Logística con Umbral (15-A) - Historial de revisiones

AlbertoRF: /* Situaciones posibles */ Ordenadas imágenes

2015-03-12T19:48:09Z

‎Situaciones posibles: Ordenadas imágenes

AlbertoRF: /* Comensalismo */

2015-03-10T01:04:23Z

‎Comensalismo

AlbertoRF: /* Simbiosis o cooperación */ Corregida imagen

2015-03-10T00:58:17Z

‎Simbiosis o cooperación: Corregida imagen

AlbertoRF: /* Modelos de competencia */ Corregidas variables

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‎Modelos de competencia: Corregidas variables

AlbertoRF: /* Introducción */ Negritas

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‎Introducción: Negritas

AlbertoRF: /* Introducción */ Frase corregida

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‎Introducción: Frase corregida

AlbertoRF: /* Resolución numérica */ Negrita

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‎Resolución numérica: Negrita

AlbertoRF: Texto arreglado

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Texto arreglado

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Corregidos índices

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Añadidos índices

@@ Línea 356: / Línea 356: @@
 En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=−0.3\), \(a_2=1.15\), \(b_1=0\), \(b_2=0\), \(c_1=−0.08\), \(c_2=0.09\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,15]\). Es decir, \(c_1\) es negativo (aumentando la población del animal 1) y \(c_2\) es positivo (lo cual disminuye la población del animal 2).
-[[Image:EULER21.png|560px|image|left|Método de Euler]]
+[[Image:EULER21.png|600px|image|centre|Método de Euler]]
-[[Image:HEUN21.png|550px|image|right|Método de Heun]]
+[[Image:HEUN21.png|600px|image|centre|Método de Heun]]
 Se puede ver que los coeficientes no se corresponden con la realidad puesto que el animal 1 renace, pero se trataría de parasitismo. El mayor inconveniente del método de Euler es que es menos aproximado que cualquiera de los otros métodos. Existe un máximo de \(y=50.773\) del animal 1 en \(t=3.1\) y un máximo de \(y=28.612\) del animal 2 en \(t=2\). El crecimiento del animal 1 se ve ''afectado positivamente'' por el crecimiento del animal 2, a la vez que el crecimiento del animal 2 se ve afectado negativamente por el crecimiento del animal 1. Se trata de un ecosistema no estable ya que el animal 2 desaparece y se puede apreciar que el animal 1 tiende a hacer lo mismo.
 ====Neutralismo====
@@ Línea 367: / Línea 366: @@
 En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=0.16\), \(a_2=0.25\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=0\), \(c_2=0\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,40]\). Es decir, \(c_1\) es 0 (la población del animal 1 ni aumenta ni disminuye) y \(c_2\) también (ídem).
-[[Image:EULER22.png|550px|image|left|Método de Euler]]
+[[Image:EULER22.png|600px|image|centre|Método de Euler]]
-[[Image:HEUN22.png|560px|image|right|Método de Heun]]
+[[Image:HEUN22.png|600px|image|centre|Método de Heun]]
 Puesto que \(c_1\) y \(c_2\) son \(0\), no existen interacciones entre ambas poblaciones. Se trata, pues de neutralismo, porque se elimina el término que relaciona las dos especies, el que provoca que ambas interactúen (quedando ecuaciones diferenciales de primer grado independientes). No existen máximos y mínimos, salvo en los extremos del intervalo de estudio (teorema de Weierstraß). No tiende a desaparecer ninguna especie, mientras que sí que tienden a ser estables, por tanto se puede afirmar que el crecimiento de cada una de ellas no afecta a la otra. El ecosistema es estable ya que las dos especies tienden a un número determinado.
@@ Línea 377: / Línea 376: @@
 En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=0.16\), \(a_2=0.25\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=−0.015\), \(c_2=-0.02\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,20]\). Es decir, \(c_1\) es negativo (aumentando la población del animal 1) y \(c_2\) también (es decir, también aumenta la población del animal 2).
-[[Image:EULER23.png|550px|image|left|Método de Euler]]
+[[Image:EULER23.png|600px|image|centre|Método de Euler]]
