Ecuación del calor (Grupo ILIA) - Historial de revisiones

Nacho en 07:31 20 mar 2025

2025-03-20T07:31:37Z

Nacho en 07:31 20 mar 2025

2025-03-20T07:31:09Z

Nacho en 07:29 20 mar 2025

2025-03-20T07:29:33Z

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Nacho en 11:17 19 mar 2025

2025-03-19T11:17:41Z

Nacho en 11:14 19 mar 2025

2025-03-19T11:14:51Z

Nacho en 11:08 19 mar 2025

2025-03-19T11:08:52Z

Alicia.ruiz en 10:23 19 mar 2025

2025-03-19T10:23:33Z

Alicia.ruiz en 10:22 19 mar 2025

2025-03-19T10:22:36Z

Alicia.ruiz en 10:15 19 mar 2025

2025-03-19T10:15:44Z

Alicia.ruiz en 10:01 19 mar 2025

2025-03-19T10:01:33Z

@@ Línea 144: / Línea 144: @@
 <center>
 <math>
-     u(x) = 2 \left(-\frac{2x-1}{2}H\left(\frac{2x-1}{2}\right) +\frac{x}{2}\right)
+     u(x) = 2 \left(-\left(\frac{2x-1}{2}\right)H\left(\frac{2x-1}{2}\right) +\frac{x}{2}\right)
 </math>
 </center>

@@ Línea 144: / Línea 144: @@
 <center>
 <math>
-     u(x) = 2 \left(-\frac{2x-1}{2}H\left(\frac{2x-1}{2}\right +\frac{x}{2}\right)
+     u(x) = 2 \left(-\frac{2x-1}{2}H\left(\frac{2x-1}{2}\right) +\frac{x}{2}\right)
 </math>
 </center>

@@ Línea 134: / Línea 134: @@
 \begin{align*}
 &= -u(1) = (0.5)H(0.5) + C_1+ C_2\\
-&= 0.5 + C_2\\
+&= 0.5 + C_1\\
-     \Rightarrow  C_2 &= -0.5
+     \Rightarrow  C_1 &= -0.5
 \end{align*}
 </math>
@@ Línea 144: / Línea 144: @@
 <center>
 <math>
-     u(x) = 2\cdot\left(\left(\frac{2x-1}{2}\right)H\left(\frac{2x-1}{2}\right) +  \frac{x}{2}\right)
+     u(x) = 2 \left(-\frac{2x-1}{2}H\left(\frac{2x-1}{2}\right +\frac{x}{2}\right)
 </math>
 </center>

@@ Línea 106: / Línea 106: @@
 </center>
 Con esta información:
 <math>
 \begin{align*}
@@ Línea 117: / Línea 118: @@
 \end{align*}
 </math>
 Evaluando en las condiciones iniciales, llegamos a:
 <math>
 \begin{align*}
 &= -u(0) = (-0.5)H(-0.5) + C_2\\
-&= 0 + C_2 \Rightarrow  C_2 = 0
+&= 0 + C_2 \\
 \end{align*}
 </math>
 <math>
 \begin{align*}
@@ Línea 131: / Línea 138: @@
 \end{align*}
 </math>
 Luego nuestra solución tendría la forma:
 <center>

@@ Línea 139: / Línea 139: @@
 Representando nuestra solución estacionaria, llegamos a:
-(imagen)
+[[Archivo:Solución estacionaria ILIA 2025 8K.png|400px|thumb|right|Solución de la ecuación del calor]]
 Por la forma de nuestra ecuación cabría esperar una solución que, además de las condiciones iniciales, tenga (y a simple vista se aprecie) una zona de temperatura máxima en <math> x_0 = 0.5 </math>, donde a ambos lados la temperatura descendería hasta llegar a los extremos, donde la temperatura es constantemente nula.

@@ Línea 95: / Línea 95: @@
 </math></center>
-Si intentamos resolver este problema suponiendo la existencia de una solución estacionaria, llegaríamos a una solución <math>u(x)</math> que no sería continua en <math> x_0 </math>. Es por ello que otros métodos algo más sofisticados son necesarios para resolver esta ecuación, y en lugar de buscar una solución analítica completa, aplicamos un método numérico basado en diferencias finitas explícitas para aproximar la solución.
+Si intentamos resolver este problema suponiendo la existencia de una solución estacionaria, debemos realizar la suposición de que la integral de la función <math>\delta</math> es la función Heaviside, es decir:
-La idea general, sin embargo, se encuentra en hallar las soluciones generales para nuestro problema homogéneo y, tras esto, describir <math>f(x,t)</math> como suma de elementos de la base de Fourier que hayamos hallado. Debido a la facilidad con la que se integra <math>\delta(x)</math>, esto no supondría un problema.
+(imagen)
 Por la forma de nuestra ecuación cabría esperar una solución que, además de las condiciones iniciales, tenga (y a simple vista se aprecie) una zona de temperatura máxima en <math> x_0 = 0.5 </math>, donde a ambos lados la temperatura descendería hasta llegar a los extremos, donde la temperatura es constantemente nula.
 [[Archivo:EvolucionILIA.jpeg|400px|thumb|right|Evolución temporal de la ecuación del calor con fuente térmica]]

@@ Línea 79: / Línea 79: @@
 donde <math>f(x,t)</math> es una fuente térmica localizada, que modelamos como:
-<math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math>
+<center><math>f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)</math></center>
 Aquí, <math>q(t)</math> representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y <math>\delta(x-x_0)</math> es la delta de Dirac, que hace que el calor se añada únicamente en el punto <math>x_0</math>. Al emplear la distribución <math>\delta</math> de Dirac, estamos imponiendo que esta adición energética (calorífica) se encuentre extremadamente localizada, como la acción de un láser sobre una barra que simplificamos como unidimensional.

