Modelo predador-presa (Grupo 7) - Historial de revisiones

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Euler frente a Runge-Kutta */

2016-05-03T18:10:30Z

‎. Euler frente a Runge-Kutta

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Euler frente a Euler Modificado */

2016-05-03T18:07:57Z

‎. Euler frente a Euler Modificado

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Euler frente a Euler Modificado */

2016-05-03T18:07:11Z

‎. Euler frente a Euler Modificado

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Euler frente a Runge-Kutta */

2016-05-03T17:49:02Z

‎. Euler frente a Runge-Kutta

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Euler frente a Runge-Kutta */

2016-05-03T17:48:17Z

‎. Euler frente a Runge-Kutta

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Euler frente a Euler Modificado */

2016-05-03T17:22:43Z

‎. Euler frente a Euler Modificado

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Resolución del problema mediante el método de Euler Modificado */

2016-05-03T16:54:57Z

‎. Resolución del problema mediante el método de Euler Modificado

Ignacio Herranz: /* . Euler frente a Runge-Kutta */

2016-05-02T11:38:50Z

‎. Euler frente a Runge-Kutta

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Euler frente a Runge-Kutta */

2016-05-01T19:29:18Z

‎. Euler frente a Runge-Kutta

Cristina Reinoso Muñoz: /* . Euler frente a Runge-Kutta */

2016-05-01T19:21:51Z

‎. Euler frente a Runge-Kutta

@@ Línea 428: / Línea 428: @@
 La principal diferencia entre Runge-Kutta y Euler es la duración de las especies en cada uno de los apartados:
 En la comparación de resultados no tenemos en cuenta los resultados obtenidos con un h=1 en Euler ya que con un paso tan grande, el error es igualmente grande y no es fiable.
-La segunda especie depredadora en el apartado resuelto con Euler y un paso de h=0.1 desaparece a los 55.5 años al quedar menos de dos individuos para continuar con la especie, si se tratase de una población que solo necesite un individuo para perpetrar la especie(por ejemplo una célula o una planta) se extinguiría  a los 56.9 años. La siguiente especie en extinguirse sería la presa a los 241 años si se necesita de uno o dos individuos para subsistir. En este apartado las presas y el depredador de la primera especie se intercalan la superioridad numérica aunque claramente la presa alcanza valores más altos de población.
+La segunda especie depredadora en el apartado resuelto con Euler y un paso de h=0.1 desaparece a los 55.5 años al quedar menos de dos individuos para continuar con la especie, si se tratase de una población que solo necesite un individuo para perpetrar la especie (por ejemplo una célula o una planta) se extinguiría  a los 56.9 años. La siguiente especie en extinguirse sería la presa a los 241 años si se necesita de uno o dos individuos para subsistir. En este apartado las presas y el depredador de la primera especie se intercalan la superioridad numérica aunque claramente la presa alcanza valores más altos de población.
-La duración del ecosistema del método Runge-Kutta con una población inicial de 3.5 millones de presas, 0.001 millones de depredadores del tipo 1 y 0.0002 millones de depredadores del tipo 2, es muy corta. La especie presa se extingue la primera a los 6.7 años si necesita de dos individuos para continuar la especie  de 7 años para extinguirse del todo, a esa misma edad quedan los 2 últimos individuos de la segunda especie que se extingue finalmente a los 7.9 años. Y solo sería cuestión de tiempo para extinguirse la última especie. Para saber cuánto tiempo le queda lo volvemos o introducir en el programa con un valor inicial 0 para la presa y el primer depredador y 4.4823 que es el número de millones de esa población que quedan. 52.4 años para que queden 2 individuos  y 54.8 años  para que se extinga, lo cual es un poco raro ya que tarda mucho tiempo en morir sin alimento alguno. Es evidente por este motivo que el modelo Volterra-Lotka no tiene en cuenta que los animales depredadores no mueran de inanición.
+La duración del ecosistema del método Runge-Kutta con una población inicial de 3.5 millones de presas, 0.001 millones de depredadores de la primera especie y 0.0002 millones de depredadores de la segunda, es muy corta. La especie presa se extingue la primera a los 6.7 años si necesita de dos individuos para continuar la especie  de 7 años para extinguirse del todo, a esa misma edad quedan los 2 últimos individuos de la segunda especie que se extingue finalmente a los 7.9 años. Y solo sería cuestión de tiempo para extinguirse la última especie. Para saber cuánto tiempo le queda lo volvemos o introducir en el programa con un valor inicial 0 para la presa y el primer depredador y 4.4823 que es el número de millones de esa población que quedan. 52.4 años para que queden 2 individuos  y 54.8 años  para que se extinga, lo cual es un poco raro ya que tarda mucho tiempo en morir sin alimento alguno. Es evidente por este motivo que el modelo Volterra-Lotka no tiene en cuenta que los animales depredadores no mueran de inanición.
 Este modelo también se diferencia del anterior en que la especie dominante es el segundo depredador, lo que produce esta rápida extinción del ecosistema.
 En segundo caso Runge-Kutta  la primera especie depredadora muere el primer año nada más aparecer, probablemente porque la segunda especie es mucho más numerosa y la acaba extinguiendo. La presa y el depredador dos perduran durante 500 años, en un ecosistema muy poco estable, donde la mayor población la alcanzan los predadores que rápidamente se ven reducidos debido a la escasez de presas.

