Enunciado del trabajo 6 - Historial de revisiones

Carlos Castro en 08:28 22 nov 2013

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Carlos Castro: Página creada con «'''Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.''' Mallado de un canal entre con frontera recta Vamos a consid...»

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'''Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.'''

[[Archivo:Mallado4.jpg|300px|thumb|right|Mallado de un canal entre con frontera recta]]

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Se pide:
#Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupado por un fluido. Fijar los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math> (ver figura).
# La velocidad de las partículas del fluido viene dada por <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math> y su presión <math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>, donde <math>p_1</math> es la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math>p_2</math> la presión en los puntos x=2 y <math>\mu </math> el coeficiente de viscosidad del fluido. Comprobar que <math>(\vec u,p)</math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
junto con la condición de incompresibilidad (el flujo no se expande ni se contrae):
<math>
\nabla \cdot \vec u =0
</math>
Además, comprobar que la velocidad del fluido en las paredes y=0,1 es nula.
# Suponiendo que <math>p_1=2</math>, <math>p_1=1</math> y <math>\mu=1</math>. Dibujar el campo de presiones y el campo de velocidades.
# Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo <math>\vec u</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec u</math> en cada punto. Para ello calculamos el campo <math>\vec v</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec u</math> (tomar <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math>). Observar que <math>\vec v</math> es irrotacional (por ser <math>\vec u</math> de divergencia nula) y tiene un potencial escalar <math>\psi</math> que se conoce como función de corriente de <math>\vec u </math>. Calcular <math>\psi</math> y dibujar las líneas <math>\psi=cte</math>. Comprobar que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec u</math>.
# En qué puntos la velocidad del fluido es máxima?
# Calcular el rotacional de <math>\vec u</math> y dibujar el campo <math>|\nabla \times \vec u|</math>. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional? ¿Es razonable?
# Supongamos que la temperatura del fluido viene dada por el campo <math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>. Dibujar el campo de temperaturas.
# Dibujar el gradiente de la temperatura. Comprobar gráficamente que el gradiente de temperaturas es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

@@ Línea 5: / Línea 5: @@
 Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Se pide:
 #Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupado por un fluido. Fijar los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math> (ver figura).
-# La velocidad de las partículas del fluido viene dada por <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math> y su presión <math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>, donde <math>p_1</math> es la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math>p_2</math> la presión en los puntos x=2 y <math>\mu </math> el coeficiente de viscosidad del fluido.  Comprobar que <math>(\vec u,p)</math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
+# La velocidad de las partículas del fluido viene dada por <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math> y su presión <math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>, donde <math>p_1</math> es la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math>p_2</math> la presión en los puntos x=2 y <math>\mu </math> el coeficiente de viscosidad del fluido.  Comprobar que <math>(\vec u,p)</math> satisface la [http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations ecuación de Navier-Stokes] estacionaria:
 <math>
 \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,

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 </math>
 Además, comprobar que la velocidad del fluido en las paredes y=0,1 es nula.
-# Suponiendo que <math>p_1=2</math>, <math>p_1=1</math> y <math>\mu=1</math>. Dibujar el campo de presiones y el campo de velocidades.
+# Suponiendo que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Dibujar el campo de presiones y el campo de velocidades.
 # Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo <math>\vec u</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec u</math> en cada punto. Para ello calculamos el campo <math>\vec v</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec u</math> (tomar <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math>). Observar que <math>\vec v</math> es irrotacional (por ser <math>\vec u</math> de divergencia nula) y tiene un potencial escalar <math>\psi</math> que se conoce como función de corriente de <math>\vec u </math>. Calcular <math>\psi</math> y dibujar las líneas <math>\psi=cte</math>.  Comprobar que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec u</math>.
 # En qué puntos la velocidad del fluido es máxima?

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 '''Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.'''
-[[Archivo:Mallado4.jpg|300px|thumb|right|Mallado de un canal entre con frontera recta]]
+[[Archivo:Mallado4.jpg|300px|thumb|right|Mallado de un canal con bordes rectos]]
 Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Se pide: