Movimiento de partículas. Grupo 22C - Historial de revisiones

Nieves Vidal Sánchez: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

2014-12-14T22:01:16Z

‎. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO

Nieves Vidal Sánchez: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

2014-12-14T21:57:14Z

‎. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO

Nieves Vidal Sánchez: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

2014-12-14T21:56:43Z

‎. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO

Nieves Vidal Sánchez: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

2014-12-14T21:56:07Z

‎. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO

Nieves Vidal Sánchez: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

2014-12-14T21:55:34Z

‎. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO

Pedro palacios: /* . DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO */

2014-12-14T21:43:19Z

‎. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Nieves Vidal Sánchez: /* . EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS */

2014-12-14T20:41:33Z

‎. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS

Nieves Vidal Sánchez: /* . EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS */

2014-12-14T20:40:39Z

‎. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS

Nieves Vidal Sánchez: /* . EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS */

2014-12-14T20:36:27Z

‎. EJES PRINCIPALES DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS

Pedro palacios: /* . TEOREMA DE STEINER */

2014-12-14T17:26:33Z

‎. TEOREMA DE STEINER

@@ Línea 380: / Línea 380: @@
 [[Archivo:esquemarotacion.jpg|300px|thumb|right|rotación de eje e3 entre dos instantes]]
 Al girar en torno a un eje <math> \vec{w} </math> unitario con una variación angular
-dada por la funcion <math> \theta (t) </math>, los puntos tendrán una trayectoria
+dada por la función <math> \theta (t) </math>, los puntos tendrán una trayectoria
 circular y los radiovectores de dichos puntos ser verán afectados por una rotación,
 como puede observarse en la figura de la derecha.<br />
@@ Línea 426: / Línea 426: @@
 Realizar el producto de esas dos matrices puede ser realmente tedioso, por lo que vamos a intentar tomar
-caminos alternativos para demostrar que es antisimétrica y despues hayar sus componentes.<br />
+caminos alternativos para demostrar que es antisimétrica y después hayar sus componentes.<br />
 dado que una rotación es ortogonal se cumplira:<br />
@@ Línea 446: / Línea 446: @@
-Existe otra manera de demostrar la antisimetría que ademas nos permite conocer las componentes del tensor
+Existe otra manera de demostrar la antisimetría que además nos permite conocer las componentes del tensor
 velocidad angular sin realizar la multiplicación de matrices.<br />
-al ser un conjunto de puntos en rotación pura donde no existe traslación, por el campo de velocidades
+Al ser un conjunto de puntos en rotación pura donde no existe traslación, por el campo de velocidades
 podemos definir la velocidad de cada punto como:<br />
 <math>\vec{v_{i}}=\Omega \times \vec{r_{i}}</math><br />
-donde <math> \Omega </math> es el vector velocidad angular, de dirección la del versor <math> \vec{w} </math> y módulo
+donde <math> \Omega </math> es el vector velocidad angular, de dirección la del vector <math> \vec{w} </math> y módulo
-el de <math> \dot{\theta} </math>, la velocidad angular en esta fórmula actua como un tensor <math> (\Omega ) \times </math>
+el de <math> \dot{\theta} </math>, la velocidad angular en esta fórmula actúa como un tensor <math> (\Omega ) \times </math>
 cuyas componentes podemos calcular por la propiedad fundamental del los tensores.<br />

← Revisión anterior		Revisión del 21:57 14 dic 2014
Línea 422:		Línea 422:
	<br />		<br />

−	<math>\dot{R}</math> es la derivada de la matriz R de la rotación de ángulo <math>\theta</math> y eje <math>\omega</math> y <math>\R^{T}</math> su matriz traspuesta.	+	<math>\dot{R}</math> es la derivada de la matriz R de la rotación de ángulo <math>\theta</math> y eje <math>\omega</math> y <math>R^{T}</math> su matriz traspuesta.

← Revisión anterior		Revisión del 21:56 14 dic 2014
Línea 422:		Línea 422:
	<br />		<br />

−	<math>\dot{R}</math> es la derivada de la matriz R de la rotación de ángulo <math>\theta</math> y eje <math>\omega</math> y <~~mah~~>\R^{T}</math> su matriz traspuesta.	+	<math>\dot{R}</math> es la derivada de la matriz R de la rotación de ángulo <math>\theta</math> y eje <math>\omega</math> y <math>\R^{T}</math> su matriz traspuesta.

← Revisión anterior		Revisión del 21:56 14 dic 2014
Línea 422:		Línea 422:
	<br />		<br />

−	<math>\dot{R}</math> es la derivada de la matriz R de la rotación de ángulo <math>\theta</math> y eje <math>\omega</math> y <mah>R^{T}</math> su matriz traspuesta.	+	<math>\dot{R}</math> es la derivada de la matriz R de la rotación de ángulo <math>\theta</math> y eje <math>\omega</math> y <mah>\R^{T}</math> su matriz traspuesta.

