Modelos epidemiológicos (Grupo 19) - Historial de revisiones

Herraiz en 22:28 2 jun 2013

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Herraiz en 16:21 19 abr 2013

2013-04-19T16:21:02Z

Gonzalo en 18:02 18 abr 2013

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Monica en 12:47 5 mar 2013

2013-03-05T12:47:49Z

Monica en 23:18 4 mar 2013

2013-03-04T23:18:16Z

Monica en 21:10 4 mar 2013

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Monica en 20:41 4 mar 2013

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Monica: Página creada con « =='''Interpretación de los diferentes parámetros'''== Tenemos un modelo epidemiológico “SI” definido mediante las ecuaciones: : $\frac{\mathrm{d} S}{\mathr...»$

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Página creada con « =='''Interpretación de los diferentes parámetros'''== Tenemos un modelo epidemiológico “SI” definido mediante las ecuaciones: :<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathr...»

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=='''Interpretación de los diferentes parámetros'''==

Tenemos un modelo epidemiológico “SI” definido mediante las ecuaciones:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Siendo:
* S: población susceptible de infectarse por la enfermedad

* I: población infectada por la enfermedad

* a: Parámetro de la interacción entre el número de individuos en ambas clases.
* b: Parámetro que representa el número de fallecimientos por la enfermedad.
* c: parámetro que representa el numero de curas de la enfermedad.

La primera ecuación representa la
variación de la población susceptible de contraer la enfermedad en función al
tiempo. Vemos que es una función decreciente debido al signo negativo que
acompaña al parámetro a. Esto implica que la población susceptible de este
modelo siempre va a disminuir siendo su máximo el valor inicial <math>S_0</math> . La función es
dependiente tanto de la población susceptible como de la infectada.

La segunda ecuación representa la
variación de la población infectada con respecto al tiempo. Podemos estudiarla
en dos partes dividiéndola en una no lineal que depende de ambas variables (S e
I) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (I).
La primera parte es dependiente de nuevo
del parámetro a con signo positivo lo que hace crecer el número de infectados.
Por el contrario, la parte lineal varía con los parámetros b y c. En este caso
el signo es negativo ajustándose a la realidad pues representan el número de
muertes y de curas.

El número de infectados vemos que
aumentará o disminuirá según la relación que exista entre los parámetros a, b y
c y el número variable de infectados y susceptibles.

=='''Resolución del sistema mediante Euler'''==

Aproximamos el sistema mediante el método
de Euler con los valores iniciales <math>S_0,I_O</math> y los valores de los parámetros <math>a=0.003,b=0.3,c=0.2</math>

'''1).'''<math>S_0=700,I_0=1</math>
{{matlab|codigo=
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
S0=700; I0=1; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.2;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
figure(2)
plot(S,I)
hold off}}

Obtenemos diferentes aproximaciones según los pasos empleados:

[[Archivo:Grafiquitoo.JPG|marco|centro]]

Comprobamos que cuanto menor es el paso a utilizar mayor es la precisión de la aproximación, de forma que el valor de la población susceptible a los 30 días toma un valor que tiende a 11.2

* <math>h=10^-1 → S=9.75</math>
* <math>h=10^-2 → S=11.02</math>
* <math>h=10^-3 → S=11.14</math>
* <math>h=10^-4 → S=11.16</math>

===Interpretación===

Vemos que la población
susceptible va disminuyendo conforme aumenta la población infectada. Durante
los dos primeros días la enfermedad presenta un crecimiento suave mientras que
los días posteriores tiene un crecimiento muy rápido hasta el quinto dia, donde
el número de infectados alcanza su máximo siendo de 303 personas. En este
momento los susceptibles son sólo 166 personas.

