La Catenaria (Grupo 7) - Historial de revisiones

Juan Cuesta en 13:20 7 dic 2025

2025-12-07T13:20:46Z

Juan Cuesta: /* Distribución de la densidad */

2025-12-07T13:12:35Z

‎Distribución de la densidad

Juan Cuesta: /* Distribución de la densidad */

2025-12-07T13:07:53Z

‎Distribución de la densidad

Juan Cuesta: /* Distribución de la densidad */

2025-12-07T12:58:39Z

‎Distribución de la densidad

Juan Cuesta: /* Ejemplos en ingeniería civil */

2025-12-05T16:35:02Z

‎Ejemplos en ingeniería civil

Juan Cuesta: /* Ejemplos en ingeniería civil */

2025-12-05T11:25:46Z

‎Ejemplos en ingeniería civil

Juan Cuesta: /* Arcos con forma de catenaria invertida */

2025-12-05T11:14:43Z

‎Arcos con forma de catenaria invertida

Juan Cuesta: /* Semejanzas catenaria y parábola */

2025-12-05T11:08:34Z

‎Semejanzas catenaria y parábola

Juan Cuesta: /* Semejanzas catenaria y parábola */

2025-12-04T19:23:39Z

‎Semejanzas catenaria y parábola

Juan Cuesta: /* Semejanzas catenaria y parábola */

2025-12-04T19:23:19Z

‎Semejanzas catenaria y parábola

@@ Línea 4: / Línea 4: @@
 La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. <br/>
 El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. <br/>
 <center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
 =Dibujo de la curva=

← Revisión anterior		Revisión del 13:12 7 dic 2025
Línea 426:		Línea 426:

	Sustituyendo las coordenadas de la superficie <math>(x_3 = t ; x_1^2 + x_2^2 = r(t)^2):\rho(t) = \frac{t^2}{1 + (A \cosh(t/A))^2}</math>		Sustituyendo las coordenadas de la superficie <math>(x_3 = t ; x_1^2 + x_2^2 = r(t)^2):\rho(t) = \frac{t^2}{1 + (A \cosh(t/A))^2}</math>
		+
		+	Resolviendo la integral con matlab, la masa da un resultado de(Método Rectángulo con N=5000): <math>1.26465 unidades</math>

	[[Archivo:apto11.jpg\|550 px\|miniaturadeimagen\|\|right\|<font color="000000">'''Representación de la función de densidad'''</font> <br />]]		[[Archivo:apto11.jpg\|550 px\|miniaturadeimagen\|\|right\|<font color="000000">'''Representación de la función de densidad'''</font> <br />]]

← Revisión anterior		Revisión del 13:07 7 dic 2025
Línea 426:		Línea 426:

	Sustituyendo las coordenadas de la superficie <math>(x_3 = t ; x_1^2 + x_2^2 = r(t)^2):\rho(t) = \frac{t^2}{1 + (A \cosh(t/A))^2}</math>		Sustituyendo las coordenadas de la superficie <math>(x_3 = t ; x_1^2 + x_2^2 = r(t)^2):\rho(t) = \frac{t^2}{1 + (A \cosh(t/A))^2}</math>
		+
		+	[[Archivo:apto11.jpg\|550 px\|miniaturadeimagen\|\|right\|<font color="000000">'''Representación de la función de densidad'''</font> <br />]]

	{{matlab\|codigo=		{{matlab\|codigo=

@@ Línea 425: / Línea 425: @@
 <center>'''<math>dS=\rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>'''</center>
-En nuestro caso <math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
+Sustituyendo las coordenadas de la superficie <math>(x_3 = t ; x_1^2 + x_2^2 = r(t)^2):\rho(t) = \frac{t^2}{1 + (A \cosh(t/A))^2}</math>
-<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>
-Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
+{{matlab|codigo=
-<center>'''<math>dS=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta'''</center>
-= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>
-Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
+%% --- Trabajo H: Apartado 11 (Cálculo de Masa con Densidad Variable) ---
-<center>'''<math>\sigma(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{|x_3|}{1+x_1^{2}+x_2^{2}}.</math>'''</center>
+clear; clc;
-Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
+% 1. Parámetros
-<math>x_1^{2}+x_2^{2}=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x_3=z(t)=t,</math>
+A = 3;
-y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
+t_min = -1;
-<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>
+t_max = 1;
-La masa total de la superficie es
+% 2. Definición de funciones (usando handles anónimos)
-<math>
+% Radio al cuadrado: x1^2 + x2^2 = (A cosh(t/A))^2
-M = \iint\_S \sigma\,dS
+r_sq = @(t) (A * cosh(t./A)).^2;
-= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
-\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
-A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
-</math>
-Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
+% Función de Densidad: f = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
-<math>
+% Sustituyendo: x3 = t
-M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
+rho_func = @(t) (t.^2) ./ (1 + r_sq(t));
-\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
-{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
-</math>
-Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
+% Diferencial de Superficie
-<math>
+% dS_t = A * cosh^2(t/A)
-M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
+dS_t_func = @(t) A .* (cosh(t./A)).^2;
-\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
-{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
-</math>
-Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave. Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente: <math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.
+% 3. Integración Numérica (Método del Rectángulo)
-sigma = @(t,theta) abs(t)./(1 + (A*cosh(t./A)).^2);
+% 6. Gráfica de la distribución de densidad
-dS    = @(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;
+figure('Name', 'Distribución de Densidad', 'Color', 'w');
-integrando = @(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);
+}}
 [[Categoría:Teoría de Campos]]
 [[Categoría:TC25/26]]

@@ Línea 299: / Línea 299: @@
 ==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
-Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos.En la obra de Gaudí hay muchos ejemplos del uso de arcos catenarios, destacando los del Colegio de las Teresianas (1889-90), la casa Batlló (1904-06), la casa Milá (1906-10) o la cripta de la colonia Güell (1908-15).
+Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y diversas obras de Antoni Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos.En la obra de Gaudí hay muchos ejemplos del uso de arcos catenarios, destacando los del Colegio de las Teresianas (1889-90), la casa Batlló (1904-06), la casa Milá (1906-10) o la cripta de la colonia Güell (1908-15).
 Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.

@@ Línea 303: / Línea 303: @@
 Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
 <gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
-File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
+File:ColegioTeresianas.jpg|Colegio de las Teresianas.
 <gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
 <gallery class="center" heights="250px" widths="350px">

@@ Línea 311: / Línea 311: @@
 La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
-El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.
+El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. La mayor diferencia entre las curvas corresponde a sus respectivas
 == Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==

@@ Línea 310: / Línea 310: @@
 =Semejanzas catenaria y parábola=
 La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
-Justificación matemática.
 El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.