Ecuaciones de Laplace y de Poisson - Historial de revisiones

Aitana Guill Beltrán: /* Ecuación de Laplace */

2024-04-19T21:21:39Z

‎Ecuación de Laplace

Andrea Navarro en 19:15 19 abr 2024

2024-04-19T19:15:13Z

Andrea Navarro: /* Comportamiento de la solución */

2024-04-19T19:11:43Z

‎Comportamiento de la solución

Andrea Navarro: /* Comportamiento de la solución */

2024-04-19T19:00:13Z

‎Comportamiento de la solución

Andrea Navarro: /* Comportamiento de la solución */

2024-04-19T18:54:23Z

‎Comportamiento de la solución

Andrea Navarro: /* Comportamiento de la solución */

2024-04-19T18:53:14Z

‎Comportamiento de la solución

Andrea Navarro: /* Comportamiento de la solución */

2024-04-19T18:45:03Z

‎Comportamiento de la solución

Andrea Navarro: /* Comportamiento de la solución */

2024-04-19T18:30:52Z

‎Comportamiento de la solución

Andrea Navarro: /* Errores de la fórmula de Poisson */

2024-04-19T18:22:56Z

‎Errores de la fórmula de Poisson

Andrea Navarro: /* Errores de la fórmula de Poisson */

2024-04-19T18:18:39Z

‎Errores de la fórmula de Poisson

@@ Línea 5: / Línea 5: @@
 == Ecuación de Laplace ==
-La ecuación de Laplace, cuyo nombre nombre honra al distinguido físico-matemático Pierre-Simon Laplace, es una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico. REFERENCIA?
+La ecuación de Laplace, cuyo nombre nombre honra al distinguido físico-matemático Pierre-Simon Laplace, es una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico.
 Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es,
 <center><math> \Delta u = 0 </math></center>

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 == Introducción ==
 En este documento, nos centraremos en dos ecuaciones que tienen un amplio uso en diversos ámbitos como electrostática, mecánica de fluidos, física teórica y magnetostática: la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson.
 Ambas ecuaciones las estudiaremos en el plano y las veremos aplicadas en problemas concretos. Veremos las limitaciones que presenta la fórumla de Poisson así como diferentes métodos analíticos para aproximar soluciones, y raíz de esto, analizaremos errores de aproximación. Por último, estudiaremos el comportamiento de soluciones tanto en un dominio dado, utilizando la desigualdad de Harnack, como asintóticamente en infinito.
 == Ecuación de Laplace ==
@@ Línea 673: / Línea 672: @@
 Tal y como se ve, se observa que el comportamiento es el esperado.

@@ Línea 440: / Línea 440: @@
 La '''desigualdad de Harnack''' establece: Sea <math>u</math> armónica y <math>0\leq u</math> en <math>\Omega \in \mathbb{R}^n</math>. Supongamos <math>\overline{B_{R}(z)}\subset \Omega</math>. Entonces:
-<center><math> \frac{R^{n-2} (R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z)\leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}  (R+r)}{(R-r)^{n-1}}u(z), \forall x \in B_{R}(z), r=||z-x||.</math></center>
+<center><math> \frac{R^{n-2} (R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z)\leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}  (R+r)}{(R-r)^{n-1}}u(z), \forall x \in B_{R}(z).</math></center>
 Para proceder al estudio planteado, comenzamos calculando el mínimo de la función <math>g(x,y)=xy</math> en la frontera de la bola <math>B_R</math> al que llamaremos <math>M</math>. Para facilitar los cálculos de aquí en adelante trabajaremos en coordenadas polares, por lo que nuestra función <math>g(x,y)=xy</math> pasa a ser <math>g(\theta)=R^2cos(\theta)sin(\theta)</math>, siendo <math>R</math> el radio de la bola. Para el cálculo del mínimo se ha empleado un código de Matlab presentado al final de esta sección.
@@ Línea 452: / Línea 452: @@
 Las desigualdades de Harnack establecen límites uniformes para todas las soluciones armónicas dentro de una bola, independientemente de su radio. Sin embargo, el valor específico de estas soluciones en un punto dado, como <math>v(0,0)</math>, varía con el tamaño de la bola, lo que sugiere una especie de traslación en la región donde las soluciones armónicas son iguales a <math>v</math> en el punto <math>(0,0)</math>. A medida que aumenta el radio de la bola, tanto las cotas superior e inferior aumentan en amplitud, pero la región cubierta por estas cotas se estrecha. Este fenómeno indica que, aunque la estructura de las cotas permanece constante, el rango de valores en el que pueden variar las soluciones armónicas se reduce a medida que la bola crece en tamaño.
 == Ecuación de Poisson ==

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Línea 450:		Línea 450:

	[[Archivo: harnack_ejercicio4_n2.png\|600px\|thumb\|center\|Desigualdad de Harnack en <math>R^2</math>]]		[[Archivo: harnack_ejercicio4_n2.png\|600px\|thumb\|center\|Desigualdad de Harnack en <math>R^2</math>]]
		+
		+	Las desigualdades de Harnack establecen límites uniformes para todas las soluciones armónicas dentro de una bola, independientemente de su radio. Sin embargo, el valor específico de estas soluciones en un punto dado, como <math>v(0,0)</math>, varía con el tamaño de la bola, lo que sugiere una especie de traslación en la región donde las soluciones armónicas son iguales a <math>v</math> en el punto <math>(0,0)</math>. A medida que aumenta el radio de la bola, tanto las cotas superior e inferior aumentan en amplitud, pero la región cubierta por estas cotas se estrecha. Este fenómeno indica que, aunque la estructura de las cotas permanece constante, el rango de valores en el que pueden variar las soluciones armónicas se reduce a medida que la bola crece en tamaño.

