Ecuación del calor LAJS - Historial de revisiones

Sofía en 07:58 8 abr 2026

2026-04-08T07:58:52Z

Sofía en 07:45 8 abr 2026

2026-04-08T07:45:03Z

Leire Aparicio: /* Introducción */

2026-04-07T17:55:19Z

‎Introducción

Álvaro Silva: /* Principio de comparación */

2026-04-07T17:39:26Z

‎Principio de comparación

Álvaro Silva: /* Cambiamos condiciones frontera */

2026-04-07T17:32:23Z

‎Cambiamos condiciones frontera

Leire Aparicio en 17:29 7 abr 2026

2026-04-07T17:29:32Z

Álvaro Silva en 17:27 7 abr 2026

2026-04-07T17:27:35Z

Julia Calado: /* Principio del máximo */

2026-04-07T17:04:03Z

‎Principio del máximo

Julia Calado: /* Solución del problema y visualización */

2026-04-07T16:26:05Z

‎Solución del problema y visualización

Julia Calado: /* Solución del problema y visualización */

2026-04-07T16:24:53Z

‎Solución del problema y visualización

← Revisión anterior		Revisión del 07:58 8 abr 2026
Línea 1:		Línea 1:

		+	{{ TrabajoED \| Ecuación del calor. Grupo LAJS \| [[:Categoría:EDP\|EDP]]\|[[:Categoría:EDP25/26\|2025-26]] \| Leire Aparicio Urbiola

		+	Álvaro Silva Blanco

		+	Julia Calado Bonnin

		+	Sofía García Suárez

−	~~== Póster ==~~	+	}}

−	~~[[Archivo:Poster_Calor_LAJS.png\|\|900px]]~~

		+	[[Categoría:EDP]]
		+	[[Categoría:EDP25/26]]

−	[[Archivo:Poster_Calor_LAJS.~~pdf~~]]	+
		+
		+
		+	== Póster ==
		+
		+	[[Archivo:Poster_Calor_LAJS.png\|\|900px]]

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Línea 1:		Línea 1:
		+
		+
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		+	== Póster ==
		+
		+	[[Archivo:Poster_Calor_LAJS.png\|\|900px]]
		+
		+
		+	[[Archivo:Poster_Calor_LAJS.pdf]]
		+
		+
		+
	== Introducción ==		== Introducción ==

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 == Introducción ==
-El objetivo de este trabajo será dibujar diferentes soluciones de la ecuación del calor en una dimensión, lo que nos ayudará a tener una idea más gráfica e intuitiva sobre las soluciones de este problema que hemos estudiado en clase.
 == Planteamiento y solución del problema ==

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Línea 381:		Línea 381:

	== Principio de comparación ==		== Principio de comparación ==
		+
		+	El principio de comparación para la ecuación del calor establece que si tenemos dos soluciones <math>u(x,t)</math> y <math>v(x,t)</math> definidas en un dominio <math>[0,1] \times [0,T]</math>, y se cumple que <math>u \le v</math> en la '''frontera parabólica''' (es decir, en la condición inicial <math>t=0</math> y en los extremos <math>x=0</math> y <math>x=1</math>), entonces <math>u(x,t) \le v(x,t)</math> en todo el dominio para cualquier <math>t > 0</math>.
		+
		+	Para ilustrar este principio, vamos a elegir dos soluciones analíticas sencillas de la ecuación del calor homogénea (<math>u_t = u_{xx}</math> y <math>v_t = v_{xx}</math>) que cumplan estas condiciones.
		+
		+	'''Elección de las soluciones:'''
		+	* '''Solución 1 (<math>u</math>):''' Elegimos una condición inicial <math>u(x,0) = \sin(\pi x)</math> con extremos fijos a temperatura cero (<math>u(0,t) = u(1,t) = 0</math>). Su solución exacta es un único término de la serie de Fourier:
		+	:: <math>u(x,t) = \sin(\pi x) e^{-\pi^2 t}</math>
		+
		+	* '''Solución 2 (<math>v</math>):''' Elegimos una condición inicial que sea el doble de la anterior, <math>v(x,0) = 2\sin(\pi x)</math>, también con extremos a cero (<math>v(0,t) = v(1,t) = 0</math>). Su solución exacta es:
		+	:: <math>v(x,t) = 2\sin(\pi x) e^{-\pi^2 t}</math>
		+
		+	'''Comprobación en la frontera parabólica:'''
		+	1. En <math>t = 0</math>: Como <math>x \in [0,1]</math>, el seno siempre es positivo. Por tanto, <math>\sin(\pi x) \le 2\sin(\pi x)</math>, lo que implica <math>u(x,0) \le v(x,0)</math>.
		+	2. En <math>x = 0</math> y <math>x = 1</math>: Se cumple que <math>0 \le 0</math>, por lo que <math>u(0,t) \le v(0,t)</math> y <math>u(1,t) \le v(1,t)</math>.
		+
		+	Dado que <math>u \le v</math> en toda la frontera parabólica, el principio de comparación asegura que la superficie de <math>u(x,t)</math> estará siempre por debajo de la superficie de <math>v(x,t)</math>.