@@ Línea 414: / Línea 414: @@
 {|
 |-
-| [[Archivo:Apartado22imagen1def.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo para Runge-Kutta con paso h=1 y [p0,d0,e0]=[3.5,0.001,0.0002] millones]]  || [[Archivo:Apartado32imagen1.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo para Runge-Kutta con paso h=1 y [p0,e0,d0]=[3.5,0.00001,0.2] millones]]
+| [[Archivo:Apartado22imagen1def.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo para Euler Modificado]]  || [[Archivo:Apartado32imagen1.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo para Euler]]
 |}

@@ Línea 410: / Línea 410: @@
 Para comparar los resultados, se ha decidido estudiar los apartados 2.2 y 3.2, es decir, los estudios para un periodo de <math>T=[0,300]</math> años y un paso de <math>h=0.1</math>, aunque sin equiparar el número de individuos inicial de depredadores de la segunda especie, que para Euler Modificado es de <math>d0=1.2 millones</math> y para Euler de <math>d0=0.2 millones</math>.
-Se puede observar que para Euler, el número inicial de depredadores de la segunda especie es tan pequeño que se extingue en un periodo de tiempo muy corto, sin llegar a crecer en ningún momento, convirtiendo el modelo de dos depredadores y una presa en un modelo depredador-presa. Aunque para el programa realizado con Euler Modificado la segunda especie depredadora también se acaba extinguiendo, ésta lo hace en un periodo de tiempo mucho más largo. Por el mismo motivo de la diferencia entre los valores iniciales de los depredadores de la segunda especie, el número de presas para Euler Modificado únicamente alcanza un valor máximo de aproximadamente 15 millones, mientras que para Euler llega a ser de 103.5183 millones, al igual que el número de individuos de la primera especie, que para Euler Modificado no llega a 3 millones, mientras que para Euler alcanza los 33.4513 millones de individuos. En resumen, si la población de depredadores de segunda especie se extingue rápidamente, esto permitirá al resto de especies a crecer a mayor velocidad, puesto que no habrá competencia entre depredadores y las presas contarán con menos individuos que las extingan.
+Se puede observar que para Euler, el número inicial de depredadores de la segunda especie es tan pequeño que se extingue en un periodo de tiempo muy corto, sin llegar a crecer en ningún momento, convirtiendo el modelo de dos depredadores y una presa en un modelo depredador-presa. Aunque para el programa realizado con Euler Modificado la segunda especie depredadora también se acaba extinguiendo, ésta lo hace en un periodo de tiempo mucho más largo. Por el mismo motivo de la diferencia entre los valores iniciales de los depredadores de la segunda especie, el número de presas para Euler Modificado únicamente alcanza un valor máximo de aproximadamente 15 millones, mientras que para Euler llega a ser de 103.5183 millones, al igual que el número de individuos de la primera especie, que para Euler Modificado no llega a 3 millones, mientras que para Euler alcanza los 33.4513 millones de individuos. En resumen, si la población de depredadores de segunda especie se extingue rápidamente, esto permitirá al resto de especies a crecer a mayor velocidad, puesto que no habrá competencia entre depredadores y las presas contarán con menos individuos que las extingan. Esto se puede ver con mayor claridad si se comparan las gráficas adjuntas que representan la variación del número de individuos de cada población frente al tiempo, para cada método.
 ===. Euler frente a Runge-Kutta===

@@ Línea 421: / Línea 421: @@
 |}
-La principal diferencia entre Runge Kutta y Euler es la duración de las especies en cada uno de los apartados:
+La principal diferencia entre Runge-Kutta y Euler es la duración de las especies en cada uno de los apartados:
 En la comparación de resultados no tenemos en cuenta los resultados obtenidos con un h=1 en Euler ya que con un paso tan grande, el error es igualmente grande y no es fiable.
 La segunda especie depredadora en el apartado resuelto con Euler y un paso de h=0.1 desaparece a los 55.5 años al quedar menos de dos individuos para continuar con la especie, si se tratase de una población que solo necesite un individuo para perpetrar la especie(por ejemplo una célula o una planta) se extinguiría  a los 56.9 años. La siguiente especie en extinguirse sería la presa a los 241 años si se necesita de uno o dos individuos para subsistir. En este apartado las presas y el depredador de la primera especie se intercalan la superioridad numérica aunque claramente la presa alcanza valores más altos de población.
-La duración del ecosistema del método Runge Kutta con una población inicial de 3.5 millones de presas, 0.001 millones de depredadores del tipo 1 y 0.0002 millones de depredadores del tipo 2, es muy corta. La especie presa se extingue la primera a los 6.7 años si necesita de dos individuos para continuar la especie  de 7 años para extinguirse del todo, a esa misma edad quedan los 2 últimos individuos de la segunda especie que se extingue finalmente a los 7.9 años. Y solo sería cuestión de tiempo para extinguirse la última especie. Para saber cuánto tiempo le queda lo volvemos o introducir en el programa con un valor inicial 0 para la presa y el primer depredador y 4.4823 que es el número de millones de esa población que quedan. 52.4 años para que queden 2 individuos  y 54.8 años  para que se extinga, lo cual es un poco raro ya que tarda mucho tiempo en morir sin alimento alguno. Es evidente por este motivo que el modelo Volterra Lotka no tiene en cuenta que los animales depredadores no mueran de inanición.
+La duración del ecosistema del método Runge-Kutta con una población inicial de 3.5 millones de presas, 0.001 millones de depredadores del tipo 1 y 0.0002 millones de depredadores del tipo 2, es muy corta. La especie presa se extingue la primera a los 6.7 años si necesita de dos individuos para continuar la especie  de 7 años para extinguirse del todo, a esa misma edad quedan los 2 últimos individuos de la segunda especie que se extingue finalmente a los 7.9 años. Y solo sería cuestión de tiempo para extinguirse la última especie. Para saber cuánto tiempo le queda lo volvemos o introducir en el programa con un valor inicial 0 para la presa y el primer depredador y 4.4823 que es el número de millones de esa población que quedan. 52.4 años para que queden 2 individuos  y 54.8 años  para que se extinga, lo cual es un poco raro ya que tarda mucho tiempo en morir sin alimento alguno. Es evidente por este motivo que el modelo Volterra-Lotka no tiene en cuenta que los animales depredadores no mueran de inanición.
 Este modelo también se diferencia del anterior en que la especie dominante es el segundo depredador, lo que produce esta rápida extinción del ecosistema.
-En segundo caso Runge Kutta  la primera especie depredadora muere el primer año nada más aparecer, probablemente porque la segunda especie es mucho más numerosa y la acaba extinguiendo. La presa y el depredador dos perduran durante 500 años, en un ecosistema muy poco estable, donde la mayor población la alcanzan los predadores que rápidamente se ven reducidos debido a la escasez de presas.
+En segundo caso Runge-Kutta  la primera especie depredadora muere el primer año nada más aparecer, probablemente porque la segunda especie es mucho más numerosa y la acaba extinguiendo. La presa y el depredador dos perduran durante 500 años, en un ecosistema muy poco estable, donde la mayor población la alcanzan los predadores que rápidamente se ven reducidos debido a la escasez de presas.

