Ecuacion de calor (Grupo 25C) - Historial de revisiones

Antoñito: /* Disco de radio 3 */

2015-05-19T03:09:14Z

‎Disco de radio 3

Antoñito: /* Autofunciones */

2015-05-19T02:58:12Z

‎Autofunciones

Antoñito: /* Bessel */

2015-05-18T19:05:34Z

‎Bessel

Antoñito: /* Bessel */

2015-05-18T05:05:45Z

‎Bessel

Antoñito: /* Bessel */

2015-05-18T05:02:52Z

‎Bessel

Antoñito: /* Bessel */

2015-05-18T05:02:37Z

‎Bessel

Antoñito: /* Bessel */

2015-05-18T04:55:39Z

‎Bessel

Antoñito: /* Bessel */

2015-05-18T04:55:22Z

‎Bessel

Antoñito: /* Bessel */

2015-05-18T04:54:14Z

‎Bessel

Antoñito: /* Bessel */

2015-05-18T04:49:31Z

‎Bessel

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

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Línea 395:		Línea 395:

	[[Archivo:BESSEL1.jpg\|marco\|centro\|Autofunciones]]		[[Archivo:BESSEL1.jpg\|marco\|centro\|Autofunciones]]
		+
		+	===Fourier===
		+	Para desarrollar este método y sabiendo que la condicion inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{\|ρ+0.1\|}{3.1} </math>, ensayaremos soluciones de la forma:
		+
		+	<math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ) </math>
		+
		+	Para esto se utiliza el código:
		+
		+	{{matlab\|codigo=
		+	clear all
		+	clc
		+	%Cálculo de los autovalores
		+	a=0;b=3;
		+	C=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309];
		+	for i=1:length(C)
		+	L(i)=(C(i)/3)^2;
		+	end
		+	h=0.1;
		+	%Radios
		+	r=a:h:b;
		+	N=(b-a)/h;
		+	G=zeros(N+1,length(L));
		+	f=zeros(N+1,length(L));
		+	g0=besselj(0,0);
		+	G(:,1)=g0;
		+	f0=0*r;
		+	f(:,1)=f0;
		+	W=0;
		+	t0=0;tM=30;
		+	m=0.1;
		+	t=t0:m:tM;
		+	[Mr,Mt]=meshgrid(r,t);
		+	for k=1:length(L)
		+
		+	f(:,k)=(r)'*sqrt(L(k));
		+	G(:,k)=besselj(0,f(:,k));
		+	h=-log((abs(r+0.1))/3.1);
		+	e=trapz(r,r'.h'.G(:,k))/trapz(r,r'.G(:,k).G(:,k));
		+	W=W+eexp(-L(k)t)'*G(:,k)';
		+
		+	end
		+	%Representacion gráfica
		+	s=surf(Mr,Mt,W);
		+	set(s,'edgecolor','flat');
		+	colormap summer
		+	}}
		+
		+	El grafico resultante es:
		+
		+	[[Archivo:BESSEL2.jpg\|marco\|centro\|Grafico método Fourier]]
		+
		+

@@ Línea 380: / Línea 380: @@
 j0=besselj(0,0);
 G(:,1)=j0;
-z0=0;
+f0=0;
-f(:,1)=z0;
+f(:,1)=f0;
 for k=1:length(L)
      for j=1:N

← Revisión anterior		Revisión del 19:05 18 may 2015
Línea 358:		Línea 358:
	Los resultados son:		Los resultados son:
	<math>λ=[ 0.6426 , 3.3857 , 8.3207 , 15.4488 , 24.7702]</math>		<math>λ=[ 0.6426 , 3.3857 , 8.3207 , 15.4488 , 24.7702]</math>
		+
		+	===Autofunciones===
		+
		+	Para dibujar las autofunciones creamos el siguiente codigo:
		+
		+	{{matlab\|codigo=
		+	clear all
		+	clc
		+	%Cálculo de los autovalores
		+	a=0;b=3;
		+	C=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309];
		+	for i=1:length(C)
		+	L(i)=(C(i)/3)^2;
		+	end
		+	h=0.01;
		+	%Radios
		+	r=a:h:b;
		+	N=(b-a)/h;
		+	G=zeros(N,length(L));
		+	f=zeros(N,length(L));
		+	j0=besselj(0,0);
		+	G(:,1)=j0;
		+	z0=0;
		+	f(:,1)=z0;
		+	for k=1:length(L)
		+	for j=1:N
		+	f(j,k)=(r(j))'*sqrt(L(k));
		+	G(j,k)=besselj(0,f(j,k));
		+	end
		+	end
		+	%Representacion gráfica
		+	plot(G)
		+	}}
		+
		+	Se obtiene así el siguiente gráfico donde se observan las 5 autofunciones correspondientes a los 5 autovalores obtenidos:
		+
		+	[[Archivo:BESSEL1.jpg\|marco\|centro\|Autofunciones]]

