El Problema de Merton - Historial de revisiones

Alex Heredero en 13:40 12 jun 2026

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Alex Heredero en 14:54 11 jun 2026

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Alex Heredero en 14:53 11 jun 2026

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Alex Heredero en 14:52 11 jun 2026

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Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Alex Heredero en 14:49 11 jun 2026

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Alex Heredero en 14:48 11 jun 2026

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Alex Heredero en 14:45 11 jun 2026

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Alex Heredero en 14:45 11 jun 2026

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Alex Heredero en 14:44 11 jun 2026

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Alex Heredero en 14:38 11 jun 2026

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		+	Álex Heredero Santamaría
		+
	=. Introducción=		=. Introducción=
	El problema de Merton constituye uno de los modelos fundamentales de la teoría de control óptimo aplicada a las finanzas. Fue formulado y resuelto por Robert C. Merton en 1969, y estudia cómo un agente racional debe distribuir dinámicamente su riqueza entre distintos activos financieros con el objetivo de maximizar la utilidad esperada de su riqueza y/o consumo a lo largo del tiempo.		El problema de Merton constituye uno de los modelos fundamentales de la teoría de control óptimo aplicada a las finanzas. Fue formulado y resuelto por Robert C. Merton en 1969, y estudia cómo un agente racional debe distribuir dinámicamente su riqueza entre distintos activos financieros con el objetivo de maximizar la utilidad esperada de su riqueza y/o consumo a lo largo del tiempo.

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 </math></center>
-Donde <math>\mu</math> es el retorno medio esperado de la acción <math>S</math>, <math>r</math> es la tasa de interés compuesta que nos ofrece el banco y <math>\sigma</math> es la volatilidad de la acción <math>S</math>, que suponemos constante como hipótesis. Vamos a analizar, para cada una de las ecuaciones, de donde salen la parte tanto determinista  como la estocástica.
+Donde <math>\mu</math> es el retorno medio esperado de la acción <math>S</math>, <math>r</math> es la tasa de interés compuesta que nos ofrece el banco y <math>\sigma</math> es la volatilidad de la acción <math>S</math>, que suponemos constante como hipótesis.
 =. Solución del problema =

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 =. Solución del problema =
-Una vez planteado el problema, buscamos determinar la estrategia óptima <math>\pi^*</math> que maximice la utilidad esperada de la riqueza final. Para ello, definimos la función de valor relativa <math>H^\pi(t, x, S)</math> como la utilidad esperada utilizando la estrategia $\pi$ partiendo del tiempo <math>t</math>:
+Una vez planteado el problema, buscamos determinar la estrategia óptima <math>\pi^*</math> que maximice la utilidad esperada de la riqueza final. Para ello, definimos la función de valor relativa <math>H^\pi(t, x, S)</math> como la utilidad esperada utilizando la estrategia <math>\pi</math> partiendo del tiempo <math>t</math>:
 <center><math>

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 <center><math>
-    \mu(t,x,S) &= \begin{bmatrix}
+\mu(t,x,S) = \left[ \begin{array}{c} \pi_t(\mu-r)+rx \\ (\mu-r)S \\ \kappa(\theta-\sigma) \end{array} \right],\; \bar{\sigma}(t,x,S)= \left[ \begin{array}{cc} \sqrt{\sigma} \pi_t & 0 \\ \sqrt{\sigma} S & 0 \\ 0 & \xi\sqrt{\sigma} \end{array} \right],
-           \pi_t(\mu-r)+rx \\
+</math></center>
-           (\mu-r)S \\
-           \kappa(\theta-\sigma)\\
-         \end{bmatrix},\; \bar{\sigma}(t,x,S)=
-        \begin{bmatrix}
-           \sqrt\sigma \pi_t &0\\
-           \sqrt\sigma S &0\\
-&\xi\sqrt{\sigma}\\
-         \end{bmatrix},
-</center></math>
 donde aquí tenemos que la matriz <math>\bar{\sigma}</math> es <math>3\times2</math> puesto que los movimientos Brownianos <math>W_t^1</math> y <math>W_t^2</math> son independientes. Luego, tenemos:

@@ Línea 42: / Línea 42: @@
 donde el término que acompaña a <math>dt</math> representa la parte determinista del movimiento (drift), mientras que el término que acompaña a <math>dW_t</math> representa la parte aleatoria o de difusión, gobernada por un movimiento Browniano <math>W=\{W_t\}</math>.
-\bigskip
 En el problema de Merton, los valores de <math>X_t</math> y <math>S_t</math> siguen las siguientes dinámicas:
@@ Línea 87: / Línea 87: @@
      h(t,x)=-\alpha(t)e^{-\gamma x\beta(t)},  \alpha(t)=e^{-\frac{\lambda}{2\sigma}(T-t)},\;\beta(t)=e^{r(T-t)}, \pi^*(t)=\frac{\lambda}{\gamma \sigma}e^{-r(T-t)}.
 </math></center>
-\bigskip
@@ Línea 142: / Línea 142: @@
 En el modelo anterior del problema de Merton se hace la suposición de que la varianza <math>\sigma</math> se mantenía constante a lo largo del tiempo. A continuación, vamos a estudiar que pasa si tenemos una varianza que no es constante.
-\bigskip
 Vamos a suponer que la varianza es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck, es decir, que sigue la siguiente EDE:
@@ Línea 152: / Línea 152: @@
 Este proceso se suele escoger en finanzas para modelizar la volatilidad debido a que tiene la propiedad de `reversión a la media'; es decir, cuanto más se aleja de la media, más posibilidades tiene de volver. Se puede pensar como un caminante aleatorio que, cuanto más dista del origen, más atraído está a volver. Esto tiene interés financiero, ya que la volatilidad en economía suele subir durante las crisis o en tiempos de incertidumbre, pero siempre acaba estabilizándose o volviendo a valores más moderados. En la EDE anterior, <math>\beta</math> representa la velocidad de reversión a la media y <math>\delta</math> representa la varianza del proceso.
-\bigskip
 A continuación, podemos aplicar la fórmula de Itô para <math>Y_t=f(\sigma_t)=\sigma^2_t</math> y obtenemos la siguiente EDE en términos de <math>\sigma_t</math>:

@@ Línea 236: / Línea 236: @@
 =. Referencias =
-* Amin Moosaie. Non-Fourier heat conduction in a finite medium with insulated boundaries and arbitrary initial conditions ([https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0735193307001637 [1<nowiki>]</nowiki>]).
+* Á. Cartea, S. Jaimungal y J. Penalva. Algorithmic and High-Frequency Trading. Cambridge University Press, 2015.
 [[Categoría:Trabajos fin de Grado, Máster y PAE del GeM y MUMAv]]

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 <center>
-[[Archivo:ResiduosEcuacionHJBAproximada.png|200px]]
+[[Archivo:ResiduosEcuacionHJBAproximada.png|500px]]
 </center>
 y si variamos <math>\varepsilon</math> obtenemos como órdenes de convergencia:
 <center>
-[[Archivo:ResiduoEcuacionHJBAproximadaLOG.png|200px]]
+[[Archivo:ResiduoEcuacionHJBAproximadaLOG.png|500px]]
 </center>
 donde vemos que los residuos convergen más o menos con orden <math>O(\varepsilon)</math>, salvo para valores de <math>\varepsilon<10^{-3}</math>. La causa de esto es la inestabilidad numérica de la ecuación original para diferencias finitas. Finalmente, podemos ver cómo afecta la variación <math>\delta h</math> a la cantidad de dinero invertida en acciones <math>\pi</math>, calculando  el valor <math>\pi^\varepsilon</math> asociado a <math>h=h^*+\varepsilon\delta h</math> y comparándolo con <math>\pi^*</math> (asociado a <math>h^*</math>), obteniendo <math>\Delta \pi =\pi ^\varepsilon-\pi^*</math>. Obtenemos los siguientes resultados para distintos valores de tiempo y distintos valores de <math>\varepsilon</math> (recordatorio: <math>\pi^*</math> era constante respecto a <math>x</math>):
 <center>
-[[Archivo:PerturbacionEcuacionHJBAproximada.png|200px]]
+[[Archivo:PerturbacionEcuacionHJBAproximada.png|500px]]
 </center>
 =.Líneas futuras=

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 donde establecemos condiciones de frontera <math>\delta h(0,t)=0=\delta h(x_{max},t)</math> y condición terminal <math>\delta h(x,T)=\delta U(x)</math>. Es decir, estamos tomando el problema original con condición terminal <math>U(x)</math> y añadiéndole una ligera variación <math>\delta U(x)</math> a la condición terminal. En nuestro caso, consideraremos como variación a la función de utilidad exponencial una función bump <math>e^{-x^2}</math>, y tomaremos distintos valores de <math>\varepsilon</math>, desde <math>10^{-1}</math> hasta <math>10^{-3}</math>.
 Para resolver la ecuación de <math>\delta h</math> numéricamente, utilizaremos diferencias finitas fijando las constantes <math>r</math>=0.05, <math>\sigma </math>=0.5, <math>\lambda </math>=1, <math>T</math>=1, <math>x_{max}</math>=10 y tomando una partición de <math>x</math> de longitud <math>h_x=</math>0.05 y de <math>t</math> de longitud <math>h_t=</math>0.002.
@@ Línea 132: / Línea 126: @@
 Lo primero que hacemos es comprobar que <math>F(h)=F(h^*+\varepsilon \delta h)\xrightarrow{\varepsilon\rightarrow 0}  0</math> con orden de convergencia <math>O(\varepsilon)</math>. Para ello, sumamos la solución exacta <math>h^*</math> y la solución aproximada <math>\delta h</math> y sustituimos <math>h=h^*+\delta h</math> en la ecuación mediante diferencias finitas. Si llamamos residuo al resultado de <math>F(h)=F(h^*+\varepsilon\delta h)</math>, para <math>\varepsilon=10^{-3}</math> tenemos como resultado:
-\begin{figure}[H]
+[[Archivo:ResiduosEcuacionHJBAproximada.png]]
-    \centering    \includegraphics[width=0.6\linewidth]{residuo.png}
-    \caption*{}
-    \label{fig:CondicionesInicalesl}
-\end{figure}
-y si variamos <math>\varepsilon</math> obtenemos como órdenes de convergencia:
+[[Archivo:ResiduoEcuacionHJBAproximadaLOG.png]]
 donde vemos que los residuos convergen más o menos con orden <math>O(\varepsilon)</math>, salvo para valores de <math>\varepsilon<10^{-3}</math>. La causa de esto es la inestabilidad numérica de la ecuación original para diferencias finitas. Finalmente, podemos ver cómo afecta la variación <math>\delta h</math> a la cantidad de dinero invertida en acciones <math>\pi</math>, calculando  el valor <math>\pi^\varepsilon</math> asociado a <math>h=h^*+\varepsilon\delta h</math> y comparándolo con <math>\pi^*</math> (asociado a <math>h^*</math>), obteniendo <math>\Delta \pi =\pi ^\varepsilon-\pi^*</math>. Obtenemos los siguientes resultados para distintos valores de tiempo y distintos valores de <math>\varepsilon</math> (recordatorio: <math>\pi^*</math> era constante respecto a <math>x</math>):
-\begin{figure}[H]
+[[Archivo:PerturbacionEcuacionHJBAproximada.png]]
-    \centering    \includegraphics[width=1\linewidth]{perturbacion.png}
-    \caption*{}
-    \label{fig:CondicionesInicalesl}
-\end{figure}
 =.Líneas futuras=

