Modelo Predador-Presa de Lokta-Volterra - Historial de revisiones

Herraiz en 15:04 25 jul 2013

2013-07-25T15:04:18Z

Herraiz en 16:12 19 abr 2013

2013-04-19T16:12:05Z

Gonzalo en 17:52 18 abr 2013

2013-04-18T17:52:54Z

Daniel Verdugo Moreno: /* Interpretación de los resultados */

2013-02-26T10:32:24Z

‎Interpretación de los resultados

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Daniel Verdugo Moreno en 10:26 26 feb 2013

2013-02-26T10:26:55Z

Daniel Verdugo Moreno: /* Interpretación de los resultados */

2013-02-26T10:22:10Z

‎Interpretación de los resultados

Daniel Verdugo Moreno: /* Interpretación de los resultados */

2013-02-26T10:07:00Z

‎Interpretación de los resultados

Daniel Verdugo Moreno en 10:04 26 feb 2013

2013-02-26T10:04:11Z

Daniel Verdugo Moreno en 09:54 26 feb 2013

2013-02-26T09:54:37Z

Daniel Verdugo Moreno: /* Resolución Numérica */

2013-02-23T22:53:01Z

‎Resolución Numérica

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		+	{{Trabajo\|Modelo Depredador-Presa de Lotka-Volterra\|[[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales\|Ecuaciones Diferenciales]]\|[[:Categoría:Trabajos 2012-13\|2012-13]]}}
	Las ecuaciones de Lokta-Volterra tratan de modelizar la evolución de dos poblaciones (depredador y presa) en el tiempo.		Las ecuaciones de Lokta-Volterra tratan de modelizar la evolución de dos poblaciones (depredador y presa) en el tiempo.
	== Planteamiento ==		== Planteamiento ==

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	[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]		[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
	[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]		[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
		+	[[Categoría:Trabajos 2012-13]]

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		+	[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
		+	[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]

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 Una de las aplicaciones de este estudio es tratar de predecir la extinción de las especies. Por ejemplo, si suponemos que para una población de Predadores inferior a 50 individuos la extinción se vuelve inevitable debido a otros factores, podríamos determinar que el depredador correría riesgo de extinción para la ya estudiada población inicial de presas de 250, ya que entonces, según nuestra aproximación, la población de predadores llegaría a descender hasta la cifra de 52 individuos.
-También se puede utilizar este modelo para calcular la población de predadores y presas en un instante <math>t</math> anterior a <math>t_0</math>. Por ejemplo, para calcular la población de presas y predadores en <math>t=0</math>, sabiendo que en <math>t=100</math>, <math>R=2200,F=320</math>, podemos utilizar esta pequeña variación de la anterior aproximación por el método de Runge-Kutta (y análogamente por el método de Euler), obteniendo unos valores de <math>R_0=,F_0=</math> en <math> t=0</math>:
+También se puede utilizar este modelo para calcular la población de predadores y presas en un instante <math>t</math> anterior a <math>t_0</math>. Por ejemplo, para calcular la población de presas y predadores en <math>t=0</math>, sabiendo que en <math>t=100</math>, <math>R=2200,F=320</math>, podemos utilizar esta pequeña variación de la anterior aproximación por el método de Runge-Kutta (y análogamente por el método de Euler), obteniendo unos valores de <math>R_0= 1435,F_0=490</math> en <math> t=0</math>:
 {{matlab|codigo=
-clear allN=1000; %Número de iteraciones.t0=100; tN=0; h=(tN-t0)/N; %Tiempo inicial, final y espacio entre iteraciones sucesivas.a=0.4;b=0.37;c=0.3;d=0.05; %Valor de las constantes del modeloR(N+1)=2.2; F(N+1)=0.32; %Condiciones inicialesfor i =  N+1:-1:2       %Cálculo de las Ctes k1-k4.    k1=[a*R(i)-c*F(i)*R(i), -b*F(i)+d*F(i)*R(i)];    k2=[a*(R(i)+h*k1(1)/2)-c*(F(i)+h*k1(2)/2)*(R(i)+h*k1(1)/2), -b*(F(i)+h*k1(2)/2)+d*(F(i)+h*k1(2)/2)*(R(i)+h*k1(1)/2)];    k3=[a*(R(i)+h*k2(1)/2)-c*(F(i)+h*k2(2)/2)*(R(i)+h*k2(1)/2), -b*(F(i)+h*k2(2)/2)+d*(F(i)+h*k2(2)/2)*(R(i)+h*k2(1)/2)];    k4=[a*(R(i)+h*k3(1))-c*(F(i)+h*k3(2))*(R(i)+h*k3(1)), -b*(F(i)+h*k3(2))+d*(F(i)+h*k3(2))*(R(i)+h*k3(1))];    %Cálculo del próximo valor de R, F.    R(i-1)=R(i)+h*(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;    F(i-1)=F(i)+h*(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;end;T=t0:h:tN; %Vector de valores temporales asociados a cada valor de R,F.%Gráfica de la solución.hold onfigure(1)plot(T,R,'r')plot(T,F,'g')figure(2)plot(R,F)hold off
+clear all
 }}