← Revisión anterior		Revisión del 17:48 3 may 2016
Línea 428:		Línea 428:
	Este modelo también se diferencia del anterior en que la especie dominante es el segundo depredador, lo que produce esta rápida extinción del ecosistema.		Este modelo también se diferencia del anterior en que la especie dominante es el segundo depredador, lo que produce esta rápida extinción del ecosistema.
	En segundo caso Runge Kutta la primera especie depredadora muere el primer año nada más aparecer, probablemente porque la segunda especie es mucho más numerosa y la acaba extinguiendo. La presa y el depredador dos perduran durante 500 años, en un ecosistema muy poco estable, donde la mayor población la alcanzan los predadores que rápidamente se ven reducidos debido a la escasez de presas.		En segundo caso Runge Kutta la primera especie depredadora muere el primer año nada más aparecer, probablemente porque la segunda especie es mucho más numerosa y la acaba extinguiendo. La presa y el depredador dos perduran durante 500 años, en un ecosistema muy poco estable, donde la mayor población la alcanzan los predadores que rápidamente se ven reducidos debido a la escasez de presas.
−
−
−	Una vez obtenidas las diferencias entre ambos apartados, se pretende estudiar la influencia de que los métodos empleados sean distintos. Aunque en el apartado anterior, el hecho de que el cálculo se hubiese realizado con distintos métodos no influía, esta vez se está comparando el método de Euler con el de Runge-Kutta 4, siendo el primero de orden uno y el segundo de orden cuatro, por lo que probablemente si tenga relevancia y deba comprobarse. Para ello se ha utilizado un programa similar al del apartado anterior, pero esta vez para el método Runge-Kutta 4 en lugar de Euler Modificado.
−
−	~~{{matlab\| codigo=~~
−	~~%Datos del problema~~
−	~~ne=3;~~
−	~~t0=0;~~
−	~~tn=300;~~
−	~~y0=[3.5;1;1.2];~~
−	~~ftexto='[0.4ye(1)-0.3ye(1)ye(2)-0.35ye(1)ye(3);-0.3ye(2)+0.05ye(1)ye(2)-0.1ye(2)ye(3);-0.28ye(3)+0.045ye(1)ye(3)-0.1ye(2)*ye(3)]';~~
−	~~f=inline(ftexto,'t','ye');~~
−	~~gtexto='[0.4yrk(1)-0.3yrk(1)yrk(2)-0.35yrk(1)yrk(3);-0.3yrk(2)+0.05yrk(1)yrk(2)-0.1yrk(2)yrk(3);-0.28yrk(3)+0.045yrk(1)yrk(3)-0.1yrk(2)*yrk(3)]';~~
−	~~g=inline(gtexto,'t','yrk');~~
−	~~%Así se convierte el texto en una función~~
−	~~%Discretización~~
−	~~h=0.1;~~
−	~~N=round((tn-t0)/h);~~
−	~~%Creación del vector t~~
−	~~t=t0:h:tn;~~
−	~~%Se crea el vector y de ceros~~
−	~~ye=zeros(ne,N+1);~~
−	~~%Se adjudica el primer valor de y~~
−	~~ye(:,1)=y0;~~
−	~~%Creación el vector y de ceros~~
−	~~yrk=zeros(ne,N+1);~~
−	~~%Se adjudica el primer valor de y~~
−	~~yrk(:,1)=y0;~~
−	~~%Aplicación del esquema numérico~~
−	~~for i=1:N;~~
−	~~ye(:,i+1)=ye(:,i)+h*g(t(i),ye(:,i));~~
−	~~K1=g(t(i),yrk(:,i));~~
−	~~K2=g(t(i)+0.5h,yrk(:,i)+0.5K1*h);~~
−	~~K3=g(t(i)+0.5h,yrk(:,i)+0.5K2*h);~~
−	~~K4=g(t(i)+h,yrk(:,i)+K3*h);~~
−	~~yrk(:,i+1)=yrk(:,i)+h/6(K1+2K2+2*K3+K4);~~
−	~~end~~
−	~~%Dibujo las gráficas de las trayectorias~~
−	~~figure~~
−	~~subplot(1,2,1)~~
−	~~plot(ye(1,:),ye(2,:),'b')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de presas')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de primera especie')~~
−	~~subplot(1,2,2)~~
−	~~plot(yrk(1,:),yrk(2,:),'r')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de presas')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de primera especie')~~
−
−	~~figure~~
−	~~subplot(1,2,1)~~
−	~~plot(ye(1,:),ye(3,:),'b')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de presas')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie')~~
−	~~subplot(1,2,2)~~
−	~~plot(yrk(1,:),yrk(3,:),'r')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de presas')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie')~~
−
−	~~figure~~
−	~~subplot(1,2,1)~~
−	~~plot(ye(2,:),ye(3,:),'b')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de depredadores de primera especie')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie')~~
−	~~subplot(1,2,2)~~
−	~~plot(yrk(2,:),yrk(3,:),'r')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de depredadores de primera especie')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie')~~
−
−	~~figure~~
−	~~subplot(1,3,1)~~
−	~~plot(ye(1,:),yrk(1,:),'b')~~
−	~~title('Comparación')~~
−	~~xlabel('Número de presas para Euler Modificado')~~
−	~~ylabel('Número de presas para Euler')~~
−	~~subplot(1,3,2)~~
−	~~plot(ye(2,:),yrk(2,:),'b')~~
−	~~title('Comparación')~~
−	~~xlabel('Número de depredadores de primera especie para Euler Modificado')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de primera especie para Euler')~~
−	~~subplot(1,3,3)~~
−	~~plot(ye(3,:),yrk(3,:),'b')~~
−	~~title('Comparación')~~
−	~~xlabel('Número de depredadores de segunda especie para Euler Modificado')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie para Euler')~~
−
−	~~%Para obtener la variación entre métodos se utilizará:~~
−	~~Variacion=yrk-ye}}~~
−
−	~~Así, las gráficas de comparación entre las trayectorias para cada método son las siguientes:~~
−
−	{\|
−	\|-
−	\| [[Archivo:Apartado52imagen1.jpg\|thumb\|300px\|left\|Trayectoria de la presa frente al depredador de primera especie para ambos métodos]] \|\| [[Archivo:Apartado52imagen2.jpg\|thumb\|300px\|left\|Trayectoria de la presa frente al depredador de segunda especie para ambos métodos]] \|\| [[Archivo:Apartado52imagen3.jpg\|thumb\|300px\|left\|Trayectoria del depredador de primera especie frente al de segunda para ambos métodos]]
−	\|}
−
−	Como se puede comprobar, esta vez las trayectorias obtenidas por cada método, a pesar de haber utilizado los mismos datos iniciales, no son iguales. Como se anticipaba anteriormente, esto es debido a que el orden de los métodos utilizados es distinto.
−
−	{\|
−	\|-
−	~~\| [[Archivo:Apartado52imagen4.jpg\|thumb\|400px\|left\|Comparación entre el número de individuos de las mismas especies para ambos métodos]]~~
−	\|}
−
−	Aunque no es necesario, puesto que las gráficas de las trayectorias son lo suficientemente determinantes, se ha obtenido una gráfica que relaciona el número de individuos de la misma especie para ambos métodos. Como era de esperar, ésta relación no sigue una recta en la que ambos valores sean iguales a lo largo del tiempo. Por último, esta vez el vector "Variacion" no es un vector nulo, sino que presenta la diferencia de número de individuos para las distintas especies entre ambos métodos, en la misma posición.

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Línea 411:		Línea 411:

	Se puede observar que para Euler, el número inicial de depredadores de la segunda especie es tan pequeño que se extingue en un periodo de tiempo muy corto, sin llegar a crecer en ningún momento, convirtiendo el modelo de dos depredadores y una presa en un modelo depredador-presa. Aunque para el programa realizado con Euler Modificado la segunda especie depredadora también se acaba extinguiendo, ésta lo hace en un periodo de tiempo mucho más largo. Por el mismo motivo de la diferencia entre los valores iniciales de los depredadores de la segunda especie, el número de presas para Euler Modificado únicamente alcanza un valor máximo de aproximadamente 15 millones, mientras que para Euler llega a ser de 103.5183 millones, al igual que el número de individuos de la primera especie, que para Euler Modificado no llega a 3 millones, mientras que para Euler alcanza los 33.4513 millones de individuos. En resumen, si la población de depredadores de segunda especie se extingue rápidamente, esto permitirá al resto de especies a crecer a mayor velocidad, puesto que no habrá competencia entre depredadores y las presas contarán con menos individuos que las extingan.		Se puede observar que para Euler, el número inicial de depredadores de la segunda especie es tan pequeño que se extingue en un periodo de tiempo muy corto, sin llegar a crecer en ningún momento, convirtiendo el modelo de dos depredadores y una presa en un modelo depredador-presa. Aunque para el programa realizado con Euler Modificado la segunda especie depredadora también se acaba extinguiendo, ésta lo hace en un periodo de tiempo mucho más largo. Por el mismo motivo de la diferencia entre los valores iniciales de los depredadores de la segunda especie, el número de presas para Euler Modificado únicamente alcanza un valor máximo de aproximadamente 15 millones, mientras que para Euler llega a ser de 103.5183 millones, al igual que el número de individuos de la primera especie, que para Euler Modificado no llega a 3 millones, mientras que para Euler alcanza los 33.4513 millones de individuos. En resumen, si la población de depredadores de segunda especie se extingue rápidamente, esto permitirá al resto de especies a crecer a mayor velocidad, puesto que no habrá competencia entre depredadores y las presas contarán con menos individuos que las extingan.
−
−	~~Para ver si la diferencia de métodos ha influido en la variación de los resultados, se ha decidido comparar ambos con un programa para el que los dos tengan los mismos datos iniciales.~~
−
−	Para comparar estos métodos, se ha decidido generar un programa que permitiese calcular ambos a la vez y en el que se obtuviese como solución las gráficas de las trayectorias de cada población, comparadas, para un periodo de <math>T=[0,300]</math> años y un paso de <math>h=0.1</math>. Se ha generado un programa nuevo dado que para cada apartado anterior los datos del problema eran distintos. Además, el programa compara la evolución de las poblaciones para ambos métodos y obtiene un vector "Variacion" que indica la diferencia entre métodos para cada posición:
−
−	~~{{matlab\| codigo=~~
−	~~%Datos del problema~~
−	~~ne=3;~~
−	~~t0=0;~~
−	~~tn=300;~~
−	~~y0=[3.5;1;1.2];~~
−	~~ftexto='[0.4yem(1)-0.3yem(1)yem(2)-0.35yem(1)yem(3);-0.3yem(2)+0.05yem(1)yem(2)-0.1yem(2)yem(3);-0.28yem(3)+0.045yem(1)yem(3)-0.1yem(2)*yem(3)]';~~
−	~~f=inline(ftexto,'t','yem');~~
−	~~gtexto='[0.4ye(1)-0.3ye(1)ye(2)-0.35ye(1)ye(3);-0.3ye(2)+0.05ye(1)ye(2)-0.1ye(2)ye(3);-0.28ye(3)+0.045ye(1)ye(3)-0.1ye(2)*ye(3)]';~~
−	~~g=inline(gtexto,'t','ye');~~
−	~~%Así se convierte el texto en una función~~
−	~~%Discretización~~
−	~~h=0.1;~~
−	~~N=round((tn-t0)/h);~~
−	~~%Creación del vector t~~
−	~~t=t0:h:tn;~~
−	~~%Creación el vector y de ceros~~
−	~~yem=zeros(ne,N+1);~~
−	~~%Se adjudia el primer valor de y~~
