nivel piezométrico es mucho más pronunciada. Esto es debido a que el intervalo de tiempo es muchísimo más grande '''( T=5000)''' y que '''dt=1''', con lo que el programa dibujará soluciones cada 1 intervalos de tiempo. También podemos observar que el pico debido a la discontinuidad inicial en la primera gráfica desaparece en esta. Esto se debe a que '''t=0''' está muy muy próximo a '''t=5''' o '''t= 20''' con lo que el pico directamente pasa a ser una pequeña curva que con el paso del tiempo se pronuncia más.
 ==Estado estacionario==

@@ Línea 403: / Línea 403: @@
 es conocida como función de Bessel de primera especie, <math> J_{0}(r) </math>. Las autofunciones son de la forma <math> \varphi_{k}(ρ)=J_{0}(ρ\sqrt{λ})</math>
-Sustituimos las autofunciones en la ecuación que pasa a ser <math> λ J_{0}''(ρ\sqrt{λ} + \sqrt{λ}  \frac{J_{0}'(ρ\sqrt{λ})}{ρ} + λJ_{0}(ρ\sqrt{λ})=0 </math>. Las condiciones de contorno pasan a ser <math> J_{0}(20\sqrt{λ})=0 </math> y  <math> J_{0}'(0)=0 </math>  Al comparar las ecucaciones sacamos que <math> r=ρ\sqrt{λ} </math> .Las autofunciones satisfacen el problema de autovalores, satisface '''X'(0)=0''' pero no '''X(20)=0'''. Ahora usamos los 5 primeros ceros de la función para calcular con la relación <math> λ= \frac{r^{2}}{\rho^{2}} </math>   los 5 primeros autovalores.
+Sustituimos las autofunciones en la ecuación que pasa a ser <math> λ J_{0}''(ρ\sqrt{λ} + \sqrt{λ}  \frac{J_{0}'(ρ\sqrt{λ})}{ρ} + λJ_{0}(ρ\sqrt{λ})=0 </math>. Las condiciones de contorno pasan a ser <math> J_{0}(20\sqrt{λ})=0 </math> y  <math> J_{0}'(0)=0 </math>  Al comparar las ecucaciones sacamos que <math> r=ρ\sqrt{λ} </math> .Las autofunciones satisfacen el problema de autovalores, satisface '''X'(0)=0''' y '''X(20)=0'''. Imponemos la seguna condición  y usamos los 5 primeros ceros de la función para calcular con la relación <math> λ= \frac{r^{2}}{\rho^{2}} </math>   los 5 primeros autovalores.
 Estos 5  primeros autovalores son:

@@ Línea 398: / Línea 398: @@
 \[\left\{\begin{matrix}\ X′′(ρ)+ \frac{X′(ρ)}{ρ} + λ X(ρ)=0 & \\ X(20)=0 \quad \quad X′(0)=0  & \\  & \end{matrix}\right.\]
-Este es el problema de autovalores asociado. Las autofunciones son de la forma
+Este es el problema de autovalores asociado. Sabemos que la solución a la ecuación de la forma:
 Sabemos que la solución a la ecuación de la forma:
 <math> r^{2} {\varphi}''(r) + r{\varphi}'(r))+ r^{2}\varphi(r)=0 \quad  h _{0}=40m., \quad  \varphi(0)=1 \quad  {\varphi}'(0)=0  \quad  </math>

@@ Línea 218: / Línea 218: @@
 | [[Archivo:+plotapartado5.jpg|thumb|300px|left|Método de Euler implicito]] || [[Archivo:Figuaraapartado5b.jpg|thumb|300px|left|Método de Euler explicito]]
 |}
-En estas dos gráficas el error es mayor que con el método del trapecio, ya que el orden de este método es 1 y el del trapecio es 2. Cuanto más mayor sea la partición '''h''', mas se notará la diferencia entre estos dos métodos. Por lo demás no hay ninguna diferencia,ya que ambos son métodos de aproximación numérica implícitos.
-También hay diferencias entre los dos métodos de Euler ,implícito y explícito. La diferencia esta en la partición '''dt'''. En el primero, la partición  '''dt''' es la misma que '''dr''' , mientras que en el segundo <math> dt  \leq \frac{1}{2}dr^{2}. </math>
+La diferencia entre los dos métodos de Euler ,implícito y explícito. La diferencia esta en la partición '''dt'''. En el primero, la partición  '''dt''' es la misma que '''dr''' , mientras que en el segundo <math> dt  \leq \frac{1}{2}dr^{2}. </math>
 De esta manera, habrá muchos mas puntos en el método explícito y de ahí que toda la gráfica nos salga de color negro.

@@ Línea 392: / Línea 392: @@
 Estas condiciones de frontera no  son homogéneas con lo que habrá que cambiar el sistema de manera que satisfaga unas condiciones de frontera homogéneas. Operando nos queda que el nuevo sistema será de la forma:
-\[\left\{\begin{matrix}\ \frac{\partial \tilde{h}}{\partial t}- D·(\frac{\partial ^2 \tilde{h}}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial \tilde{h}}{\partial \rho})=0 , & \\ \tilde{h}_{\rho}(0,t)=0 \quad \tilde{h}(20,t)=0, & \\  \tilde{h}(\rho ,0)=f(\rho)-4 & \end{matrix}\right.\]
+\[\left\{\begin{matrix}\ \frac{\partial \tilde{h}}{\partial t}- D·(\frac{\partial ^2 \tilde{h}}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial \tilde{h}}{\partial \rho})=0 , & \\ \tilde{h}_{\rho}(0,t)=0 \quad \tilde{h}(20,t)=0, & \\  \tilde{h}(\rho ,0)=f(\rho)-40 & \end{matrix}\right.\]
 Decimos que <math> \tilde{h}(ρ,t)=X(ρ).T(t) </math> ya que la solución dependerá tanto de ρ como de t. Por variables separadas obtenemos que: