Métodos numéricos - Historial de revisiones

Herraiz: /* Ejemplo de método numérico */

2013-12-19T18:27:43Z

‎Ejemplo de método numérico

Herraiz: /* Análisis numérico del método */

2013-10-02T14:55:22Z

‎Análisis numérico del método

Herraiz: /* Análisis numérico del método */

2013-10-02T14:53:49Z

‎Análisis numérico del método

Herraiz: /* Ejemplo de método numérico */

2013-10-02T14:49:54Z

‎Ejemplo de método numérico

Herraiz: /* Análisis numérico de algoritmos */

2013-10-02T14:48:01Z

‎Análisis numérico de algoritmos

Herraiz: /* Análisis numérico de algoritmos */

2013-10-02T14:47:18Z

‎Análisis numérico de algoritmos

Herraiz: /* Análisis numérico del método */

2013-10-02T14:46:07Z

‎Análisis numérico del método

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Herraiz: /* Análisis numérico del método */

2013-08-25T21:14:12Z

‎Análisis numérico del método

Herraiz: /* Ejemplos de uso */

2013-08-25T21:12:31Z

‎Ejemplos de uso

Herraiz en 21:10 25 ago 2013

2013-08-25T21:10:51Z

@@ Línea 29: / Línea 29: @@
 <math>\displaystyle D = \int_a^b f(x) dx</math>
 Se trata de calcular el valor de ''D'', que es el área bajo la curva ''f(x)'' entre los puntos ''x=a'' y ''x=b''. Suponemos que ''f(x)'' es una función continua en ''[a,b]''. La imagen de la derecha ilustra el problema.
-[[Archivo:Area aproximada.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del area bajo la función usando rectángulos]]
+[[Archivo:Area aproximada.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del área bajo la función usando rectángulos]]
 Al integrar una función en un intervalo dado, estamos sumando pedazos del área de ancho infinitesimal. La suma contiene infinitos elementos, y su resultado es el valor de la integral, que coincide con la del área. En un ordenador, no podemos tener pedazos de área infinitesimal, por lo que será necesario ''discretizar'' el problema, y calcular el área aproximando por rectángulos de alguna longitud dada. Por ejemplo, en la imagen de la derecha hemos aproximado el área usando cinco rectángulos.

@@ Línea 143: / Línea 143: @@
 El error que cometemos al aproximar el rectángulo varía con el cuadrado de <math>h</math>, y depende también del valor de la función en el extremo. Si sumamos todos los rectángulos:
 <math>\displaystyle E = \sum_i E_i = \sum_i f(x_i)h - \sum_i (f(x_i)+f'(c_i)\frac{h^2}{2} = h\sum_i f(x_i) - \frac{h^2}{2}\sum_i (f(x_i) + f'(c_i))</math>
-Esta expresión nos permite extraer algunas conclusiones. El término dominante del error es el término multiplicado<math>h</math>. Por cada orden de magnitud que disminuyamos el valor de <math>h</math>, el error disminuirá en un orden de magnitud.
+Esta expresión nos permite extraer algunas conclusiones. El término dominante del error es el término multiplicado por <math>h</math>. Por cada orden de magnitud que disminuyamos el valor de <math>h</math>, el error disminuirá en un orden de magnitud.
 Vemos también que hay términos que suman y restan en el error. Es decir, aunque el método cometa error, algunas veces lo hace ''por arriba'' y otras ''por abajo'', por lo que el error total podría compensarse y ser pequeño. Observamos también que el error depende de los valores de la función en los puntos que hemos seleccionado en el intervalo, y del valor de la derivada de la función. Nuestro método comete error incluso integrando una línea recta (de derivada constante), por lo que no parece un buen método numérico<ref>Obviamente, existen métodos de integración numérica más sofisticados y que cometen un error mucho menor. Este método es solo un ejemplo ilustrativo de cómo es un método numérico y cómo se analiza. Véase [http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica Integración numérica] (Wikipedia ES) para más detalles sobre mejores métodos de integración numérica.</ref>.