−	~~yem(:,1)=y0;~~
−	~~%Se crea el vector y de ceros~~
−	~~ye=zeros(ne,N+1);~~
−	~~%Se adjudica el primer valor de y~~
−	~~ye(:,1)=y0;~~
−	~~%Aplicación del esquema numérico~~
−	~~for i=1:N;~~
−	~~K=f(t(i),yem(:,i));~~
−	~~yem(:,i+1)=yem(:,i)+h*K;~~
−	~~ye(:,i+1)=ye(:,i)+h*g(t(i),ye(:,i));~~
−	~~end~~
−	~~%Dibujo las gráficas de las trayectorias~~
−	~~figure~~
−	~~subplot(1,2,1)~~
−	~~plot(yem(1,:),yem(2,:),'b')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de presas')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de primera especie')~~
−	~~subplot(1,2,2)~~
−	~~plot(ye(1,:),ye(2,:),'r')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de presas')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de primera especie')~~
−
−	~~figure~~
−	~~subplot(1,2,1)~~
−	~~plot(yem(1,:),yem(3,:),'b')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de presas')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie')~~
−	~~subplot(1,2,2)~~
−	~~plot(ye(1,:),ye(3,:),'r')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de presas')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie')~~
−
−	~~figure~~
−	~~subplot(1,2,1)~~
−	~~plot(yem(2,:),yem(3,:),'b')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de depredadores de primera especie')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie')~~
−	~~subplot(1,2,2)~~
−	~~plot(ye(2,:),ye(3,:),'r')~~
−	~~title('Trayectoria')~~
−	~~xlabel('Número de depredadores de primera especie')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie')~~
−
−	~~figure~~
−	~~subplot(1,3,1)~~
−	~~plot(yem(1,:),ye(1,:),'b')~~
−	~~title('Comparación')~~
−	~~xlabel('Número de presas para Euler Modificado')~~
−	~~ylabel('Número de presas para Euler')~~
−	~~subplot(1,3,2)~~
−	~~plot(yem(2,:),ye(2,:),'b')~~
−	~~title('Comparación')~~
−	~~xlabel('Número de depredadores de primera especie para Euler Modificado')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de primera especie para Euler')~~
−	~~subplot(1,3,3)~~
−	~~plot(yem(3,:),ye(3,:),'b')~~
−	~~title('Comparación')~~
−	~~xlabel('Número de depredadores de segunda especie para Euler Modificado')~~
−	~~ylabel('Número de depredadores de segunda especie para Euler')~~
−
−	~~%Para obtener la variación entre métodos se utilizará:~~
−	~~Variacion=ye-yem}}~~
−
−	~~Así, las gráficas de comparación entre las trayectorias para cada método son las siguientes:~~
−
−	{\|
−	\|-
−	\| [[Archivo:Apartado51imagen1.jpg\|thumb\|300px\|left\|Trayectoria de la presa frente al depredador de primera especie para ambos métodos]] \|\| [[Archivo:Apartado51imagen2.jpg\|thumb\|300px\|left\|Trayectoria de la presa frente al depredador de segunda especie para ambos métodos]] \|\| [[Archivo:Apartado51imagen3.jpg\|thumb\|300px\|left\|Trayectoria del depredador de primera especie frente al de segunda para ambos métodos]]
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−	Como se puede comprobar, los dos métodos calculan las trayectorias de la misma manera y la diferencia entre ambos es tan pequeña que es inapreciable. Ésto se percibir también si se observa el último gráfico que devuelve el programa, en el que se compara el número de individuos para cada población en ambos métodos. Por último, se ve que el vector "Variación" devuelve ceros como resultado.
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−	{\|
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−	~~\| [[Archivo:Apartado51imagen4.jpg\|thumb\|400px\|left\|Comparación entre el número de individuos de las mismas especies para ambos métodos]]~~
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−	Por tanto se puede afirmar que ambos métodos son igual de exactos, lo que se confirma teniendo en cuenta que ambos métodos son de orden similar y por lo que se deduce que la diferencia entre resultados es debida únicamente a la variación a la hora de establecer los datos iniciales del problema.

