Modelo Térmico de un Edificio.(Grupo 13A) - Historial de revisiones

P.murios: /* Demostración del enunciado */

2015-03-06T23:01:00Z

‎Demostración del enunciado

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Isabel Roselló en 22:59 6 mar 2015

2015-03-06T22:59:36Z

Isabel Roselló en 22:58 6 mar 2015

2015-03-06T22:58:39Z

P.murios: /* Demostración del enunciado */

2015-03-06T22:54:44Z

‎Demostración del enunciado

P.murios: /* Demostración del enunciado */

2015-03-06T22:51:39Z

‎Demostración del enunciado

P.murios en 22:47 6 mar 2015

2015-03-06T22:47:56Z

P.murios en 22:47 6 mar 2015

2015-03-06T22:47:04Z

P.murios en 22:45 6 mar 2015

2015-03-06T22:45:56Z

Isabel Roselló en 22:43 6 mar 2015

2015-03-06T22:43:58Z

Isabel Roselló en 22:40 6 mar 2015

2015-03-06T22:40:51Z

@@ Línea 149: / Línea 149: @@
 ===Demostración del enunciado===
 Analizamos a continuación un segundo caso. Supongamos ahora que el edificio dispone de un termostato que adecúa la temperatura interior del edificio en función de la temperatura deseada (TD). Para ello el sistema mide la temperatura real y aporta calor o frío al interior, o, en caso de corresponder con la temperatura deseada, permanece apagado.  La cantidad de calor o enfriamiento suministrado vendrá dado por la función U(t), proporcional a esta diferencia de temperatura.
-  <math> U(t)=Ku [Td - T(t)] </math>
+  <math> U(t)=Ku [T_{D} - T(t)] </math>
 Demostraremos a continuación que la solución del nuevo problema de valor inicial (PVI) es:
 <math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>
 Donde:
-\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuTd+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \,  \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
+\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \,  \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
-Para demostrarlo paso a paso comenzamos resolviendo el problema de valor inicial: <math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[Td-T] </math>
+Para demostrarlo paso a paso comenzamos resolviendo el problema de valor inicial: <math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[T_{D}-T] </math>
 Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
 :La solución de la ecuación homogénea <math> T'+KT + KuT = 0 </math>, empleando el método de separación de variables es <math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math> . Como podemos observar, el término <math> k+Ku=K1 </math> . Queda así resuelta la primera parte de esta cuestión.
-:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho+KuTd </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
+:Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho+KuT_{D} </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
-Empleando el método de resolución por tanteo en <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuTd+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuTd+kMo+Ho}{K1}\ </math>.
+Empleando el método de resolución por tanteo en <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ </math>.
 Como podemos ver, la expresión B2 coincide con esta primera solución particular hallada.
 Del mismo modo, para la segunda solución particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión  math> T_{p2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que es fácilmente resoluble por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en la anterior expresión de ''' Tp2'''. La nueva expresión queda:
@@ Línea 167: / Línea 167: @@
 Finalmente, imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> obtenemos el término correspondiente al término C dado por el enunciado:
 <math> C = To – B2 + +F1(0) </math>
 ===Aproximación de la temperatura media a B2 y a la temperatura deseada===