@@ Línea 128: / Línea 128: @@
 En esta sección incluimos un ejemplo de análisis numérico del algoritmo propuesto anteriormente, para ilustrar que aunque sea una tarea de matemáticos, un ingeniero también puede analizar si un algoritmo es adecuado para el problema que quiere resolver.
-En el caso de integración numérica, la preocupación principal es cuál es el error de la aproximación. Como estamos discretizando el intervalo de integración, la pregunta es cuál es el mejor valor de <math>h</math> para obtener una solución satisfactoria. No basta con hacer el valor de <math>h</math>muy pequeño, ya que eso provocaría errores de redondeo en la máquina. Además, incluso si fuera muy pequeño, podría no ser adecuado para el problema que queremos resolver. Si obtenemos una expresión del error, es posible seleccionar un valor de <math>h</math> que cometa poco error, pero sea lo suficientemente grande para evitar los errores de redondeo en el ordenador, y también para que el tiempo de ejecución sea el menor posible.
+En el caso de integración numérica, la preocupación principal es cuál es el error de la aproximación. Como estamos discretizando el intervalo de integración, la pregunta es cuál es el mejor valor de <math>h</math> para obtener una solución satisfactoria. No basta con hacer el valor de <math>h</math> muy pequeño, ya que eso provocaría errores de redondeo en la máquina. Además, incluso si fuera muy pequeño, podría no ser adecuado para el problema que queremos resolver. Si obtenemos una expresión del error, es posible seleccionar un valor de <math>h</math> que cometa poco error, pero sea lo suficientemente grande para evitar los errores de redondeo en el ordenador, y también para que el tiempo de ejecución sea el menor posible.
 Aplicando el ''análisis numérico'' es posible obtener una expresión del error en función de ''h''. El error de la aproximación es:

@@ Línea 36: / Línea 36: @@
 donde <math>h=2</math> en la figura, y <math>x_1 = 12, \ \ x_2=14, \ \ \dots</math>, es decir <math>x_{i+1} = x_i + h</math>.
-Es obvio que la aproximación supone un error en el cálculo. En el caso de la figura de la derecha, la zona rayada indica el valor del área que hemos calculado en cada rectángulo; la zona roja de los rectángulos nos indica el error que estamos cometiendo en la aproximación. En los rectángulos <math>A_1, A_2, A_4 y A_5</math> el error es positivo; es decir, nuestra aproximación supone una estimación superior al valor del área bajo la curva. En el caso del rectángulo <math>A_3</math>, el error es negativo, ya que hemos realizado una estimación inferior al valor del área bajo la curva en ese intervalo. Este error negativo se resta de la suma de los errores positivos, y mejora ligeramente nuestra estimación.
+Es obvio que la aproximación supone un error en el cálculo. En el caso de la figura de la derecha, la zona rayada indica el valor del área que hemos calculado en cada rectángulo; la zona roja de los rectángulos nos indica el error que estamos cometiendo en la aproximación. En los rectángulos <math>A_1, A_2, A_4</math> y <math>A_5</math> el error es positivo; es decir, nuestra aproximación supone una estimación superior al valor del área bajo la curva. En el caso del rectángulo <math>A_3</math>, el error es negativo, ya que hemos realizado una estimación inferior al valor del área bajo la curva en ese intervalo. Este error negativo se resta de la suma de los errores positivos, y mejora ligeramente nuestra estimación.
 Si hiciéramos el valor de ''h'' más pequeño, el error cometido sería probablemente más pequeño. Pero no se puede disminuir ''h'' hasta valores arbitrariamente pequeños, ya que en algún momento alcanzaremos los límites de precisión de la máquina, y obtendremos errores de redondeo demasiado grandes. En el ejemplo, está claro que ''h=2'' es demasiado burdo; el valor se ha elegido únicamente con fines ilustrativos.

@@ Línea 10: / Línea 10: @@
 El objetivo del análisis numérico es obtener un método para resolver el problema matemático en un ordenador. Hay que tener en cuenta que el ordenador solo es capaz de realizar operaciones matemáticas sencillas, y sobre todo, que los ordenadores usan un [[Representación numérica en un ordenador|sistema discreto de representación de la información]]. En el desarrollo de un método numérico hay que tener en cuenta por tanto dos aspectos:
 * Es necesario traducir el problema a operaciones elementales (operaciones aritméticas)
-* Es necesario controlar el error para que el algoritmo sea estable, y produzca una solución cercana a la realidad
+* Es necesario controlar el error producido por usar una aproximación para que el algoritmo sea estable y genere una solución cercana a la realidad
 Algunos paquetes de software, como por ejemplo [[Octave UPM]], poseen una biblioteca de métodos numéricos y de operaciones matemáticas que hacen más sencilla la implementación de un método numérico. Por ejemplo, aunque un ordenador no puede resolver un sistema de ecuaciones directamente, en [[Octave UPM]] la solución del sistema <math>A\cdot x = b</math> se obtiene simplemente con

@@ Línea 6: / Línea 6: @@
 * El problema es muy complejo, y no se puede encontrar una solución analítica en la práctica
 * El problema no tiene solución analítica conocida, pero puede resolverse de manera numérica
-* El tamaño de la solución lo hace impracticable de resolver a mano
+* El tamaño de la solución lo hace impracticable para resolver a mano
 El objetivo del análisis numérico es obtener un método para resolver el problema matemático en un ordenador. Hay que tener en cuenta que el ordenador solo es capaz de realizar operaciones matemáticas sencillas, y sobre todo, que los ordenadores usan un [[Representación numérica en un ordenador|sistema discreto de representación de la información]]. En el desarrollo de un método numérico hay que tener en cuenta por tanto dos aspectos:

@@ Línea 124: / Línea 124: @@
 === Análisis numérico del método ===
-El análisis numérico suele ser una tarea de matemáticos. Los ingenieros seleccionan el método que mejor se adapta a un problema particular, y lo aplican. Por ejemplo, un ingeniero civil puede seleccionar el mejor método de resolución de un sistema de ecuaciones lineales para calcular una estructura usando un método matricial. En ocasiones, los mismos ingenieros son los que implementan también el método, ya que para muchos problemas es más importante ser experto en el problema de ingeniería que se resuelve, más que un experto en programación o Informática. En esta sección incluimos un ejemplo de análisis numérico del algoritmo propuesto anteriormente, para ilustrar que aunque sea una tarea de matemáticos, un ingeniero también puede analizar si un algoritmo es adecuado para el problema que quiere resolver.
+El análisis numérico suele ser una tarea de matemáticos. Los ingenieros seleccionan el método que mejor se adapta a un problema particular, y lo aplican. Por ejemplo, un ingeniero civil puede seleccionar el mejor método de resolución de un sistema de ecuaciones lineales para calcular una estructura usando un método matricial. En ocasiones, los mismos ingenieros son los que implementan también el método, ya que para muchos problemas es más importante ser experto en el problema de ingeniería que se resuelve, más que un experto en programación o Informática. Es difícil encontrar ingenieros informáticos que tengan conocimientos de otras ramas de la ingeniería, pero es más fácil encontrar ingenieros especialistas en una rama con conocimientos de informática suficientes para programar un método numérico.
 En el caso de integración numérica, la preocupación principal es cuál es el error de la aproximación. Como estamos discretizando el intervalo de integración, la pregunta es cuál es el mejor valor de <math>h</math> para obtener una solución satisfactoria. No basta con hacer el valor de <math>h</math>muy pequeño, ya que eso provocaría errores de redondeo en la máquina. Además, incluso si fuera muy pequeño, podría no ser adecuado para el problema que queremos resolver. Si obtenemos una expresión del error, es posible seleccionar un valor de <math>h</math> que cometa poco error, pero sea lo suficientemente grande para evitar los errores de redondeo en el ordenador, y también para que el tiempo de ejecución sea el menor posible.

@@ Línea 109: / Línea 109: @@
 Veamos dos ejemplos de uso de esta función. En primer lugar, vamos a calcular <math>\displaystyle \int_3^4 x^2dx = \frac{37}{3} = 12.\overline{3}</math> usando 10 rectángulos. El primer paso es definir la función, que llamaremos ''g''. En [[Octave UPM]] existen diferentes maneras de crear una función. Podríamos crear un fichero ''g.m'' que aceptara un valor ''x'' y devolviera el valor de la función. Pero es más rápido crear un ''function handle'', que permite crear funciones en la línea de comandos. Las funciones pueden tener varios argumentos de entrada pero están limitadas a un único valor de salida. Pero esta limitación no es inconveniente para usar ''handles'' con nuestras implementaciones de métodos numéricos, porque las funciones matemáticas normalmente devuelven siempre un único valor. El valor que se devuelve es siempre el último cálculo de la función. Creamos el ''function handle'' usando el símbolo ''@'', seguido de las variables de entrada entre paréntesis, tal y como sigue:
 {{#tag:source|>> g = @(x) x^2;|lang="matlab"}}
-Ahora podemos llamar directamente a la función:
+Al haber creado esta función, la podemos llamar con cualquier argumento. Por ejemplo
 {{#tag:source|>> integrarConRectangulos(g, 3, 4, 10)
 ans =  12.6850000000000|lang="matlab"}}

@@ Línea 70: / Línea 70: @@
 Vamos ahora a escribir el código. Como nuestro método calcula el área de cada rectángulo, y obtiene el valor total como la suma de todos los rectángulos, necesitaremos usar un bucle dentro del programa. Además, el valor del área tendrá que usar una variable que acumule el valor de cada rectángulo. También será necesario calcular el valor de ''h'', usando el número de rectángulos:
 {{matlab | codigo =
-−
    A = 0;
    h = (b-a)/n;