Llegado este punto el número
de infectados disminuye por las muertes y curas hasta la desaparición de la enfermedad (<math>I=0</math>), quedando un valor de población susceptible de
10 personas,valor que se mantiene constante :

<math>I=0</math>
:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI=0 </math>
:<math>S=cte</math>

'''2).'''<math>S_0=5000,I_0=5</math>

Al emplear el mismo código de matlab que en caso anterior pero tan solo modificando las condiciones iniciales también se altera el proceso a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Fig1_2.2.jpg|marco|centro]]

Al tomar una población susceptible mucho
mayor observamos que en menos de un día el número de infectados alcanza un
valor máximo superior a 4000 personas,
descendiendo drásticamente el número de susceptibles a 150.

Vemos que en menos de dos días toda
la población susceptible queda infectada desapareciendo la enfermedad por completo
antes de las dos semanas.

=='''Interpretación con nuevos datos iniciales'''==

Decidimos tomar unos nuevos datos iniciales <math>S_0=250,I_0=5</math>

Para contrastar con los
casos anteriores hemos tomado una población inicial menor. Podemos apreciar un cambio significativo en la evolución de la infección en la población debido a que la enfermedad se desarrolla más lentamente y el número
máximo de infectados es de 21 a los 10 días.

[[Archivo:Grafiqueo.JPG|centro|marco]]

Se deduce que al haber
menos población susceptible de ser infectada la enfermedad tiene más dificultad
en propagarse. En este caso la relación entre la población susceptible al final
y al principio es mucho mayor que en los supuestos anteriores, quedando 100 personas sin
contraer la enfermedad.

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	== Interpretación de los diferentes parámetros ==		== Interpretación de los diferentes parámetros ==

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-=='''Interpretación de los diferentes parámetros'''==
+== Interpretación de los diferentes parámetros ==
 Tenemos un modelo epidemiológico “SI”  definido mediante las ecuaciones:
@@ Línea 41: / Línea 41: @@
 <math>c</math> y el número variable de infectados y susceptibles.
-=='''Resolución del sistema mediante Euler'''==
+== Resolución del sistema mediante Euler ==
 Para resolver el sistema lo aproximamos mediante el método
@@ Línea 130: / Línea 130: @@
-=='''Interpretación con nuevos datos iniciales'''==
+== Interpretación con nuevos datos iniciales ==
 Decidimos tomar unos nuevos datos iniciales <math>S_0=250,I_0=5</math>
@@ Línea 149: / Línea 149: @@
-=='''Resolución del sistema mediante Runge-Kutta'''==
+== Resolución del sistema mediante Runge-Kutta ==
@@ Línea 209: / Línea 209: @@
-=='''Cálculo de los valores iniciales'''==
+== Cálculo de los valores iniciales ==
 En este caso se nos plantea calcular los valores iniciales de nuestro sistema conociendo los valores para un tiempo determinado.
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-=='''Participantes'''==
+== Participantes ==
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 [[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
 [[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]

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	* Paola Romero Martínez, 375		* Paola Romero Martínez, 375
	* Patricia Reyes Rodríguez, 351		* Patricia Reyes Rodríguez, 351
		+
		+
		+
		+	[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
		+	[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]

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 =='''Cálculo de los valores iniciales'''==
-En este caso se nos plantea calcular los valores iniciales de nuestro sistema sabiendo los valores para un tiempo determinado.
+En este caso se nos plantea calcular los valores iniciales de nuestro sistema conociendo los valores para un tiempo determinado.
 Conocemos <math>S_0=20000,I_0=3000</math> para un <math>t=15</math>
@@ Línea 218: / Línea 218: @@
 {{matlab|codigo=
 clear all
-t0=0; tN=15; %Intervalo de tiempo tomado
+t0=15; tN=0; %Intervalo de tiempo tomado
-S15=2; I15=0.3; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
+S0=20000; I0=300; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
-N=1500; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
+N=1500; h=(t0-tN)/N; %Determinación del paso
 a=0.003; %valores de los parametros
 b=0.3;
 c=0.2;
-S(15)=S15; %Asignacion del valor incial para la primera componente
+S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
-I(15)=I15;
+I(1)=I0;
 %Resolucion del sistema de forma matricial
-for n=14:-1:1
+for n=1:N
-    A=[S(n+1);I(n+1)]-h*[-a*S(n+1)*I(n+1);a*S(n+1)*I(n+1)-(b+c)*I(n+1)];
+    A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
-    S(n)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera componente de la matriz A
+    S(n+1)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
-    I(n)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
+    I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
 end
-%Interpretación gráfica
+t=t0:-h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h NEGATIVO
 hold on
 figure(1)
-plot(t,S)
+plot(t,S,'r')
-plot(t,I)
+plot(t,I,'b')
-%figure(2)
+figure(2)
-%plot(S,I)
+plot(S,I)
-%hold off
+hold off}}
 }}