	===. Euler frente a Runge-Kutta===		===. Euler frente a Runge-Kutta===

@@ Línea 69: / Línea 69: @@
 ==. Resolución del problema mediante el método de Euler Modificado==
-Teniendo en cuenta el modelo planteado, se ha resuelto por el método de Euler Modificado para <math>T=[0,100]</math> y <math>T=[0,300]</math> años. Para ambos casos se ha utilizado un único programa que, al iniciarlo, solicita el instante final para el que se quiere obtener la resolución y obtiene cuatro gráficas, siendo la primera la variación del número de individuos de las tres poblaciones respecto al tiempo y siendo las tres restantes la variación de las poblaciones entre sí, dos a dos. El programa es el siguiente:
+Teniendo en cuenta el modelo planteado, se ha resuelto por el método de Euler Modificado para <math>T= [0,100] </math> y <math>T= [0,300] </math> años. Para ambos casos se ha utilizado un único programa que, al iniciarlo, solicita el instante final para el que se quiere obtener la resolución y obtiene cuatro gráficas, siendo la primera la variación del número de individuos de las tres poblaciones respecto al tiempo y siendo las tres restantes la variación de las poblaciones entre sí, dos a dos. El programa es el siguiente:
 {{matlab| codigo=
@@ Línea 92: / Línea 92: @@
 for i=1:N;
      K=f(t(i),y(:,i));
-     y(:,i+1)=y(:,i)+h*K;
+     y(:,i+1)=y(:,i)+h*f(t(i)+0.5*h,y(:,i)+0.5*h*K);
 end
 %Gráfica conjunta de las tres funciones
@@ Línea 120: / Línea 120: @@
 xlabel('Número de depredadores de primera especie')
 ylabel('Número de depredadores de segunda especie')}}
 ===. Para <math>T=[0,100]</math> años===
@@ Línea 127: / Línea 128: @@
 {|
 |-
-| [[Archivo:Apartado21imagen1bien.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo]]
+| [[Archivo:Apartado21imagen1def.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo]]
 |}
-Como se puede comprobar en la gráfica que indica la variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo, el ecosistema comienza con una disminución de la población de las presas, lo que provoca que el número de individuos de las dos especies depredadoras también decrezca. Debido a esta disminución de los depredadores el número de presas aumenta hasta alcanzar su máximo: 15.0969 millones de individuos. Las especies depredadoras evolucionan de forma muy parecida durante los primeros 30 años,pero a partir de los 31 años las poblaciones de ambas especies se igualan. Desde este momento la segunda especie depredadora, se reduce hasta alcanzar su mínimo que es 1900 individuos.
+Como se puede comprobar en la gráfica que indica la variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo, el ecosistema comienza con una disminución de la población de las presas, lo que provoca que el número de individuos de las dos especies depredadoras también decrezca. Debido a esta disminución de los depredadores el número de presas aumenta hasta alcanzar su máximo: 14.4789 millones de individuos. Las especies depredadoras evolucionan de forma muy parecida durante los primeros 30 años, pero a partir de los 30.7 años las poblaciones de ambas especies se igualan y la segunda especie depredadora, se reduce hasta alcanzar su mínimo que es 1700 individuos.
 {|
 |-
-| [[Archivo:Apartado21imagen2bien.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de presas frente al número de predadores de la primera especie]] || [[Archivo:Apartado21imagen3bien.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de presas frente al número de predadores de la segunda especie]] || [[Archivo:Apartado21imagen4bien.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de predadores de la primera especie frente al número de predadores de la segunda especie]]
+| [[Archivo:Apartado21imagen2def.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de presas frente al número de predadores de la primera especie]] || [[Archivo:Apartado21imagen3def.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de presas frente al número de predadores de la segunda especie]] || [[Archivo:Apartado21imagen4def.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de predadores de la primera especie frente al número de predadores de la segunda especie]]
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-- Análisis trayectoria Presa-Depredador de  la Primera especie:  en esta gráfica se puede observar que la relación entre la presa y el depredador de primera especie es una interacción cíclica. Inicialmente, cuando disminuyen las presas, disminuye también el número de depredadores. Se puede ver como después el número de depredadores crece de una manera menos pronunciada que el número de presas, y cuando las presas descienden, todavía los depredadores siguen aumentando hasta un punto en el que empieza su decrecimiento. Siempre que se llega al decrecimiento brusco de depredadores empieza un crecimiento intenso de presas. También cabe destacar que debido a la disminución del depredador de la segunda especie, la gráfica cambia de patrón y tiende a formar una figura elíptica que se mantendrá constante a lo largo del tiempo, como podremos comprobar para T=300, ésto ocurrirá cuando la segunda especie depredadora se reduzca hasta extinguirse.
+- Análisis trayectoria Presa-Depredador de  la Primera especie: en esta gráfica se puede observar que la relación entre la presa y el depredador de primera especie es una interacción cíclica. Inicialmente, cuando disminuyen las presas, disminuye también el número de depredadores. Se puede ver como después el número de depredadores crece de una manera menos pronunciada que el número de presas, y cuando las presas descienden, todavía los depredadores siguen aumentando hasta un punto en el que empieza su decrecimiento. Siempre que se llega al decrecimiento brusco de depredadores comienza  un crecimiento intenso de presas. También cabe destacar que debido a la disminución del depredador de la segunda especie, la gráfica cambia de patrón y tiende a formar una figura elíptica que se mantendrá  más o menos constante a lo largo del tiempo, como podremos comprobar para T=300, ésto ocurrirá cuando la segunda especie depredadora se reduzca hasta extinguirse.
-- Análisis trayectoria Presa-Depredador de la Segunda especie: en la gráfica se comprueba que la interacción entre la presa y el depredador de la segunda especie es también cíclica inicialmente, el número de presas es mayor que el  de depredadores y una disminución del número de presas irá asociada a una disminución del número de depredadores. Sin embargo llega un momento en el que el número de depredadores disminuye y al haber menos depredadores, el número de presas volverá a crecer, pegándose la gráfica a la linea horizontal.
+- Análisis trayectoria Presa-Depredador de la Segunda especie: en la gráfica se comprueba que la interacción entre la presa y el depredador de la segunda especie es también cíclica inicialmente, el número de presas es mayor que el  de depredadores y una disminución del número de presas irá asociada a una disminución del número de depredadores. Sin embargo llega un momento en el que el número de depredadores de esta especie tiende a  disminuir y al tener menos depredadores, el número de presas volverá a crecer. La extinción de la especie depredadora se refleja en la gráfica ya que la función se acerca al eje de abscisas.
