Modelo para epidemias. Grupo 6-C - Historial de revisiones

Pablo.molinero.brito en 19:17 11 may 2016

2016-05-11T19:17:47Z

Pablo.molinero.brito en 19:17 11 may 2016

2016-05-11T19:17:00Z

Pablo.molinero.brito en 19:16 11 may 2016

2016-05-11T19:16:17Z

Pablo.molinero.brito en 19:12 11 may 2016

2016-05-11T19:12:42Z

Pablo.molinero.brito en 17:08 11 may 2016

2016-05-11T17:08:10Z

Pablo.molinero.brito en 17:07 11 may 2016

2016-05-11T17:07:34Z

Pablo.molinero.brito en 17:06 11 may 2016

2016-05-11T17:06:30Z

Pablo.molinero.brito: /* Número máximo de infectados */

2016-05-03T17:24:24Z

‎Número máximo de infectados

Pablo.molinero.brito en 17:19 3 may 2016

2016-05-03T17:19:10Z

Pablo.molinero.brito: /* Número máximo de infectados */

2016-05-03T17:17:31Z

‎Número máximo de infectados

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 [[Archivo:Ultimaimagen.jpg|400px|thumb|right|Grafica de la evolucion de los infectados para los diferentes I(0)]]
-[[Archivo:EvoluciondifI0.jpg|750px|thumb|left|Estudio del nuevo modelo para distintas condiciones inciales por separado.]]
+[[Archivo:EvoluciondifI0.jpg|400px|thumb|left|Estudio del nuevo modelo para distintas condiciones inciales por separado.]]
 Los infectados solo tienden a desaparecer en el único caso en el que I(0)<M, es decir en el que I(0)=9700. En este caso el máximo está al principio. En los otros dos casos, el número de infectados crece con el tiempo, en el caso de I(0)=10200 el máximo se alcanza en la semana 4 y en el caso de I(0)=30000 se alcanza en la semana  1

@@ Línea 191: / Línea 191: @@
 hold off
 }}
 [[Archivo:Ultimaimagen.jpg|400px|thumb|right|Grafica de la evolucion de los infectados para los diferentes I(0)]]
 Los infectados solo tienden a desaparecer en el único caso en el que I(0)<M, es decir en el que I(0)=9700. En este caso el máximo está al principio. En los otros dos casos, el número de infectados crece con el tiempo, en el caso de I(0)=10200 el máximo se alcanza en la semana 4 y en el caso de I(0)=30000 se alcanza en la semana  1
-[[Archivo:EvoluciondifI0.jpg|750px|thumb|left|Estudio del nuevo modelo para distintas condiciones inciales por separado.]]

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	Los infectados solo tienden a desaparecer en el único caso en el que I(0)<M, es decir en el que I(0)=9700. En este caso el máximo está al principio. En los otros dos casos, el número de infectados crece con el tiempo, en el caso de I(0)=10200 el máximo se alcanza en la semana 4 y en el caso de I(0)=30000 se alcanza en la semana 1		Los infectados solo tienden a desaparecer en el único caso en el que I(0)<M, es decir en el que I(0)=9700. En este caso el máximo está al principio. En los otros dos casos, el número de infectados crece con el tiempo, en el caso de I(0)=10200 el máximo se alcanza en la semana 4 y en el caso de I(0)=30000 se alcanza en la semana 1

−	[[Archivo:EvoluciondifI0.jpg\|750px\|thumb\|~~right~~\|Estudio del nuevo modelo para distintas condiciones inciales por separado.]]	+	[[Archivo:EvoluciondifI0.jpg\|750px\|thumb\|left\|Estudio del nuevo modelo para distintas condiciones inciales por separado.]]

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	Los infectados solo tienden a desaparecer en el único caso en el que I(0)<M, es decir en el que I(0)=9700. En este caso el máximo está al principio. En los otros dos casos, el número de infectados crece con el tiempo, en el caso de I(0)=10200 el máximo se alcanza en la semana 4 y en el caso de I(0)=30000 se alcanza en la semana 1		Los infectados solo tienden a desaparecer en el único caso en el que I(0)<M, es decir en el que I(0)=9700. En este caso el máximo está al principio. En los otros dos casos, el número de infectados crece con el tiempo, en el caso de I(0)=10200 el máximo se alcanza en la semana 4 y en el caso de I(0)=30000 se alcanza en la semana 1

		+	[[Archivo:EvoluciondifI0.jpg\|750px\|thumb\|right\|Estudio del nuevo modelo para distintas condiciones inciales por separado.]]

