Enunciado del trabajo 3 - Historial de revisiones

Carlos Castro en 10:25 3 dic 2013

2013-12-03T10:25:44Z

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Carlos Castro en 08:40 22 nov 2013

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Carlos Castro en 08:39 22 nov 2013

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Carlos Castro en 08:38 22 nov 2013

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Carlos Castro en 22:06 21 nov 2013

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Carlos Castro: Página creada con «'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.''' Mallado de una placa en forma de anillo Consideramos un...»

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'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

[[Archivo:Mallado2.jpg|300px|thumb|right|Mallado de una placa en forma de anillo]]

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(\rho,\theta,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos que:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>

Se pide:
# Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo <math>h=1/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
# La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>. Dibujarla.
# Calcular <math>\nabla T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que <math>\nabla T</math> es ortogonal a dichas curvas.
# Consideramos ahora el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}\vec i</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
# Si <math>\vec u</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
# Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
# Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
# Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta</math>, es decir <math>\vec g_\theta \cdot \sigma \cdot \vec \theta</math>.
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta-(\vec g_\theta \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta) \vec g_\theta|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

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 \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
 </math>
-donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección  <math>\vec g_\theta</math>, es decir <math>\vec g_\theta \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta</math>.
+donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>.
 # Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
-# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta-(\vec g_\theta \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta) \vec g_\theta|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.
+# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.
 [[Categoría:Teoría de Campos]]

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 # Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
 # Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
-# Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformacines]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
+# Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
 <math>
 \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},

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 \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
 </math>
-Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por:
+Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
 <math>
 \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.

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 </math>
 Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
 <math>
 \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.

@@ Línea 24: / Línea 24: @@
 # La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>. Dibujarla.
 # Calcular <math>\nabla T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que <math>\nabla T</math> es ortogonal a dichas curvas.
-# Consideramos ahora el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}\vec i</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
+# Consideramos ahora el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 # Si <math>\vec u</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
 # Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.