← Revisión anterior		Revisión del 21:55 14 dic 2014
Línea 421:		Línea 421:
	\end{pmatrix}</math><br />		\end{pmatrix}</math><br />
	<br />		<br />
		+
		+	<math>\dot{R}</math> es la derivada de la matriz R de la rotación de ángulo <math>\theta</math> y eje <math>\omega</math> y <mah>R^{T}</math> su matriz traspuesta.

@@ Línea 379: / Línea 379: @@
 ==. DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD COMO UN TENSOR ANTISIMÉTRICO==
 [[Archivo:esquemarotacion.jpg|300px|thumb|right|rotación de eje e3 entre dos instantes]]
-Cuando una o varias partículas se mueven en torno a un eje generado por un vector unitario <math>\vec{w}</math> con una variación
+Al girar en torno a un eje <math> \vec{w} </math> unitario con una variación angular
-angular función del tiempo, como podemos observar en la imagen dichas partículas
+dada por la funcion <math> \theta (t) </math>, los puntos tendrán una trayectoria
-se moverán en trayectorias circulares y sus radiovectores sufrirán una rotación
+circular y los radiovectores de dichos puntos ser verán afectados por una rotación,
-de eje el eje de giro y de angulo variable en función del tiempo.<br />
+como puede observarse en la figura de la derecha.<br />
-sea <math>r_{0}</math> el radiovector de una partícula en t=0, podremos expresar
+<math>r(t)=R(\theta (t),\vec{w})\cdot\vec{r_{o}}</math><br />
-el nuevo radiovector en cualquier instante como una rotación función del tiempo
+de esta expresión también
-<math>r(t)=R(\theta(t) ,\vec{w})\cdot\vec{r_{0}}</math><br />
+podemos deducir que:<br />
-dado que las rotaciones son tensores ortogonales se cumplira:<br />
-<math>R^{t}\cdot R=I</math><br />
+<math>\vec{r_{o}}=R^{-1}(\theta (t),\vec{w})\cdot\vec{r(t)}</math><br />
-derivando esta expresión en función del tiempo obtenemos:<br />
-<math>\frac{\partial R^{t}}{\partial t}\cdot R+\frac{\partial R}{\partial t}\cdot R^{t}=\frac{\partial I}{\partial t}</math><br />
+debido a la ortogonalidad de las rotaciones podemos expresar esto como:<br />
-<math>\dot{R^{t}}\cdot R+\dot{R}\cdot R^{t}=0</math>
 ==. VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==

@@ Línea 736: / Línea 736: @@
 Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente
-<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{u_{j}} \overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>
+<math>\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{u_{j}}\cdot\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>
-<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{u_{i}} \overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>
+<math>\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{u_{i}}\cdot\overrightarrow{I_{j}}\cdot \overrightarrow{u_{j}}</math>
 Restamos las ecuaciones anteriores y por simetría la parte izquierda de la igualdad es cero

@@ Línea 730: / Línea 730: @@
 Siendo <math> \overrightarrow{I_{i}} </math> y <math> \overrightarrow{I_{j}} </math> dos autovalores del tensor de inercia
-<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>
+<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{i}}\cdot \overrightarrow{u_{i}}</math>
-<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{i}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>
+<math>\overrightarrow{I_{o}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}=\overrightarrow{I_{j}}\cdot\overrightarrow{u_{j}}</math>
 Ahora multiplicamos escalarmente por la izquierda por <math>\overrightarrow{u_{j}}</math> y <math>\overrightarrow{u_{i}}</math> respectivamente

@@ Línea 662: / Línea 662: @@
 desarollamos con la masa y obtenemos:<br />
-<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}}m_{i})+m_{i}\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2})\mathbf{1}+(m_{i}\vec{r_{i}})\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes(m_{i}\vec{r_{i}})-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math><br />
+<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot\vec{r_{i}}m_{i})+m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}+(m_{i}\vec{r_{i}})\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes(m_{i}\vec{r_{i}})-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math><br />
 Por la definición de centro de masas<br />
@@ Línea 670: / Línea 670: @@
 Por lo que en nuestra expresión queda<br />
-<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot0)+m_{i}\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2})\mathbf{1}+0\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes0-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math><br />
+<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (-2(\vec{a}\cdot0)+m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}+0\otimes\vec{a}+\vec{a}\otimes0-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math><br />
 Este es el paso que limita que el teorema de Steiner solo funcione para el centro de gravedad, si
@@ Línea 678: / Línea 678: @@
 ya simplificando los terminos que se anulan resulta<br />
-<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (m_{i}\left \| \vec{r_{i}} \right \|^{2})\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math><br />
+<math>I_{p}=I_{g}+\sum_{i=1}^{n}\left [ (m_{i}\left \| \vec{a} \right \|^{2})\mathbf{1}-m_{i}\cdot\vec{a}\otimes\vec{a} \right ]</math><br />
 que es el teorema de Steiner