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	y al principio es mucho mayor que en los supuestos anteriores, quedando 100 personas sin		y al principio es mucho mayor que en los supuestos anteriores, quedando 100 personas sin
	contraer la enfermedad.		contraer la enfermedad.
		+
		+
		+	=='''Resolución del sistema mediante Runge-Kutta'''==
		+
		+
		+	Aproximamos el mismo sistema por medio del método Runge-Kutta, empleando los mismo datos iniciales que en los casos anteriores resueltos por el método de Euler (apartado 2).
		+
		+	{{matlab\|codigo=
		+	clear all
		+	t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
		+	y0=[700;1]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
		+	N=300; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
		+	y=y0;
		+	S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
		+	I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
		+	a=0.003; % Valores de los parámetros
		+	b=0.3; c=0.2; %Resolución empleando el método Runge Kutta
		+
		+	for n=1:N
		+	k1=[-ay(1)y(2);ay(1)y(2)-(b+c)*y(2)];
		+	k2=[-a(y(1)+1/2hk1(1))(y(2)+1/2hk1(2));a(y(1)+1/2hk1(1))(y(2)+1/2hk1(2)-(b+c)(y(2)+1/2h*k1(2)))];
		+	k3=[-a(y(1)+1/2hk2(1))(y(2)+1/2hk2(2));a(y(1)+1/2hk2(1))(y(2)+1/2hk2(2)-(b+c)(y(2)+1/2h*k2(2)))];
		+	k4=[-a(y(1)+hk3(1))(y(2)+hk3(2));a(y(1)+hk3(1))(y(2)+hk3(2)-(b+c)(y(2)+hk3(2)))];
		+	y=y+h/6(k1+2k2+2*k3+k4);
		+	S(n+1)=y(1);
		+	I(n+1)=y(2);
		+	end
		+
		+	%Interpretación gráfica
		+	t=t0:h:tN;
		+	figure(1)
		+	hold on
		+	plot(t,S,'b')
		+	plot(t,I,'r')
		+	hold off
		+	figure(2)
		+	plot(S,I,'b')
		+	}}
		+
		+
		+	'''1).''' <math>S_0=700,I_0=1</math>
		+
		+
		+	[[Archivo:RK1.1.jpg\|centro\|marco]]
		+
		+
		+	'''2).''' <math>S_0=5000,I_0=5</math>
		+
		+
		+	[[Archivo:RK1.2.jpg\|centro\|marco]]
		+
		+	'''3).''' <math>S_0=250,I_0=5</math>
		+
		+	[[Archivo:RK1.3.jpg\|centro\|marco]]
		+
		+
		+	Tanto el método de Euler como el Runge-Kutta son métodos basados en iteraciones. Como Euler se basa en buscar la pendiente de la recta tangente necesita un paso muy pequeño para obtener una mejor aproximación a la solución. Por el contrario podemos obtener un buen resultado empleando un paso más pequeño con el método de Runge-Kutta. Si se tienen en cuenta estos factores se pueden lograr aproximaciones con gran exactitud.
		+
		+	Otra alternativa a la hora de resolver el sistema sería emplear un método implícito como lo es el '''Método Trapezoidal'''.Sin embargo, el inconveniente de emplear dicho método aparece a la hora de despejar las variables dependientes. Este proceso puede resultar muy trabajoso dependiendo de las ecuaciones que se planteen, como es nuestro caso.
		+
		+
		+	=='''Cálculo de los valores iniciales'''==
		+
		+	En este caso se nos plantea calcular los valores iniciales de nuestro sistema sabiendo los valores para un tiempo determinado.
		+
		+	Conocemos <math>S_0=20000,I_0=3000</math> para un <math>t=15</math>
		+
		+
		+	{{matlab\|codigo=
		+	clear all
		+	t0=0; tN=15; %Intervalo de tiempo tomado
		+	S15=2; I15=0.3; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
		+	N=1500; h=(tN-t0)/N; %Determinación del paso
		+	a=0.003; %valores de los parametros
		+	b=0.3;
		+	c=0.2;
		+	S(15)=S15; %Asignacion del valor incial para la primera componente
		+	I(15)=I15;
		+
		+	%Resolucion del sistema de forma matricial
		+	for n=14:-1:1
		+	A=[S(n+1);I(n+1)]-h[-aS(n+1)I(n+1);aS(n+1)I(n+1)-(b+c)I(n+1)];
		+	S(n)=A(1); %Asignacion de los distintos valores de S como la primera componente de la matriz A
		+	I(n)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
		+	end
		+	t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
		+
		+	%Interpretación gráfica
		+	hold on
		+	figure(1)
		+	plot(t,S)
		+	plot(t,I)
		+	%figure(2)
		+	%plot(S,I)
		+	%hold off
		+	}}