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 hold off
 }}
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 ==Segunda Parte: Modelo SIR==

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−	[[Archivo:Ultimaimagen.~~png~~\|400px\|thumb\|right\|Grafica de la evolucion de los infectados para los diferentes I(0)]]	+	[[Archivo:Ultimaimagen.jpg\|400px\|thumb\|right\|Grafica de la evolucion de los infectados para los diferentes I(0)]]

	==Segunda Parte: Modelo SIR==		==Segunda Parte: Modelo SIR==

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Línea 144:		Línea 144:

	A las 6 semanas hay 45.032 infectados. Se llega a los 400.000 infectados pasadas 10 semanas y un día y medio aproximadamente.		A las 6 semanas hay 45.032 infectados. Se llega a los 400.000 infectados pasadas 10 semanas y un día y medio aproximadamente.
		+
		+	Ahora, podríamos pensar en poblaciones tales que si el número de individuos N es elevado entonces la tasa es decreciente, y que si la población en un determinado momento M es demasiado pequeña esta tasa también decrece (por ejemplo, por la dificultad de individuos a los que contagiar los infectados).
		+	Para ello debemos modificar la ecuación logística por:
		+	\[ I'=c \cdot I \cdot \left(1-\displaystyle\frac{I}{N} \right) \cdot \left(\displaystyle\frac{I}{M} -1 \right) \]
		+	Ahora, utilizando el método de Heun, con longitud de paso H=0.01 y humbral M=10000, vamos a determinar las g´raficas de evolución de infectados, para los casos I(0)=9700,10200 y 30000.
		+	{{matlab\|codigo=
		+	N= 500000; % población total
		+	M= 10000; % umbral de población
		+	c=0.92; % coef de contagio
		+	ti=0; tf=10; % hacemos la g´rafica par aun período de 10 semanas
		+	h=0.01;
		+	t= ti:h:tf;
		+	k=(tf-ti)/h;
		+	I1=zeros(1,k+1);
		+	I10=9700;
		+	I1(1)=I10;
		+
		+	for i=1:k
		+	K1 = (cI1(i))/N(N-I1(i))*((I1(i)/M)-1);
		+	K2 = (c(I1(i)+K1h))/N(N-(I1(i)+K1h))(((I1(i)+K1h)/M)-1);
		+	I1(i+1) = I1(i) + (h/2)*(K1+K2);
		+	end
		+	I2=zeros(1,k+1);
		+	I20=10200;
		+	I2(1)=I20;
		+
		+	for j=1:k
		+	L1 = (cI2(j))/N(N-I2(j))*((I2(j)/M)-1);
		+	L2 = (c(I2(j)+L1h))/N(N-(I2(j)+L1h))(((I2(j)+L1h)/M)-1);
		+	I2(j+1) = I2(j) + (h/2)*(L1+L2);
		+	end
		+	I3=zeros(1,k+1);
		+	I30=30000;
		+	I3(1)=I30;
		+
		+	for l=1:k
		+	P1 = (cI3(l))/N(N-I3(l))*((I3(l)/M)-1);
		+	P2 = (c(I3(l)+K1h))/N(N-(I3(l)+P1h))(((I3(l)+P1h)/M)-1);
		+	I3(l+1) = I3(l) + (h/2)*(P1+P2);
		+	end
		+	hold on
		+	plot(t,I1)
		+	plot(t,I2,'y')
		+	plot(t,I3,'m')
		+	legend('Io=9700','Io=10200','Io=30000','location','best')
		+	hold off
		+	}}
		+
		+
		+	Los infectados solo tienden a desaparecer en el único caso en el que I(0)<M, es decir en el que I(0)=9700. En este caso el máximo está al principio. En los otros dos casos, el número de infectados crece con el tiempo, en el caso de I(0)=10200 el máximo se alcanza en la semana 4 y en el caso de I(0)=30000 se alcanza en la semana 1
		+
		+
		+	[[Archivo:Ultimaimagen.png\|400px\|thumb\|right\|Grafica de la evolucion de los infectados para los diferentes I(0)]]