-[[Image:HEUN23.png|560px|image|right|Método de Heun]]
+[[Image:HEUN23.png|600px|image|centre|Método de Heun]]
 Se puede afirmar que se trata de una simbiosis ya que ambas especies empiezan a crecer al final del dominio de tiempo dado. Hay un mínimo de \(y=3.366\) del animal 2 en \(t=9\). Además, no tiende a desaparecer ninguna especie. Se ''afectan positivamente'' porque los coeficientes son negativos. Además, en la gráfica se ve que las dos especies crecen al final del intervalo, es decir, si se estableciera un intervalo mayor, se vería que las gráficas tienden a un determinado valor. Se confirma que es un ecosistema estable.
@@ Línea 387: / Línea 386: @@
 En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=1\), \(a_2=1\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=0.015\), \(c_2=0.02\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,20]\). Es decir, \(c_1\) es positivo (haciendo disminuir la población del animal 1) y \(c_2\) también (dicho de otra manera, también disminuye la población del animal 2).
-[[Image:EULER24.png|550px|image|left|Método de Euler]]
+[[Image:EULER24.png|600px|image|centre|Método de Euler]]
-[[Image:HEUN24.png|560px|image|right|Método de Heun]]
+[[Image:HEUN24.png|600px|image|centre|Método de Heun]]
 Es el modelo que corresponde a una competición, pues se ha visto que en una gráfica en la que no hay interacción, ambas poblaciones crecían más que en la gráfica correspondiente a la competición. Gráficamente, tomando solo como referencia la gráfica de competición, tiene aspecto de amensalismo, ya que el animal 1 perjudica el crecimiento del animal 2 sin verse afectado. El animal 2 tiene un máximo de \(t=8.576\) en \(t=1.9\). Las especies se afectan negativamente entre sí, pero tienden a estabilizarse entorno a un número, por lo que se trata de un ecosistema estable.
@@ Línea 397: / Línea 396: @@
 En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=1\), \(a_2=1\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=0\), \(c_2=0.2\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,10]\). Es decir, \(c_1\) es \(0\) (la población del animal 1 ni aumenta ni disminuye) y \(c_2\) es positivo (esto es, disminuye la población del animal 2).
-[[Image:EULER25.png|550px|image|left|Método de Euler]]
+[[Image:EULER25.png|600px|image|centre|Método de Euler]]
-[[Image:HEUN25.png|560px|image|right|Método de Heun]]
+[[Image:HEUN25.png|600px|image|centre|Método de Heun]]
 Se trata del caso de amensalismo, puesto que el animal 1 crece sin verse afectado por el animal 2, mientras que el animal 2 se ve afectado negativamente (llegando a extinguirse) por el animal 1, que tiende a estabilizarse en \(y=25\). No obstante, se trata de un ecosistema estable (aunque una de las poblaciones converja en \(0\)).
@@ Línea 407: / Línea 406: @@
 En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=1\), \(a_2=1\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=0\), \(c_2=-0.2\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,10]\). Es decir, \(c_1\) es \(0\) (la población del animal 1 ni aumenta ni disminuye) y \(c_2\) es negativo (es decir, aumenta la población del animal 2).
-[[Image:EULER26.png|550px|image|left|Método de Euler]]
+[[Image:EULER26.png|600px|image|centre|Método de Euler]]
-[[Image:HEUN26.png|560px|image|right|Método de Heun]] \
+[[Image:HEUN26.png|600px|image|centre|Método de Heun]]
 Se trata de una situación de comensalismo, debido a que el crecimiento del animal 1 no se ve afectado, mientras que el animal 2 se beneficia a costa de la otra especie, sin perjudicarlo ni beneficiarlo. Ambas especies tienden a estabilizarse, por lo que se trata de un ecosistema estable.

@@ Línea 408: / Línea 408: @@
 [[Image:EULER26.png|550px|image|left|Método de Euler]]
-[[Image:HEUN26.png|560px|image|right|Método de Heun]]
+[[Image:HEUN26.png|560px|image|right|Método de Heun]] \
 Se trata de una situación de comensalismo, debido a que el crecimiento del animal 1 no se ve afectado, mientras que el animal 2 se beneficia a costa de la otra especie, sin perjudicarlo ni beneficiarlo. Ambas especies tienden a estabilizarse, por lo que se trata de un ecosistema estable.