@@ Línea 337: / Línea 337: @@
 <math> \left\{\begin{matrix} {ρ^2}ρ'' + {ρ}ρ'+{ρ^2}λρ=0 \\ ρ'(0)=0;ρ(3)=0 \end{matrix}\right. </math>
 Las autofunciones <math> φ_k = J_0 (ρ{λ}^{1/2}) </math> son soluciones de este problema y se puede demostrar derivando y sustituyendo en el problema que queremos resolver. Los ceros de la funcion de Bessel son los valores para los cuales la funcion es nula. Por lo tanto, en este caso tienen que ser los valores <math> ρ{λ}^{1/2} </math> para los cuales las autofunciones <math> φ_k = J_0 (ρ{λ}^{1/2}) </math> son cero. Tomamos <math> C_0  </math>  a los ceros de estas autofunciones:
@@ Línea 348: / Línea 347: @@
 <math>C_0 = 3{λ}^{1/2}</math>

@@ Línea 345: / Línea 345: @@
 Ahora, aplicamos la condicion de contorno <math> ρ(3)=0 </math> , de lo que resulta:
-<math>φ_k = J_0 (3{λ}^{1/2}) = 0 </math>
+<math>φ_k = J_0 (3{λ}^{1/2}) = 0 </math> :
 <math>C_0 = 3{λ}^{1/2}</math>

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Línea 342:		Línea 342:

	<math> C_0 = ρ{λ}^{1/2} </math>		<math> C_0 = ρ{λ}^{1/2} </math>
		+
		+	Ahora, aplicamos la condicion de contorno <math> ρ(3)=0 </math> , de lo que resulta:
		+
		+	<math>φ_k = J_0 (3{λ}^{1/2}) = 0 </math>
		+	<math>C_0 = 3{λ}^{1/2}</math>
		+

← Revisión anterior		Revisión del 04:55 18 may 2015
Línea 333:		Línea 333:
	===Bessel===		===Bessel===

−	Tomando la ecuacion anterior y multiplicándola por <math>ρ^2</math> da como resultado una nueva ecuación igual que la que se presenta en el ejemplo del enunciado	+	Tomando la ecuacion anterior y multiplicándola por <math>ρ^2</math> da como resultado una nueva ecuación igual que la que se presenta en el ejemplo del enunciado:

@@ Línea 335: / Línea 335: @@
 Tomando la ecuacion anterior y multiplicándola por <math>ρ^2</math> da como resultado una nueva ecuación igual que la que se presenta en el ejemplo del enunciado
-Las autofunciones <math> φ_k = J_0 (ρ{λ}^{1/2}) </math> son soluciones de este problema y se puede demostrar derivando y sustituyendo en el problema que queremos resolver. Los ceros de la funcion de Bessel son los valores para los cuales la funcion es nula. Por lo tanto, en este caso tienen que ser los valores <math> ρ{λ}^{1/2} </math> para los cuales las autofunciones <math> φ_k = J_0 (ρ{λ}^{1/2}) </math> son cero. Llamando <math> C_0  </math>  a los ceros de estas autofunciones:
+<math> \left\{\begin{matrix} {ρ^2}ρ'' + {ρ}ρ'+{ρ^2}λρ=0 \\ ρ'(0)=0;ρ(3)=0 \end{matrix}\right. </math>
 <math> C_0 = ρ{λ}^{1/2} </math>

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Línea 337:		Línea 337:
	<math> \left\{\begin{matrix} {ρ^2}ρ'' + {ρ}ρ'+{ρ^2}λρ=0 \\ ρ'(0)=0;ρ(3)=0 \end{matrix}\right.</math>		<math> \left\{\begin{matrix} {ρ^2}ρ'' + {ρ}ρ'+{ρ^2}λρ=0 \\ ρ'(0)=0;ρ(3)=0 \end{matrix}\right.</math>

−	Las autofunciones <math> φ_k = J_0 (ρ{λ}^{1/2}) </math>	+	Las autofunciones <math> φ_k = J_0 (ρ{λ}^{1/2}) </math> son soluciones de este problema y se puede demostrar derivando y sustituyendo en el problema que queremos resolver. Los ceros de la funcion de Bessel son los valores para los cuales la funcion es nula. Por lo tanto, en este caso tienen que ser los valores <math> ρ{λ}^{1/2} </math> para los cuales las autofunciones <math> φ_k = J_0 (ρ{λ}^{1/2}) </math> son cero. Llamando <math> C_0 </math> a los ceros de estas autofunciones:
		+
		+	<math> C_0 = ρ{λ}^{1/2} </math>
		+
		+

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Línea 337:		Línea 337:
	<math> \left\{\begin{matrix} {ρ^2}ρ'' + {ρ}ρ'+{ρ^2}λρ=0 \\ ρ'(0)=0;ρ(3)=0 \end{matrix}\right.</math>		<math> \left\{\begin{matrix} {ρ^2}ρ'' + {ρ}ρ'+{ρ^2}λρ=0 \\ ρ'(0)=0;ρ(3)=0 \end{matrix}\right.</math>

−	Las autofunciones <math> φ_k = J_0 ({ρ~~} sqrt~~{λ}) </math>	+	Las autofunciones <math> φ_k = J_0 (ρ{λ}^{1/2}) </math>