Ecuación del calor (Grupo GIXP) - Historial de revisiones

Francisco Lavao: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

2025-03-19T23:03:27Z

‎Aumento de temperatura por una fuente de calor externa

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

2025-03-18T22:43:07Z

‎Aumento de temperatura por una fuente de calor externa

Gonzalo.gm: /* Resolución del sistema */

2025-03-18T19:18:13Z

‎Resolución del sistema

Gonzalo.gm: /* Resolución del sistema */

2025-03-18T19:17:51Z

‎Resolución del sistema

Gonzalo.gm: /* Planteamiento del sistema de EDP */

2025-03-18T19:17:22Z

‎Planteamiento del sistema de EDP

Gonzalo.gm: /* Planteamiento del sistema de EDP */

2025-03-18T19:16:37Z

‎Planteamiento del sistema de EDP

Gonzalo.gm: /* Planteamiento del sistema de EDP */

2025-03-18T19:16:14Z

‎Planteamiento del sistema de EDP

Gonzalo.gm: /* Resolución del sistema */

2025-03-18T19:02:06Z

‎Resolución del sistema

Gonzalo.gm: /* Resolución del sistema (CORTO) */

2025-03-18T19:01:53Z

‎Resolución del sistema (CORTO)

Gonzalo.gm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

2025-03-18T18:56:45Z

‎Aumento de temperatura por una fuente de calor externa

← Revisión anterior		Revisión del 23:03 19 mar 2025
Línea 255:		Línea 255:


−	Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos cómo el máximo de la temperatura que alcanza la barra es ligeramente mayor y que el intervalo donde se alcanza es mayor. Mientras que si disminuimos L, se observa cómo al mantenerse los extremos temperatura 0, y ahora estar todos los puntos intermedios más próximos a estos extremos, se llega a reducir el máximo que se alcanza.	+	Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos cómo el máximo de la temperatura que alcanza la barra es ligeramente mayor y que el intervalo donde se alcanza es mayor. Mientras que si disminuimos <math> L </math>, se observa cómo al mantenerse los extremos temperatura 0, y ahora estar todos los puntos intermedios más próximos a estos extremos, se llega a reducir el máximo que se alcanza.

← Revisión anterior		Revisión del 22:43 18 mar 2025
Línea 255:		Línea 255:


−	Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos ~~como~~ el máximo de la temperatura que alcanza la barra es ~~el mismo, solo~~ que el intervalo donde se alcanza es mayor. Mientras que si disminuimos L, se observa ~~como~~ al mantenerse los extremos temperatura 0, y ahora estar todos los puntos intermedios más próximos a estos extremos, se llega a reducir el máximo que se alcanza .	+	Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos cómo el máximo de la temperatura que alcanza la barra es ligeramente mayor y que el intervalo donde se alcanza es mayor. Mientras que si disminuimos L, se observa cómo al mantenerse los extremos temperatura 0, y ahora estar todos los puntos intermedios más próximos a estos extremos, se llega a reducir el máximo que se alcanza.

@@ Línea 50: / Línea 50: @@
 = Resolución del sistema =
-Suponiendo que <math> f = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha}\left(Lx -x^2 \right) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L} x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos
+Suponiendo que <math> f = K </math> constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha}\left(Lx -x^2 \right) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L} x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos
 <math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}}e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L}t} \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)}, </math> con <math> c_n = \dfrac{2}{\sqrt{L}}\int_{0}^{L} \left(u_0(x) - v(x)\right) \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)} \ dx </math>

@@ Línea 50: / Línea 50: @@
 = Resolución del sistema =
-Suponiendo que <math> f(x) = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha}\left(Lx -x^2 \right) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L} x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos
+Suponiendo que <math> f = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha}\left(Lx -x^2 \right) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L} x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos
 <math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}}e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L}t} \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)}, </math> con <math> c_n = \dfrac{2}{\sqrt{L}}\int_{0}^{L} \left(u_0(x) - v(x)\right) \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)} \ dx </math>

@@ Línea 33: / Línea 33: @@
 Reagrupando términos, definimos:
 <math>
-\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \ f(x) = \frac{1}{Q} \omega
+\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \ f = \frac{1}{Q} \omega
 </math>
 donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

@@ Línea 26: / Línea 26: @@
 <math>
-u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
+u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega
 </math>

@@ Línea 21: / Línea 21: @@
 Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \).
-También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).
+También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, la cual supondremos constante en tiempo y espacio.
 Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:
@@ Línea 33: / Línea 33: @@
 Reagrupando términos, definimos:
 <math>
-\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \ f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
+\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \ f(x) = \frac{1}{Q} \omega
 </math>
 donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

← Revisión anterior		Revisión del 19:02 18 mar 2025
Línea 55:		Línea 55:

	y <math> u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} t} \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)} + v(x) </math> es la solución del problema original.		y <math> u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} t} \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)} + v(x) </math> es la solución del problema original.
−
−	~~= Resolución del sistema =~~
−	~~Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:~~
−
−	~~<math>~~
−	~~v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)~~
−	~~</math>~~
−
−
−	~~<math>~~
−	~~v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2~~
−	~~</math>~~
−
−
−	~~<math>~~
−	~~\begin{cases}~~
−	~~v(0) = u_1 \\~~
−	~~v(L) = u_2~~
−	~~\end{cases}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:~~
−
−	~~<math>~~
−	~~w_t - \alpha w_{xx} = 0~~
−	~~</math>~~
−	~~con condiciones frontera también homogéneas.~~
−
−	~~Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:~~
−
−	~~<math>~~
−	~~w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:~~
−
−	~~<math>~~
−	~~w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)~~
−	~~</math>~~
−
−	~~Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:~~
−
−	~~<math>~~
−	~~c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx~~
−	~~</math>~~
−
−	~~Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)~~

	= Modelización de fenómenos =		= Modelización de fenómenos =

← Revisión anterior		Revisión del 18:56 18 mar 2025
Línea 276:		Línea 276:

	.		.
−
−	~~== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==~~
−
−	Si la temperatura inicial de la varilla es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K >0 </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:
−
−	Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si
−
−	~~<math>~~
−	~~\begin{cases}~~
−	~~u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\~~
−	~~f_1(x) \geq f_2(x) \text{ en } \bar{Q_T}~~
−	~~\end{cases}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.~~
−
−	~~Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.~~
−
−
−	[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif\|400px\|left\|thumb\|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif\|400px\|thumb\|center\|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]
−
−	[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif\|400px\|left\|thumb\|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif\|400px\|thumb\|center\|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]
−
−
−
−
−	Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos como el máximo de la temperatura que alcanza la barra es el mismo, solo que el intervalo donde se alcanza es mayor. Mientras que si disminuimos L, se observa como al mantenerse los extremos temperatura 0, y ahora estar todos los puntos intermedios más próximos a estos extremos, se llega a reducir el máximo que se alcanza .
−
−
−	[[Archivo:Grupo_GIXP_Ec.Calor_(L=0.5).png\|400px\|left\|thumb\|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 0.5 </math>]] [[Archivo:Grupo_GIXP_Ec.Calor_(L=5).png\|400px\|thumb\|center\|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]]
−
−	~~[[Categoría:EDP]]~~
−	~~[[Categoría:EDP24/25]]~~
−

	== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==		== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==