	== Ecuación de Poisson ==		== Ecuación de Poisson ==

@@ Línea 449: / Línea 449: @@
 Representando gráficamente las cotas planteadas, obtenemos las siguientes gráficas:
-[[Archivo: harnack_ejercicio4_n2.png|400px|thumb|center|Desigualdad de Harnack en <math>R^2</math>]]
+[[Archivo: harnack_ejercicio4_n2.png|600px|thumb|center|Desigualdad de Harnack en <math>R^2</math>]]
 == Ecuación de Poisson ==

@@ Línea 445: / Línea 445: @@
 A continuación, definimos la función <math>v:=u-M </math> , siendo u nuestra solución del problema. Esta función <math>v</math> es positiva y armónica, por lo que podemos aplicar la desigualdad de Harnack para <math>\mathbb{R}</math>, es decir, <math>n=2</math>. Obteniendo lo siguiente:
-<center><math> \frac{(R-r)}{(R+r)} v(0,0) \leq v(x,y) \leq \frac{(R+r)}{(R-r)}v(0,0), \forall (x,y) \in B_{R}, </math>.</math></center>
+<center><math> \frac{(R-r)}{(R+r)} v(0,0) \leq v(x,y) \leq \frac{(R+r)}{(R-r)}v(0,0), \forall (x,y) \in B_{R}. </math></center>
 == Ecuación de Poisson ==

@@ Línea 437: / Línea 437: @@
 === Comportamiento de la solución ===
 En esta sección, y atendiendo al comportamiento de la solución estudiaremos en qué región se han de encontrar las soluciones armónicas dentro  de la bola <math>B_R</math>, siendo <math>R</math> el radio de la bola, que tengan el mismo valor que nuestra solución en el (0,0).
 La '''desigualdad de Harnack''' establece: Sea <math>u</math> armónica y <math>0\leq u</math> en <math>\Omega \in \mathbb{R}^n</math>. Supongamos
 == Ecuación de Poisson ==

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Línea 436:		Línea 436:

	=== Comportamiento de la solución ===		=== Comportamiento de la solución ===
		+	En esta sección, y atendiendo al comportamiento de la solución estudiaremos en qué región se han de encontrar las soluciones armónicas dentro de la bola <math>B_R</math>, siendo <math>R</math> el radio de la bola, que tengan el mismo valor que nuestra solución en el (0,0).
		+	La '''desigualdad de Harnack''' establece: Sea <math>u</math> armónica y <math>0\leq u</math> en <math>\Omega \in \mathbb{R}^n</math>. Supongamos

	== Ecuación de Poisson ==		== Ecuación de Poisson ==

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Línea 177:		Línea 177:

	[[Archivo: comparacion_errores_ejercicio2.png\|400px\|miniaturadeimagen\|center\|Comparación errores con su máximo]]		[[Archivo: comparacion_errores_ejercicio2.png\|400px\|miniaturadeimagen\|center\|Comparación errores con su máximo]]
		+
		+	Como se puede apreciar de manera bastante clara en la gráfica, a medida que aumentan los puntos de la discretización, la cota va disminuyendo. Aún así, se puede apreciar que el error calculado para un punto alejado de la frontera se sigue manteniendo por debajo de dicha cota.

	Estudiemos ahora el error cometido en puntos "cercanos" a la frontera. En este caso vamos utilizar una única discretización de 100 puntos de la fórmula del trapecio y puntos que cada vez se acercan más a la frontera. Partiendo del punto <math>x = (r,\theta)=(0.9,\pi/4)</math> vamos a ir avanzando hacia la frontera con puntos de la forma <math>(r,\theta)=(1-10^{-n}, \pi/4)</math>. La gráfica entonces resulta ser:		Estudiemos ahora el error cometido en puntos "cercanos" a la frontera. En este caso vamos utilizar una única discretización de 100 puntos de la fórmula del trapecio y puntos que cada vez se acercan más a la frontera. Partiendo del punto <math>x = (r,\theta)=(0.9,\pi/4)</math> vamos a ir avanzando hacia la frontera con puntos de la forma <math>(r,\theta)=(1-10^{-n}, \pi/4)</math>. La gráfica entonces resulta ser:

@@ Línea 174: / Línea 174: @@
 siendo <math>\xi</math> un valor dentro del intervalo <math>[a,b]</math>, y n el valor que genera la discretización para la aplicación del método del trapecio. En nuestro caso, <math>[a,b]=[0,2\pi]</math> y <math>f</math> la función a integrar en la fórmula de Poisson.
-Ahora bien, el código de MatLab presentado al final de la sección implementa un cálculo del error máximo, tomando para cada n el error máximo en la discretización y acumulándolo en la lista <math>error_max</math> de tal forma que en la gráfica se presenta una representación del error máximo teórico de la fórmula del trapecio.
+Ahora bien, el código de MatLab presentado al final de la sección implementa un cálculo del error máximo, tomando para cada n el error máximo en la discretización y acumulándolo en la lista <math>error\_max</math> de tal forma que en la gráfica se presenta una representación del error máximo teórico de la fórmula del trapecio.
 [[Archivo: comparacion_errores_ejercicio2.png|400px|miniaturadeimagen|center|Comparación errores con su máximo]]