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 </gallery>
-Una de las aplicaciones de este estudio es tratar de predecir la extinción de las especies. Por ejemplo, si suponemos que para una población de Predadores inferior a 50 individuos la extinción se vuelve inevitable debido a otros factores, podríamos determinar que el depredador correría riesgo de extinción para la población inicial de presas de 250, ya que entonces, según nuestra aproximación, la población de predadores llegaría a descender hasta la cifra de 52 individuos.
+Una de las aplicaciones de este estudio es tratar de predecir la extinción de las especies. Por ejemplo, si suponemos que para una población de Predadores inferior a 50 individuos la extinción se vuelve inevitable debido a otros factores, podríamos determinar que el depredador correría riesgo de extinción para la ya estudiada población inicial de presas de 250, ya que entonces, según nuestra aproximación, la población de predadores llegaría a descender hasta la cifra de 52 individuos.
-También se puede utilizar este modelo para calcular la población de predadores y presas en un instante <math>t</math> anterior a <math>t_0</math>. Por ejemplo, para calcular la población de presas y predadores en <math>t=0</math>, sabiendo que en <math>t=110</math>, <math>R=2200,F=320</math>, podemos utilizar esta pequeña variación de la anterior aproximación por el método de Runge-Kutta (y análogamente por el método de Euler)::
+También se puede utilizar este modelo para calcular la población de predadores y presas en un instante <math>t</math> anterior a <math>t_0</math>. Por ejemplo, para calcular la población de presas y predadores en <math>t=0</math>, sabiendo que en <math>t=100</math>, <math>R=2200,F=320</math>, podemos utilizar esta pequeña variación de la anterior aproximación por el método de Runge-Kutta (y análogamente por el método de Euler), obteniendo unos valores de <math>R_0=,F_0=</math> en <math> t=0</math>:

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	Archivo:250R2.jpg\|Diagrama <math>R-F</math> para una <math>R_0</math> de 250		Archivo:250R2.jpg\|Diagrama <math>R-F</math> para una <math>R_0</math> de 250
	</gallery>		</gallery>
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		+	Una de las aplicaciones de este estudio es tratar de predecir la extinción de las especies. Por ejemplo, si suponemos que para una población de Predadores inferior a 50 individuos la extinción se vuelve inevitable debido a otros factores, podríamos determinar que el depredador correría riesgo de extinción para la población inicial de presas de 250, ya que entonces, según nuestra aproximación, la población de predadores llegaría a descender hasta la cifra de 52 individuos.
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		+	También se puede utilizar este modelo para calcular la población de predadores y presas en un instante <math>t</math> anterior a <math>t_0</math>. Por ejemplo, para calcular la población de presas y predadores en <math>t=0</math>, sabiendo que en <math>t=110</math>, <math>R=2200,F=320</math>, podemos utilizar esta pequeña variación de la anterior aproximación por el método de Runge-Kutta (y análogamente por el método de Euler)::

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 <gallery>
-Archivo:1500R1.jpg|Diagrama Población-Tiempo para una población inicial de Presas de 1500
+Archivo:1500R1.jpg|Diagrama Población-Tiempo para una <math>R_0</math> de 1500
-Archivo:1500R2.jpg|Descripción2
+Archivo:1500R2.jpg|Diagrama <math>R-F</math> para una <math>R_0</math> de 1500
 </gallery>
 <gallery>
-Archivo:1000R1.jpg|Descripción1
+Archivo:1000R1.jpg|Diagrama Población-Tiempo para una <math>R_0</math> de 1000
-Archivo:1000R2.jpg|Descripción2
+Archivo:1000R2.jpg|Diagrama <math>R-F</math> para una <math>R_0</math> de 1000
 </gallery>
 <gallery>
-Archivo:250R1.jpg|Descripción1
+Archivo:250R1.jpg|Diagrama Población-Tiempo para una <math>R_0</math> de 250
-Archivo:250R2.jpg|Descripción2
+Archivo:250R2.jpg|Diagrama <math>R-F</math> para una <math>R_0</math> de 250
 </gallery>

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 Puesto que no se trata de una ecuación lineal (aunque es posible linealizarla en un entorno de los puntos de equilibrio), vamos a obtener sus soluciones a través de métodos iterativos.
 === Resolución por el Método de Euler ===
-Para una población inicial de Presas <math>R_{0}=3000</math> y de Predadores <math>F_{0}=1000</math>, en un intervalo <math></math> y para los valores <math>a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05</math> de las constantes, el sistema se resuelve con el siguiente código en MATLAB®:
+Para una población inicial de Presas <math>R_{0}=3000</math> y de Predadores <math>F_{0}=1000</math> (a escala 1:1000), en un intervalo <math></math> y para los valores <math>a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05</math> de las constantes, el sistema se resuelve con el siguiente código en MATLAB®:
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 === Resolución por el Método de Runge-Kutta===
-Para una población inicial de Presas <math>R_{0}=3000</math> y de Predadores <math>F_{0}=1000</math>, en un intervalo <math></math> y para los valores <math>a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05</math> de las constantes, el sistema se resuelve con el siguiente código en MATLAB®:
+Para una población inicial de Presas <math>R_{0}=3000</math> y de Predadores <math>F_{0}=1000</math> (a escala 1:1000), en un intervalo <math></math> y para los valores <math>a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05</math> de las constantes, el sistema se resuelve con el siguiente código en MATLAB®:
 {{matlab|codigo=
 clear all
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 == Interpretación de los resultados ==
-La solución del sistema de Lokta-Volterra nos permite estudiar la evolución de la población de las dos especies para diferentes condiciones iniciales. Por ejemplo:
+La solución del sistema de Lokta-Volterra nos permite estudiar la evolución de la población de las dos especies para diferentes condiciones iniciales. Por ejemplo, con los mismos parámetros usados anteriormente, pero variando la población inicial de Presas observamos:

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 [[Archivo:RungeKutta1.jpg|marco|centro]]
 [[Archivo:RungeKutta2.jpg|marco|centro]]
 == Interpretación de los resultados ==