@@ Línea 123: / Línea 123: @@
 La variación de la temperatura interior del edificio en este gráfico la hemos obtenido mediante los métodos de Euler y Runge-Kutta 4 con un h=0.1.
 Se observa en la gráfica que ambos métodos nos proporcionan una función muy similar a la solución exacta. La temperatura máxima interior obtenida con Euler es 19.96 º C y con Runge-kutta es 19.99 º C,  alcanzadas a las 14.5 horas y 14.6 horas respectivamente. Este dato se aproxima mucho a la temperatura máxima de la solución exacta, que es 19.93  Así mismo la temperatura mínima obtenida por Euler es 12.08 ºC y por Runge-Kutta es 12.12ºC, alcanzadas ambas a las 2.6 horas, también muy próximas a los 12.11 ºC de la solución exacta.
 El periodo de la función es de 24 horas y el rango en el que varían las temperaturas es de 7.874. La temperatura media obtenida es   15.9996 y  16.0322 para cada uno de los métodos y 16 en el caso de la exacta.
 En cuanto a la variación de la temperatura exterior, tiene su mínimo, 2ºC, a medianoche (0 horas y 24 horas) y su máximo, 12 grados a las 12 horas (mediodía) y también tiene un periodo de 24 horas. El rango en el que varían las temperaturas en este caso es 10.
 La temperatura exterior influye en la temperatura interior del edificio de manera que a medida que se produce una variación en la exterior, se produce una variación similar pero atenuada  y con cierto retraso en la temperatura interior del edificio.
@@ Línea 254: / Línea 258: @@
 La variación de la temperatura interior del edificio en este gráfico la hemos obtenido mediante los métodos de Euler y Runge-Kutta 4 con un h=0.1.
 Se observa en la gráfica que ambos métodos nos proporcionan una función muy similar a la solución exacta. La temperatura máxima interior obtenida con Euler es 24 º C y con Runge-kutta es también 24 º C. Este dato es bastante póximo a la temperatura máxima de la solución exacta, que es 23.64ºC.  Así mismo la temperatura mínima obtenida por Euler es 18.19 ºC y por Runge-Kutta es 18.53ºC, también muy próximas a los 18.2 ºC de la solución exacta.
 El periodo de la función es de 24 horas y el rango en el que varían las temperaturas es de 7.874. La temperatura media obtenida es   19.71 y  20.04  para cada uno de los métodos y 19.7 en el caso de la exacta.
 Por tanto observamos que para este tamaño de paso la solución más aproximada nos la proporciona el método de Euler.
 En cuanto a la variación de la temperatura exterior, tiene su mínimo, 2ºC, a medianoche (0 horas y 24 horas) y su máximo, 12 grados a las 12 horas (mediodía) y también tiene un periodo de 24 horas. El rango en el que varían las temperaturas en este caso es 10.
 Podemos observar que la temperatura exterior influye en la temperatura interior del edificio de manera que a medida que se produce una variación en la exterior, se produce una variación similar pero atenuada  y con cierto retraso en la temperatura interior del edificio, pero en este caso, al haber un aparato que regula la temperatura de forma que se aproxime a una temperatura deseada observamos que el rango de temperaturas en el que varía la temperatura interior del edificio es de 5.43, mucho menor que en el del apartado anterior y que la temperatura media es de 19.7 ºC valor bastante cercano a los 22ºC de la temperatura deseada.

@@ Línea 49: / Línea 49: @@
 Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>
 ===Representación de la temperatura interior y exterior del edificio===
@@ Línea 163: / Línea 141: @@
 Del mismo modo que ocurrió en el caso anterior, al disminuir aún más el tamaño de paso las soluciones obtenidas se acercan más a la realidad, y por tanto los datos como las temperaturas mínima, máxima y media coinciden en ambos métodos y en este caso también coinciden con los de la exacta.

@@ Línea 57: / Línea 57: @@
 <math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>
 Donde:
-\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuTd+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \,  \\ F1(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k1}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
+\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuTd+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \,  \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
-Para demostrarlo paso a paso comenzamos resolviendo el problema de valor inicial: <math> T' = k[(Mo-Bcos(wt)]-T]+Ho+Ku[Td-T] </math>
+Para demostrarlo paso a paso comenzamos resolviendo el problema de valor inicial: <math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[Td-T] </math>
 Es una ecuación lineal de primer orden y la resolvemos como <math> Tgeneral=Thomogenea+Tparticular </math>.
-:La solución de la ecuación homogénea <math> T'+KT + KuT = 0 </math>, empleando el método de separación de variables es <math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math> . Como podemos observar, el término <math> k+ku=K1 </math> . Queda así resuelta la primera parte de esta cuestión.
+:La solución de la ecuación homogénea <math> T'+KT + KuT = 0 </math>, empleando el método de separación de variables es <math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math> . Como podemos observar, el término <math> k+Ku=K1 </math> . Queda así resuelta la primera parte de esta cuestión.
 :Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho+KuTd </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
 Empleando el método de resolución por tanteo en <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuTd+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuTd+kMo+Ho}{K1}\ </math>.
 Como podemos ver, la expresión B2 coincide con esta primera solución particular hallada.
 Del mismo modo, para la segunda solución particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión  math> T_{p2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que es fácilmente resoluble por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en la anterior expresión de ''' Tp2'''. La nueva expresión queda:
-<math> T_{p2} (t)=-\frac{\frac{kB}{K_{1}}}{1+{(\frac{w}{K_{1}})}^2}cos(wt)-\frac{\frac{KB}{K_{1}^2}w}{1+{(\frac{w}{K_{1}})}^2}sin(wt) </math>
+<math> T_{p2} (t)=-\frac{\frac{kB}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{KB}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}sin(ωt) </math>
-La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math>T(t)=\frac{kMo+Ho+kUT_{D}}{K_{1}}-B1{[\frac{\frac{k}{K_{1}}}{1+{(\frac{w}{K_{1}})}^2}cos(wt)+\frac{\frac{k}{K_{1}^2}w}{1+{(\frac{w}{k_{1}})}^2}sin(wt)]}+ce^{-kt}</math>
+La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math>T(t)=\frac{kMo+Ho+kUT_{D}}{K_{1}}-B1{[\frac{\frac{k}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{k}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{k_{1}})}^2}sin(ωt)]}+Ce^{-kt}</math>
 Como podemos observar, el factor que multiplica a B1 es  ''' F1(t)'''.
 Finalmente, imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> obtenemos el término correspondiente al término C dado por el enunciado:

@@ Línea 64: / Línea 64: @@
 Empleando el método de resolución por tanteo en <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuTd+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuTd+kMo+Ho}{K1}\ </math>.
 Como podemos ver, la expresión B2 coincide con esta primera solución particular hallada.
-Del mismo modo, para la segunda solución particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión  math> T_{p2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que es fácilmente resoluble por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en la anterior expresión de ''' T_{p2}'''. La nueva expresión queda:
+Del mismo modo, para la segunda solución particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión  math> T_{p2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que es fácilmente resoluble por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en la anterior expresión de ''' Tp2'''. La nueva expresión queda:
 <math> T_{p2} (t)=-\frac{\frac{kB}{K_{1}}}{1+{(\frac{w}{K_{1}})}^2}cos(wt)-\frac{\frac{KB}{K_{1}^2}w}{1+{(\frac{w}{K_{1}})}^2}sin(wt) </math>
 La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math>T(t)=\frac{kMo+Ho+kUT_{D}}{K_{1}}-B1{[\frac{\frac{k}{K_{1}}}{1+{(\frac{w}{K_{1}})}^2}cos(wt)+\frac{\frac{k}{K_{1}^2}w}{1+{(\frac{w}{k_{1}})}^2}sin(wt)]}+ce^{-kt}</math>
-Como podemos observar, el factor que multiplica a B1 es  ''' F_{1}(t)'''.
+Como podemos observar, el factor que multiplica a B1 es  ''' F1(t)'''.
 Finalmente, imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> obtenemos el término correspondiente al término C dado por el enunciado:
-<math> C = To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ </math>
+<math> C = To – B2 + +F1(0) </math>
-−
 ===Representación de la temperatura interior y exterior del edificio===

@@ Línea 50: / Línea 50: @@
 Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>
-==Modelo con termostato==
+==Modelo con una variación senoidal con termostato==
 Analizamos a continuación un segundo caso. Supongamos ahora que el edificio dispone de un termostato que adecúa la temperatura interior del edificio en función de la temperatura deseada (TD). Para ello el sistema mide la temperatura real y aporta calor o frío al interior, o, en caso de corresponder con la temperatura deseada, permanece apagado.  La cantidad de calor o enfriamiento suministrado vendrá dado por la función U(t), proporcional a esta diferencia de temperatura.
   <math> U(t)=Ku [Td - T(t)] </math>
@@ Línea 164: / Línea 164: @@
 Del mismo modo que ocurrió en el caso anterior, al disminuir aún más el tamaño de paso las soluciones obtenidas se acercan más a la realidad, y por tanto los datos como las temperaturas mínima, máxima y media coinciden en ambos métodos y en este caso también coinciden con los de la exacta.
-==Modelo con una variación senoidal con termostato==
 ===Aproximación de la temperatura media a B2 y a la temperatura deseada===
 A continuación vamos a demostrar que la temperatura media es igual a B2

@@ Línea 36: / Línea 36: @@
-La solucion <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.
+La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.
 El siguiente apartado pide demostrar que <math> Bo </math> es aproximadamente la temperatura media diaria dentro del edificio, y que con <math> Ho=0 </math> entonces <math> Bo=Mo </math>
@@ Línea 49: / Línea 49: @@
 Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>
 ===Representación de la temperatura interior y exterior del edificio===

@@ Línea 226: / Línea 226: @@
 [[Archivo:T3h0.png|centro]]
 '''Grafico Euler y Runge-Kutta 4 h=0.01 :'''
@@ Línea 231: / Línea 238: @@
 [[Archivo:T3h00.png|centro]]
 '''Grafico Euler y Runge-Kutta 4 h=0.001 :'''
@@ Línea 236: / Línea 246: @@
 [[Archivo:T3h000.png|centro]]
 ==Estudio de la temperatura del edificio dividido en dos zonas==