@@ Línea 22: / Línea 22: @@
 variación de la población susceptible de contraer la enfermedad en función del
 tiempo. Vemos que es una función decreciente debido al signo negativo que
-acompaña al parámetro a. Esto implica que la población susceptible de este
+acompaña al parámetro <math>a</math>. Esto implica que la población susceptible de este
 modelo siempre va a disminuir siendo su máximo el valor inicial <math>S_0</math> . La función es
 dependiente tanto de la población susceptible como de la infectada. Al estar multiplicadas ambas variables se convierte en una ecuación no lineal, factor determinante a la hora de resolver el sistema.
@@ Línea 29: / Línea 29: @@
 La segunda ecuación representa la
 variación de la población infectada con respecto del tiempo. Podemos estudiarla
-en dos partes dividiéndola en una no lineal (análoga a la primera ecuación) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (I).
+en dos partes dividiéndola en una no lineal (análoga a la primera ecuación) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (<math>I</math>).
 La primera parte es dependiente de nuevo
-del parámetro a con signo positivo lo que hace crecer el número de infectados.
+del parámetro <math>a</math> con signo positivo lo que hace crecer el número de infectados.
-Por el contrario, la parte lineal varía con los parámetros b y c. En este caso
+Por el contrario, la parte lineal varía con los parámetros <math>b</math> y <math>c</math>. En este caso
 el signo es negativo ajustándose a la realidad pues representan el número de
 muertes y de curas.
@@ Línea 38: / Línea 38: @@
 El número de infectados vemos que
-aumentará o disminuirá según la relación que exista entre los parámetros a, b y
+aumentará o disminuirá según la relación que exista entre los parámetros <math>a</math>, <math>b</math> y
-c y el número variable de infectados y susceptibles.
+<math>c</math> y el número variable de infectados y susceptibles.
 =='''Resolución del sistema mediante Euler'''==

