Estudio de campos escalares y vectoriales - Historial de revisiones

Emilio Valero: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\rho y al vector \vec g_\theta/\rho */

2015-12-09T19:18:58Z

‎Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\rho y al vector \vec g_\theta/\rho

Emilio Valero: /* Tendencia a la rotación */

2015-12-09T18:57:14Z

‎Tendencia a la rotación

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Emilio Valero: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\rho y al vector \vec g_\theta/\rho */

2015-12-09T17:47:00Z

‎Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\rho y al vector \vec g_\theta/\rho

Emilio Valero: /* Tensiones originadas */

2015-12-05T00:22:57Z

‎Tensiones originadas

Emilio Valero: /* Campo de los desplazamientos \vec u */

2015-12-05T00:21:10Z

‎Campo de los desplazamientos \vec u

Emilio Valero: /* Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes \vec g_\rho y \vec g_\theta/\rho */

2015-12-05T00:18:07Z

‎Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes \vec g_\rho y \vec g_\theta/\rho

Emilio Valero: /* Tensión de Von Mises */

2015-12-04T23:37:43Z

‎Tensión de Von Mises

Emilio Valero: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\rho y al vector \vec g_\theta/\rho */

2015-12-04T23:18:34Z

‎Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\rho y al vector \vec g_\theta/\rho

Emilio Valero: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\rho */

2015-12-04T23:10:16Z

‎Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\rho

Emilio Valero: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\theta/\rho */

2015-12-04T23:05:11Z

‎Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\theta/\rho

@@ Línea 264: / Línea 264: @@
 %Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
 figure(2)
-tauuno=(pi/10.*rho).*cos((2.*pi.*rho./3)-pi/3)-3/20.*sin((2.*pi.*rho./3)-pi/3);
+tauuno=(pi/10.*rho).*cos((2.*pi.*rho./3)-pi/3)-3/20.*rho.*sin((2.*pi.*rho./3)-pi/3);
 surf(xx,yy,tauuno)
 axis tight

@@ Línea 201: / Línea 201: @@
 yy=rho.*sin(theta);
 % Rotacional
-rot = rho.*(pi/5).*cos((4.*rho./3)-2*pi/3);
+rot =3./(20.*rho).*sin((2.*pi.*rho./3)-pi/3)+((pi/10).*cos((2.*pi.*rho./3)-pi/3));
 surf(xx, yy, rot)
 title('Rotacional ')

@@ Línea 242: / Línea 242: @@
 ==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> y al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
 Se calculan las tensiones tangenciales analíticamente y se dibujan como se ha hecho anteriormente
-[[Archivo:tensionestan1g23.jpg|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
+[[Archivo:tensionestan1g23.jpg|400px|thumb|right|Representación de las tensiones tangenciales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
-[[Archivo:tensionestan2g23.jpg|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
+[[Archivo:tensionestan2g23.jpg|400px|thumb|right|Representación de las tensiones tangenciales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 {{matlab|codigo=
 %Paso de muestreo

@@ Línea 209: / Línea 209: @@
 En un medio elástico lineal e isótropo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
 <math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
-donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y  <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\  0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
+donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y  <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
 ====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
 La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que  aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=0</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho=0</math>

@@ Línea 102: / Línea 102: @@
 ==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
-A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir  hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\  0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
+A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la  función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición.
-===Desplazamiento de la placa===
 [[Archivo:campo_desplg23.jpg|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]

@@ Línea 212: / Línea 212: @@
 donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y  <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\  0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
 ====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
-La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que  aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera  <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
+La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que  aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=0</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho=0</math>
 [[Archivo:tensiones1g23.jpg|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
 [[Archivo:tensiones1g23.jpg|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]

@@ Línea 279: / Línea 279: @@
 u=1:h:2;
 %valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
-v=0:h:2*pi+h;
+v=0:h:pi;
 %Matrices de las componentes polares de la placa
 [ro, theta]=meshgrid(u,v);
@@ Línea 289: / Línea 289: @@
 x=1;
 for rho=1:0.1:2
-     A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
+     A=[0,(pi/10).*cos((2.*pi.*rho./3)-pi/3)-3/20.*sin((2.*pi.*rho./3)-pi/3);2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0];
      [X,D]=eig(A);
      t=diag(D);
@@ Línea 296: / Línea 296: @@
 end
 % Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
-a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
+a=V(1,:); b=V(2,:); c=0;
 %Tensión de Von Mises
 VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
@@ Línea 314: / Línea 314: @@
 plot(u,a,'r')
 plot(u,b,'g')
 plot(u,VM,'k')
-legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
+legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
 hold off
 }}

@@ Línea 259: / Línea 259: @@
 figure(1)
 %Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
-sigmaunouno=0.*xx;
+tauuno=(pi/10).*cos((2.*pi.*rho./3)-pi/3)-3/20.*sin((2.*pi.*rho./3)-pi/3);
-surf(xx,yy,sigmaunouno)
+surf(xx,yy,tauuno)
 axis tight
 colorbar
 %Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
 figure(2)
-sigmadosdos=0.*xx;
+tauuno=(pi/10.*rho).*cos((2.*pi.*rho./3)-pi/3)-3/20.*sin((2.*pi.*rho./3)-pi/3);
-surf(xx,yy,sigmadosdos)
+surf(xx,yy,tauuno)
 axis tight
 colorbar

@@ Línea 270: / Línea 270: @@
 colorbar
 }}
 ====Tensión de Von Mises====