@@ Línea 8: / Línea 8: @@
 En resumen, exploraremos cómo la presencia de una fuente de calor afecta a la distribución de la temperatura en el tiempo, resolviendo el problema tanto analíticamente como numéricamente. A través de esta aproximación, podremos comprender mejor la influencia de fuentes térmicas en sistemas difusivos y validar métodos numéricos para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Estudiaremos varios aspectos:
-'''Ecuación del calor con fuente:''' en este caso, la ecuación incluye un término <math> f(x,t) </math> que representa una generación de calor interna. Esto hace que la temperatura no solo se difunda, sino que también aumente o disminuya dependiendo de la fuente.
+*'''Ecuación del calor sin fuente térmica:''' resolvemos el problema con condiciones iniciales y de frontera, y obtenemos la solución estacionaria.
-'''Comparación con el caso sin fuente:''' veremos cómo la solución cambia al introducir un calentamiento localizado, observando si se alcanza un estado estacionario diferente o si la temperatura sigue variando en el tiempo.
+*'''Ecuación del calor con fuente:''' en este caso, la ecuación incluye un término <math> f(x,t) </math> que representa una generación de calor interna. Esto hace que la temperatura no solo se difunda, sino que también aumente o disminuya dependiendo de la fuente.
-−
-'''Influencia de la intensidad y duración de la fuente:''' podemos analizar distintos valores de <math> A </math> y ver cómo afectan a la propagación térmica.
@@ Línea 168: / Línea 167: @@
 </syntaxhighlight>
-===Interpretación de la solución numérica===
+===Interpretación de la solución numérica y comparación con el caso sin fuente===
 Los resultados numéricos muestran que efectivamente la fuente térmica localizada en <math> x_0 = 0.5 </math> genera una acumulación de calor en su entorno inmediato. A medida que avanza el tiempo, se observa la disipación progresiva del calor debido a la difusión, que suaviza la temperatura alrededor de este punto, extendiéndola hacia el resto del dominio.

@@ Línea 74: / Línea 74: @@
 =Ecuación del calor con fuente térmica puntual=
-En los casos sencillos de la ecuación del calor, como los vistos en clase, no existe aporte de calor a nuestro sistema o, si existe, es regular a lo largo del espacio y el tiempo. Podemos, sin embargo, tratar de estudiar el caso en el que se introduce una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto concreto <math>x_0</math> de la barra de manera localizada, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
+En los casos sencillos de la ecuación del calor, como los vistos en clase, no existe aporte de calor a nuestro sistema o, si existe, es regular a lo largo del espacio y el tiempo. Sin embargo, en muchas situaciones prácticas, el calor puede ser generado en puntos específicos del dominio. Para modelar este efecto, introducimos una función <math>f(x,t)</math> que representa un nuevo foco de calor en un punto concreto <math>x_0</math> de la barra de manera localizada. Así, la ecuación del calor modificada queda como sigue:
 <center><math>u_t = u_{xx}+f(x,t)</math></center>
-Si consideramos <math>q(t)=2</math>, <math>x_0=0.5</math> y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:
+donde <math>f(x,t)</math> es una fuente térmica localizada, que modelamos como:
 <center><math>
@@ Línea 90: / Línea 96: @@
 </math></center>
-Tratando de hallar una solución realizando la suposición de existencia de solución estacionaria, llegaríamos a una solución <math>u(x)</math> que no sería continua. Es por ello que otros métodos algo más sofisticados son necesarios para resolver esta ecuación. La idea general, sin embargo, se encuentra en hallar las soluciones generales para nuestro problema homogéneo y, tras esto, describir <math>f(x,t)</math> como suma de elementos de la base de Fourier que hayamos hallado. Debido a la facilidad con la que se integra <math>\delta(x)</math>, esto no supondría un problema.
+Si intentamos resolver este problema suponiendo la existencia de una solución estacionaria, llegaríamos a una solución <math>u(x)</math> que no sería continua en <math> x_0 </math>. Es por ello que otros métodos algo más sofisticados son necesarios para resolver esta ecuación, y en lugar de buscar una solución analítica completa, aplicamos un método numérico basado en diferencias finitas explícitas para aproximar la solución.
 Por la forma de nuestra ecuación cabría esperar una solución que, además de las condiciones iniciales, tenga (y a simple vista se aprecie) una zona de temperatura máxima en <math> x_0 = 0 </math>, donde a ambos lados la temperatura descendería hasta llegar a los extremos, donde la temperatura es constantemente nula.
@@ Línea 160: / Línea 168: @@
 </syntaxhighlight>
-Y efectivamente así queda.
+===Interpretación de la solución numérica===