--Análisis trayectoria Depredador de la Primera especie-Depredador de la Segunda especie:  en esta gráfica se comprueba que inicialmente ambas poblaciones se distribuyen de manera similar, siendo algo superior el número de individuos de la segunda especie depredadora. Inicialmente su variación es parecida, es decir, la disminución de presas provoca que se disminuya el mismo número de predadores de ambas especies, sin embargo, el número de depredadores de la segunda especie comienza a disminuir hasta que se iguala con los de la primera especie y pasado ese límite se reduce hasta casi extinguirse  lo cual hace que la gráfica en los instantes finales se encuentre pegado al eje de abscisas.
+-Análisis trayectoria Depredador de la Primera especie-Depredador de la Segunda especie: en esta gráfica se comprueba que inicialmente ambas poblaciones se distribuyen de manera similar, siendo algo superior el número de individuos de la segunda especie depredadora. Inicialmente su variación es parecida, es decir, la disminución de presas provoca que se disminuya el mismo número de predadores de ambas especies, esto se refleja en que la función se mueve paralela a una recta imaginaria que forma 45º respecto a la horizontal y que parte del punto de coordenadas (0.2, 0.2). Sin embargo, el número de depredadores de la segunda especie comienza a disminuir hasta que se iguala con los de la primera especie y pasado ese límite se reduce hasta casi extinguirse  lo cual hace que la gráfica en los instantes finales se encuentre pegado al eje de abscisas.
 ===. Para <math>T=[0,300]</math> años===
@@ Línea 150: / Línea 151: @@
 {|
 |-
-| [[Archivo:Apartado22imagen1bien.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo]]
+| [[Archivo:Apartado22imagen1def.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo]]
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-Como consecuencia de la desaparición de la segunda especie depredadora, mencionado en el apartado anterior a los 149 años desaparece el último miembro de la segunda especie depredadora lo que supondrá la extinción de la especie , y como se puede observar en la gráfica adjunta, la primera especie depredadora aumenta progresivamente debido a que  el número de individuos de las presas también aumenta y a que no tiene especie competidora de alimento. La evolución de ambas especies es simultánea, es decir, el aumento de la presa conlleva un aumento de la especie depredadora mientras que la disminución del número de presas disminuye también el número de depredadores, tal y como describe el modelo Volterra-Lotka.
+Como consecuencia de la desaparición de la segunda especie depredadora, mencionado en el apartado anterior a los 146.2 años si es una especie que necesita dos individuos para reproducirse o a los 151.1 desaparece el último miembro de la segunda especie depredadora lo que supondrá la extinción de la especie, y como se puede observar en la gráfica adjunta tanto la presa como el depredador que sigue vivo alcanzan un ecosistema estable ya que los valores de ambas especies se mueven en valores con intervalos delimitados. La presa se mueve entre 6.9939 a 5.1052 y el depredador entre 1.5233 y 1.1599. La evolución de ambas especies es simultánea, es decir, el aumento de la presa conlleva un aumento de la especie depredadora y la disminución del número de presas disminuye también el número de depredadores, tal y como describe el modelo Volterra-Lotka.
-El ecosistema no es estable ya que para considerarse un ecosistema estable los valores de las especies deberían mantenerse muy similares en todo momento y como hemos analizado previamente una de las especies se extingue y las otras dos no alcanzan nunca valores estables.
+El ecosistema no es estable ya que para considerarse un ecosistema estable los valores de las especies deberían mantenerse muy similares en todo momento y como hemos analizado previamente una de las especies se extingue a partir de la extinción de esta especie si podemos decir que alcanza valores cíclicos estables, es decir varían entre unas cifras determinadas.
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-| [[Archivo:Apartado22imagen2bien.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de presas frente al número de predadores de la primera especie]] || [[Archivo:Apartado22imagen3bien.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de presas frente al número de predadores de la segunda especie]] || [[Archivo:Apartado22imagen4bien.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de predadores de la primera especie frente al número de predadores de la segunda especie]]
+| [[Archivo:Apartado22imagen2def.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de presas frente al número de predadores de la primera especie]] || [[Archivo:Apartado22imagen3def.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de presas frente al número de predadores de la segunda especie]] || [[Archivo:Apartado22imagen4def.jpg|thumb|300px|left|Trayectoria del número de predadores de la primera especie frente al número de predadores de la segunda especie]]
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 Comparando las gráficas para <math>T=[0,300]</math> años frente a las de <math>T=[0,100]</math>, podemos observar que para <math>T=[0,300]</math> son la continuación de las gráficas de <math>T=[0,100]</math>.
-- Análisis trayectoria Presa-Depredador de  la Primera especie: es la única gráfica en la que se puede apreciar a simple vista una distinción frente a aquella para <math>T=[0,100]</math> años. A partir de los 100 años la relación entre estas especies se convierte en una espiral que crece con el tiempo ya que los valores aumentan continuamente.
+- Análisis trayectoria Presa-Depredador de  la Primera especie: es muy similar a la del método anterior <math>T=[0,100]</math> años. A partir de los 100 años la relación entre estas especies se convierte en una elipse que se mantiene constante en el tiempo la relación presa-primer depredador.
-- Análisis trayectoria Presa-Depredador de la Segunda especie: es una de las gráficas que se mantiene similar a la de <math>T=[0,100]</math> años, puesto que, como ya se ha mencionado con anterioridad, la población de depredadores de la segunda especie se extingue, haciendo que la función se confunda con el eje de abscisas.
+- Análisis trayectoria Presa-Depredador de la Segunda especie: se mantiene similar a la de <math>T= [0,100] </math> años, puesto que, como ya se ha mencionado con anterioridad, la población de depredadores de la segunda especie se extingue, haciendo que la función se confunda con el eje de abscisas.
--Análisis trayectoria Depredador de la Primera especie-Depredador de la Segunda especie: al igual que para la trayectoria anterior, se puede decir que es muy similar a la trayectoria con <math>T=[0,100]</math> años. Una vez se extingue el segundo depredador la función se encuentra pegada al eje de abcisas.
+-Análisis trayectoria Depredador de la Primera especie-Depredador de la Segunda especie: al igual que para la trayectoria anterior, se puede decir que es muy similar a la trayectoria con <math>T= [0,100] </math> años. Una vez se extingue el segundo depredador la función se encuentra pegada al eje de abscisas.
 ==. Resolución del problema mediante el método de Euler==