@@ Línea 361: / Línea 361: @@
 title('Evolución de la temperatura u(x,t)');
 </syntaxhighlight>
 ==  Principio del máximo ==

@@ Línea 186: / Línea 186: @@
 }}
-{{Imagen múltiple
+[[Archivo:ComparaSuperf.jpg|izquierda|650px|Comparación de las conductividades térmicas]]
-| posición_tabla = right
+[[Archivo:ComparaP.jpg|derecha|350px|Comparación entre la solución y el estado estacionario]]
-| dirección = horizontal
-| título = Comparación de las conductividades térmicas
-| foto1 = ComparaSuperf.jpg
-| texto1 = Gráficas 3D de ambas soluciones
-| foto2 = ComparaP.jpg
-| texto2 = Comparación entre la solución y el estado estacionario
-}}
 == Efecto de un dato inicial discontinuo ==

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Línea 260:		Línea 260:

	== Cambiamos condiciones frontera ==		== Cambiamos condiciones frontera ==
		+
		+	Al estar el extremo izquierdo (<math>x=0</math>) aislado térmicamente, el flujo de calor en ese punto es cero, lo que se traduce en una condición de contorno de Neumann (<math>u_x(0,t) = 0</math>). El extremo derecho (<math>x=1</math>) se mantiene a <math>10^\circ C</math>. La condición inicial sigue siendo la del apartado 7.
		+
		+	El sistema de la EDP queda así:
		+
		+	<math> \begin{cases}
		+	u_t = u_{xx}, \quad x \in (0,1), \ t > 0 \\
		+	u_x(0,t) = 0 \\
		+	u(1,t) = 10 \\
		+	u(x,0) = 10-10 \,\ \mathbf{1}_{[1/3,2/3]}(x) & x \in [0,1]
		+	\end{cases} </math>
		+
		+	'''Solución estacionaria'''
		+
		+	La solución del estado estacionario <math>v(x)</math> no depende del tiempo, obteniéndose el problema
		+
		+	<math> \begin{cases}
		+	-v_{xx}=0\\
		+	v(0) = 0 \\
		+	v(1) = 10
		+	\end{cases} </math>
		+
		+	Luego, resolviendo el problema con las condiciones iniciales dadas, se obtiene que la solución estacionaria es
		+
		+	:<math>v(x) = 10</math>
		+
		+	'''Solución para el sistema homogéneo'''
		+
		+	Aplicamos separación de variables para el problema homogéneo, donde obtenemos que los autovalores son <math>\lambda_n = \left(\frac{(2n-1)\pi}{2}\right)^2</math> y la nueva base de autofunciones es:
		+	:<math>X_n(x) = \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{2} x\right)</math>
		+
		+	'''Comprobación analítica de la ortogonalidad'''
		+
		+	El enunciado pide comprobar explícitamente que estas autofunciones son ortogonales en <math>[0,1]</math>. Debemos demostrar que para <math>n \neq m</math>:
		+	:<math>\int_0^1 \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{2} x\right) \cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2} x\right) dx = 0</math>
		+
		+	Usamos la identidad trigonométrica <math>\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]</math>:
		+	:<math>I = \frac{1}{2} \int_0^1 \left[ \cos\left( \frac{(2n+2m-2)\pi}{2} x \right) + \cos\left( \frac{(2n-2m)\pi}{2} x \right) \right] dx</math>
		+	:<math>I = \frac{1}{2} \int_0^1 \left[ \cos((n+m-1)\pi x) + \cos((n-m)\pi x) \right] dx</math>
		+
		+	Al integrar y evaluar entre 0 y 1:
		+	:<math>I = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin((n+m-1)\pi x)}{(n+m-1)\pi} + \frac{\sin((n-m)\pi x)}{(n-m)\pi} \right]_0^1</math>
		+
		+	Sustituyendo <math>x=1</math>, el seno de cualquier múltiplo entero de <math>\pi</math> es siempre 0. Al evaluar en <math>x=0</math>, los senos también son 0. Por tanto, <math>I = 0</math>, quedando demostrada analíticamente su ortogonalidad.
		+
		+	''' Solución y cálculo de coeficientes'''
		+
		+	La solución temporal es <math>T_n(t) = e^{-\left(\frac{(2n-1)\pi}{2}\right)^2 t}</math>. Superponiendo todas las soluciones, recuperamos <math>u(x,t)</math>:
		+	:<math>u(x,t) = 10 + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{2} x\right) e^{-\left(\frac{(2n-1)\pi}{2}\right)^2 t}</math>
		+
		+
		+
		+	Como realizamos en el apartado anterior, aproximamos los coeficientes de Fourier numéricamente. La integral exacta para nuestra nueva base es:
		+
		+	:<math>c_n = 2 \int_0^1 v(x,0) \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{2} x\right) dx</math>
		+
		+	Esta integral la aproximaremos utilizando las funciones de cuadratura incluidas en Matlab. Además, igual que en los apartados anteriores representaremos la solución tridimensional utilizando el código que muestra a continuación:
		+
		+	<syntaxhighlight lang="matlab">
		+	Nx = 100; % Subintervalos en x
		+	Nt = 100; % Subintervalos en t
		+	x = linspace(0, 1, Nx+1);
		+	t = linspace(0, 1, Nt+1);
		+
		+	[X, T] = meshgrid(x, t);
		+
		+	% Condición inicial transitoria v(x,0)
		+	v0 = zeros(1, length(x));
		+	v0(x >= 1/3 & x <= 2/3) = -10;
		+
		+	% Coeficientes de Fourier
		+	num_terminos = 10;
		+	c = zeros(1, num_terminos);
		+
		+	for n = 1:num_terminos
		+	% Autofunciones
		+	mu_n = (2n - 1) pi / 2;
		+
		+	% Función a integrar
		+	fx = v0 .* cos(mu_n * x);
		+
		+	% Cuadratura con la regla del trapecio
		+	c(n) = 2 * trapz(x, fx);
		+	end
		+
		+	% Solución
		+	U_transitoria = zeros(size(X));
		+
		+	% Sumamos los primeros 10 términos de la serie
		+	for n = 1:num_terminos
		+	mu_n = (2n - 1) pi / 2;
		+	termino_n = c(n) * cos(mu_n * X) .* exp(-(mu_n^2) * T);
		+	U_transitoria = U_transitoria + termino_n;
		+	end
		+
		+	% La solución total es la suma de la parte transitoria y el estado estacionario
		+	U_total = 10 + U_transitoria;
		+
		+	% Representación tridimensional
		+	figure;
		+	surf(X, T, U_total, 'EdgeColor', 'none');
		+	colormap jet;
		+	colorbar;
		+	xlabel('Posición x');
		+	ylabel('Tiempo t');
		+	zlabel('Temperatura u(x,t)');
		+	title('Evolución de la temperatura u(x,t)');
		+	</syntaxhighlight>