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	\bigskip		\bigskip

−	donde <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> son funciones que dependen únicamente del tiempo. Si sustituimos esta solución en la EDP obtenemos la siguiente ecuación sacando factor común de <math>e^{-\gamma\beta x}</math>:
−
−	~~<center><math>~~
−	~~(\alpha'-\frac{\lambda}{2\sigma}\alpha)-\gamma(\beta'+r\beta)\alpha x=0.~~
−	~~</math></center>~~
−
−	~~Tiene que ser <math>0</math> para todo <math>t</math> y para todo <math>x</math>, luego obtenemos dos EDOs con condiciones iniciales <math>\alpha(T)=\beta(T)=1</math> que resolvemos para obtener:~~
−
−	~~<center><math>~~
−	~~\alpha(t)=e^{-\frac{\lambda}{2\sigma}(T-t)},\;\beta(t)=e^{r(T-t)}.~~
−	~~</math></center>~~
−
−	Finalmente, sustituyendo esto de vuelta para la ecuación <math>\pi^*=-\frac{\lambda}{\sigma}(\frac{\partial_xh}{\partial_{xx}h})</math>, nos queda que la cantidad óptima para invertir in la acción con riesgo es:
−
−	~~<center><math>~~
−	~~\pi^*(t)=\frac{\lambda}{\gamma \sigma}e^{-r(T-t)}.~~
−	~~</math></center>~~
−
−	~~==. Función de utilidad exponencial ==~~
−
−	Vamos a resolver la EDP no lineal en el caso en el que tenemos función de utilidad exponencial <math>U(x)=-e^{-\gamma x}</math> (al final de la sección se explica la importancia de esta función en finanzas)
−	~~con <math>\gamma>0</math>, asumiendo que la solución es de la forma:~~
−
−	~~<center><math>~~
−	~~h(t,x)=-\alpha(t)e^{-\gamma x\beta(t)},~~
−	~~</math></center>~~
−	~~\bigskip~~
−
−	donde <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> son funciones que dependen únicamente del tiempo. Si sustituimos esta solución en la EDP obtenemos la siguiente ecuación sacando factor común de <math>e^{-\gamma\beta x}</math>:
−
−	~~<center><math>~~
−	~~(\alpha'-\frac{\lambda}{2\sigma}\alpha)-\gamma(\beta'+r\beta)\alpha x=0.~~
−	~~</math></center>~~
−
−	~~Tiene que ser <math>0</math> para todo <math>t</math> y para todo <math>x</math>, luego obtenemos dos EDOs con condiciones iniciales <math>\alpha(T)=\beta(T)=1</math> que resolvemos para obtener:~~
−
−	~~<center><math>~~
−	~~\alpha(t)=e^{-\frac{\lambda}{2\sigma}(T-t)},\;\beta(t)=e^{r(T-t)}.~~
−	~~</math></center>~~
−
−	Finalmente, sustituyendo esto de vuelta para la ecuación <math>\pi^*=-\frac{\lambda}{\sigma}(\frac{\partial_xh}{\partial_{xx}h})</math>, nos queda que la cantidad óptima para invertir en la acción con riesgo es:
−
−	~~<center><math>~~
−	~~\pi^*(t)=\frac{\lambda}{\gamma \sigma}e^{-r(T-t)}.~~
−	~~</math></center>~~

	==. Análisis de sensibilidad ==		==. Análisis de sensibilidad ==