@@ Línea 482: / Línea 482: @@
 Se trata de una simbiosis, ya que en la parte final de la gráfica ambas especies tienden a crecer.
-[[Image:COMP3.png|1000px|image|centre|Comparativa]]
+[[Image:COMP3B.png|1000px|image|centre|Comparativa]]
 ====Competición====

@@ Línea 258: / Línea 258: @@
 La razón de crecimiento de cada especie disminuye proporcionalmente a la cantidad de interacciones entre las especies, con tasas que determinan que cada población crece de forma logística (población acotada). Este proceso se ve sintetizado mediante un modelo no lineal, conocido como '''modelo de competencia''', que responde al siguiente sistema de ecuaciones::
-<math>\left\{\begin{matrix}x’=a_1x-b_1x^2-c_1xy,\\y’=a_2x-b_2x^2-c_2xy\end{matrix}\right.</math>
+<math>\left\{\begin{matrix}x’=a_1x-b_1x^2-c_1xy,\\y’=a_2y-b_2y^2-c_2xy\end{matrix}\right.</math>
 Donde los coeficientes \(a_1\) y \(a_2\) determinan la razón de crecimiento de cada especie, \(b_1\) y \(b_2\) acotan dicho crecimiento y, en último lugar, \(c_1\) y \(c_2\) responden al tipo de interacción o situación que existe entre las dos especies.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 {{ TrabajoED | Logística con Umbral (Grupo 15-A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | • Javier Colorado Martínez (1278) <br />  • Álvaro Llera Fernández (501) <br />   • Francisco Javier Alcaraz de Amuriza (567) <br />  • Daniel Ballesteros Gálvez (1376) <br />  • Alberto Rodríguez Fernández (357) <br />  • Francisco Javier Barral González  (632) }}
 ==Introducción==
-El Problema de Valor Inicial (P.V.I.) de Logística con Umbral viene definido por la siguiente ecuación::
+El '''Problema de Valor Inicial''' (P.V.I.) de '''Logística con Umbral''' viene definido por la siguiente ecuación::
 <math>\left\{\begin{matrix}y’=-ry(1-{y\over M_1})(1-{y\over M_2}),\ \ \ \ \ t>0<br/>\\y=y_0\end{matrix}\right.</math>

@@ Línea 9: / Línea 9: @@
 ==Resolución numérica==
-A continuación, se va a proceder a modelizar la solución de dicha ecuación mediante los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4. El procedimiento por el que se ha optado ha consistido en introducir en MATLAB cada uno de los métodos con los diferentes pasos, a saber, el caso 1 con un paso de \(h=1\), el caso 2 con \(h=0.1\) y el caso 3 con \(h=0.01\) y, finalmente, obtener las gráficas asociadas.
+A continuación, se va a proceder a modelizar la solución de dicha ecuación mediante los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4. El procedimiento por el que se ha optado ha consistido en introducir en MATLAB cada uno de los métodos con los diferentes pasos, a saber, el '''caso 1''' con un paso de \(h=1\), el '''caso 2''' con \(h=0.1\) y el '''caso 3''' con \(h=0.01\) y, finalmente, obtener las gráficas asociadas.
 ===Euler===

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 [[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
 [[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
-[[Categoría:ED13/14]]
+[[Categoría:ED14/15]]
-[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
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Línea 485:		Línea 485:
	Vemos que una de las especies ve incrementada su población en proporción al número de individuos de la segunda especie, mientras ésta no se ve afectada por la primera.		Vemos que una de las especies ve incrementada su población en proporción al número de individuos de la segunda especie, mientras ésta no se ve afectada por la primera.
	[[Image:COMP6.png\|1000px\|image\|centre\|Comparativa]]		[[Image:COMP6.png\|1000px\|image\|centre\|Comparativa]]
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		+	[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
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		+	[[Categoría:ED13/14]]
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