	== Principio del máximo ==		== Principio del máximo ==

← Revisión anterior		Revisión del 17:04 7 abr 2026
Línea 262:		Línea 262:

	== Principio del máximo ==		== Principio del máximo ==
		+
		+	El principio del máximo para la ecuación del calor nos dice que los valores máximos y mínimos de la solución en el dominio se alcanzan en la frontera parabólica, es decir, en las condiciones iniciales o en las de contorno.
		+
		+	En nuestro caso tenemos que las condiciones de contorno son:
		+
		+	<math> u(0,t)=u(1,t)=10 </math>,
		+
		+	y el dato inicial cumple que:
		+
		+	<math> 0 \leq u_0(x) \leq 10</math>.
		+
		+	Por tanto, todos los valores de la solución en la frontera están entre 0 y 10. Aplicando el principio del máximo, tenemos que:
		+
		+	<math> 0 \leq u(x,t) \leq 10 \text{ para todo } x\in [0,1], t>0</math>.

	== Principio de comparación ==		== Principio de comparación ==

@@ Línea 257: / Línea 257: @@
 [[Archivo: Evoluciontemp.jpg|centro|400px|Gráfica de la solución]]<br />
-En <math>t=0</math> se ve claramente el intervalo <math> [1/3,2/3] </math> a <math> 0ºC </math> mientras que el resto de la varilla está a <math> 10ºC </math>. A medida que <math> t </math> crece, el calor se va distribuyendo por toda la barra hasta alcanzar la temperatura uniforme <math> v(x)=10 </math>.
+En <math>t=0</math> podemos ver que el intervalo <math> [1/3,2/3] </math> está a <math> 0ºC </math> mientras que el resto de la varilla está a <math> 10ºC </math>. A medida que <math> t </math> crece, el calor se va distribuyendo por toda la barra hasta alcanzar la temperatura uniforme <math> v(x)=10 </math>.
 == Cambiamos condiciones frontera ==