	==Segunda Parte: Modelo SIR==		==Segunda Parte: Modelo SIR==

@@ Línea 384: / Línea 384: @@
 : <math> I(máximo) = N - \rho + \rho  log\frac{\rho}{S_0} </math>
 <br />
-Para ello creamos el siguiente código numérico que nos proporciona el máximo analítico para el valor de N del primer caso (que es una constante <math> N=S_0+I_0) </math> y también el máximo obtenido para el mismo caso aproximado con los tres métodos utilizados:
+Para ello creamos el siguiente código numérico que nos proporciona el máximo analítico para el valor de N del primer caso (que es una constante <math> N=S_0+I_0 </math>) y también el máximo obtenido para el mismo caso aproximado con los tres métodos utilizados:
 {{matlab|codigo=

@@ Línea 380: / Línea 380: @@
 El objetivo en este apartado es hallar el valor máximo de I(t), es decir, el número máximo de infectados por la epidemia para el Caso 1 y el momento en el que se produce el máximo número de infectados (en qué semana).
-Si ahora, en lugar de integrar, derivamos la expresión
+Si ahora, en lugar de integrar, derivamos la expresión <math> \frac {dI}{dS} =-1+\frac {\rho}{S} </math><br /> obtenemos la siguiente ecuación:
-Ecuación analítica:<br />
+<br />
 : <math> I(máximo) = N - \rho + \rho  log\frac{\rho}{S_0} </math>
 <br />

@@ Línea 378: / Línea 378: @@
 ==Número máximo de infectados==
-El objetivo en este apartado es hallar el valor máximo de I(t) y el momento que sería el máximo número de infectados para el Caso 1.
+El objetivo en este apartado es hallar el valor máximo de I(t), es decir, el número máximo de infectados por la epidemia para el Caso 1 y el momento en el que se produce el máximo número de infectados (en qué semana).
 Ecuación analítica:<br />
 : <math> I(máximo) = N - \rho + \rho  log\frac{\rho}{S_0} </math>
 <br />
 Para ello creamos el siguiente código numérico que nos proporciona el máximo analítico para el valor de N del primer caso (que es una constante <math> N=S_0+I_0) </math> y también el máximo obtenido para el mismo caso aproximado con los tres métodos utilizados:
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 409: / Línea 409: @@
 Ic(1)=I0;
 Rc(1)=R0;
-% euler
+% Euler
 for i=1:k
      Ia(i+1)=Ia(i)+h*(r*Sa(i)*Ia(i)-a*Ia(i));
@@ Línea 422: / Línea 422: @@
    Rb(j+1)=Rb(j)+h*(a*Ib(j));
 end
-% runge-kutta
+% Runge-Kutta
 for n=1:k
   k1S = -r*Sc(n)*Ic(n);
@@ Línea 447: / Línea 447: @@
 maxrungekutta=max(Ic)
 }}
 Máximo analítico= 107.990<br />
@@ Línea 455: / Línea 454: @@
 Podemos observar que el máximo por el método de Euler es el que más se aproxima a la solución analítica.
 Los resultados obtenidos son válidos para <math> S_0>\rho </math>, por lo que debemos comprobar los resultados en el caso de que <math> S_0 \le \rho </math>, y para ello debemos cambiar el valor de <math> S_0 </math>.  Si el valor de <math>\rho </math> es 15.642, podremos probar con un valor para <math> S_0 </math> de 14.000.
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 483: / Línea 481: @@
 Ic(1)=I0;
 Rc(1)=R0;
-% euler
+% Euler
 for i=1:k
      Ia(i+1)=Ia(i)+h*(r*Sa(i)*Ia(i)-a*Ia(i));
@@ Línea 496: / Línea 494: @@
    Rb(j+1)=Rb(j)+h*(a*Ib(j));
 end
-% runge-kutta
+% Runge-Kutta
 for n=1:k
   k1S = -r*Sc(n)*Ic(n);
@@ Línea 521: / Línea 519: @@
 maxrungekutta=max(Ic)
 }}
 Así, podemos concluir con que los valores máximos numéricos obtenidos son menores que la solución analítica:
 Analítico: 107
 Numérico: 15