@@ Línea 527: / Línea 527: @@
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-FALTA PONER MÁS DIFERENCIAS
+La principal diferencia entre Runge Kutta y Euler es la duración de las especies en cada uno de los apartados:
 Una vez obtenidas las diferencias entre ambos apartados, se pretende estudiar la influencia de que los métodos empleados sean distintos. Aunque en el apartado anterior, el hecho de que el cálculo se hubiese realizado con distintos métodos no influía, esta vez se está comparando el método de Euler con el de Runge-Kutta 4, siendo el primero de orden uno y el segundo de orden cuatro, por lo que probablemente si tenga relevancia y deba comprobarse. Para ello se ha utilizado un programa similar al del apartado anterior, pero esta vez para el método Runge-Kutta 4 en lugar de Euler Modificado.

@@ Línea 520: / Línea 520: @@
 ===. Euler frente a Runge-Kutta===
-Si comparamos el método de Runge-Kutta con el de Euler, podemos observar que el tamaño de paso tiene una gran relevancia ya que, dependiendo de que método se aplique, se podrá hallar una solución válida para ese paso o no. Con Euler no se podía aplicar el paso <math>h=1</math>, como ya vimos anteriormente, y en el primer caso de Runge-Kutta, con unos valores iniciales de <math>[p0,d0,e0]=[3.5,0.001,0.0002] millones</math>, tampoco, puesto que como se puede ver en el gráfico los valores se disparan y no serían aceptables para un estudio, aunque sí funcionaría para ese mismo caso con unos valores iniciales de <math>[p0,e0,d0]=[3.5,0.00001,0.2] millones</math>. Para el paso <math>h=0.1</math> funcionaría en todos los casos.
+Si comparamos el método de Runge-Kutta con el de Euler, podemos observar que el tamaño de paso tiene una gran relevancia ya que, dependiendo de que método se aplique, se podrá hallar una solución válida para ese paso o no. Con Euler no se podía aplicar el paso <math>h=1</math>, como ya vimos anteriormente, y en el primer caso de Runge-Kutta, con unos valores iniciales de <math>[p0,d0,e0]=[3.5,0.001,0.0002] millones</math>, tampoco, puesto que como se puede ver en el gráfico los valores se disparan y no serían aceptables para un estudio, aunque sí se obtendría una solución coherente para ese mismo caso con unos valores iniciales de <math>[p0,e0,d0]=[3.5,0.00001,0.2] millones</math>. Para el paso <math>h=0.1</math> funcionaría en todos los casos.
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@@ Línea 527: / Línea 527: @@
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-En cambio, si usamos los valores iniciales del segundo caso, [3.5 ; 0.00001 ; 0.2], sí nos sale una solución razonable y apropiada para estudiar. En esta gráfica se puede ver que sigue una dinámica muy parecida a usando un paso h=0.1, aunque hay un decrecimiento sustancial de los depredadores 2 comparándolo con su número inicial de individuos.
+FALTA PONER MÁS DIFERENCIAS
-En conclusión, la gran diferencia entre los dos métodos es que dan resultados muy dispares, con gran diferencia entre los valores. Daremos mayor credibilidad a los resultados obtenido por Runge Kutta ya que es un método que da menos error en el caso de que tuviéramos la función exacta.
+Una vez obtenidas las diferencias entre ambos apartados, se pretende estudiar la influencia de que los métodos empleados sean distintos. Aunque en el apartado anterior, el hecho de que el cálculo se hubiese realizado con distintos métodos no influía, esta vez se está comparando el método de Euler con el de Runge-Kutta 4, siendo el primero de orden uno y el segundo de orden cuatro, por lo que probablemente si tenga relevancia y deba comprobarse. Para ello se ha utilizado un programa similar al del apartado anterior, pero esta vez para el método Runge-Kutta 4 en lugar de Euler Modificado.
-Relacionado con el orden, se puede calcular una constante que es igual al error, dividido entre el tamaño de paso elevado al orden. Para cualquier programa, obtenemos que con un orden determinado, siempre existirá más error utilizando Euler que utilizando Runge Kutta, ya que el valor de la constante mencionada anteriormente será mucho más elevado en el caso de Euler.
-−
-A diferencia que en el apartado anterior, donde se confrontaban Euler y Euler Modificado, métodos ambos de orden similar; ahora se pretende estudiar la comparación entre Euler, método de primer orden y Runge-Kutta 4, que como su propio nombre indica es un método de orden cuatro. Para ello se ha utilizado un programa similar al del apartado anterior, pero esta vez para el método Runge-Kutta 4 en lugar de Euler Modificado.
 {{matlab| codigo=
@@ Línea 631: / Línea 628: @@
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-Como se puede comprobar, esta vez las trayectorias obtenidas por cada método, a pesar de haber utilizado los mismos datos iniciales, no son iguales. Como se anticipaba en la introducción del apartado, esto es debido a que el orden de los métodos utilizados es distinto.
+Como se puede comprobar, esta vez las trayectorias obtenidas por cada método, a pesar de haber utilizado los mismos datos iniciales, no son iguales. Como se anticipaba anteriormente, esto es debido a que el orden de los métodos utilizados es distinto.
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@@ Línea 524: / Línea 524: @@
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-| [[Archivo:Apartado52imagen5.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo para Runge-Kutta con paso h=1 y [p0,d0,e0]=[3.5,0.001,0.0002] millones]]  || [[Archivo:Apartado52imagen5.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo para Runge-Kutta con paso h=1 y [p0,e0,d0]=[3.5,0.00001,0.2] millones]]
+| [[Archivo:Apartado52imagen5.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo para Runge-Kutta con paso h=1 y [p0,d0,e0]=[3.5,0.001,0.0002] millones]]  || [[Archivo:Apartado52imagen6.jpg|thumb|400px|left|Variación del número de individuos de cada especie respecto al tiempo para Runge-Kutta con paso h=1 y [p0,e0,d0]=[3.5,0.00001,0.2] millones]]
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