@@ Línea 20: / Línea 20: @@
 La primera ecuación representa la
-variación de la población susceptible de contraer la enfermedad en función al
+variación de la población susceptible de contraer la enfermedad en función del
 tiempo. Vemos que es una función decreciente debido al signo negativo que
 acompaña al parámetro a. Esto implica que la población susceptible de este
 modelo siempre va a disminuir siendo su máximo el valor inicial <math>S_0</math> . La función es
-dependiente tanto de la población susceptible como de la infectada.
+dependiente tanto de la población susceptible como de la infectada. Al estar multiplicadas ambas variables se convierte en una ecuación no lineal, factor determinante a la hora de resolver el sistema.
 La segunda ecuación representa la
-variación de la población infectada con respecto al tiempo. Podemos estudiarla
+variación de la población infectada con respecto del tiempo. Podemos estudiarla
-en dos partes dividiéndola en una no lineal que depende de ambas variables (S e
+en dos partes dividiéndola en una no lineal (análoga a la primera ecuación) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (I).
-I) y la parte lineal que tan solo depende de los infectados (I).
 La primera parte es dependiente de nuevo
 del parámetro a con signo positivo lo que hace crecer el número de infectados.
@@ Línea 44: / Línea 43: @@
 =='''Resolución del sistema mediante Euler'''==
-Aproximamos el sistema mediante el método
+Para resolver el sistema lo aproximamos mediante el método
 de Euler con los valores iniciales <math>S_0,I_O</math> y los valores de los parámetros <math>a=0.003,b=0.3,c=0.2</math>
@@ Línea 81: / Línea 80: @@
 Comprobamos que cuanto menor es el paso a utilizar mayor es la precisión de la aproximación, de forma que el valor de la población susceptible a los 30 días toma un valor que tiende a 11.2
 * <math>h=10^-1 → S=9.75</math>
@@ Línea 113: / Línea 113: @@
 '''2).'''<math>S_0=5000,I_0=5</math>
-Al emplear el mismo código de matlab que en caso anterior pero tan solo modificando las condiciones iniciales también se altera el proceso a lo largo del tiempo.
+Al emplear el mismo código de matlab que en el caso anterior pero tan solo modificando las condiciones iniciales también se altera el proceso a lo largo del tiempo.
 [[Archivo:Fig1_2.2.jpg|marco|centro]]
@@ Línea 126: / Línea 126: @@
 la población susceptible queda infectada desapareciendo la enfermedad por completo
 antes de las dos semanas.
@@ Línea 151: / Línea 153: @@
 Aproximamos el mismo sistema por medio del método Runge-Kutta, empleando los mismo datos iniciales que en los casos  anteriores resueltos por el método de Euler (apartado 2).
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 201: / Línea 204: @@
-Tanto el método de Euler como el Runge-Kutta son métodos basados en iteraciones. Como Euler se basa en buscar la pendiente de la recta tangente necesita un paso muy pequeño para obtener una mejor aproximación a la solución. Por el contrario podemos obtener un buen resultado empleando un paso más pequeño con el método de Runge-Kutta. Si se tienen en cuenta estos factores se pueden lograr aproximaciones con gran exactitud.
+Tanto el método de Euler como el Runge-Kutta son métodos basados en iteraciones. Como Euler se basa en buscar la pendiente de la recta tangente necesita un paso muy pequeño para obtener una mejor aproximación a la solución. Por el contrario podemos obtener un buen resultado empleando un paso mayor con el método de Runge-Kutta. Si se tienen en cuenta estos factores se pueden lograr aproximaciones con gran exactitud.
-Otra alternativa a la hora de resolver el sistema sería emplear un método implícito como lo es el '''Método Trapezoidal'''.Sin embargo, el inconveniente de emplear dicho método aparece a la hora de despejar las variables dependientes. Este proceso puede resultar muy trabajoso dependiendo de las ecuaciones que se planteen, como es nuestro caso.
+Otra alternativa a la hora de resolver el sistema sería emplear un método implícito como lo es el '''Método Trapezoidal'''. Sin embargo, el inconveniente de emplear dicho método aparece a la hora de despejar las variables dependientes. Este proceso puede resultar muy trabajoso dependiendo de las ecuaciones que se planteen, como es nuestro caso.