Ecuación del calor (Grupo CJMAS) - Historial de revisiones

Claudia: /* Planteamiento */

2025-03-19T14:34:49Z

‎Planteamiento

Claudia: /* Planteamiento */

2025-03-19T14:34:17Z

‎Planteamiento

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Claudia: /* Planteamiento */

2025-03-19T14:33:31Z

‎Planteamiento

Claudia: /* Planteamiento */

2025-03-19T14:33:03Z

‎Planteamiento

Claudia en 14:24 19 mar 2025

2025-03-19T14:24:09Z

Claudia: /* Solución */

2025-03-19T14:20:57Z

‎Solución

Claudia: /* Solución mediante separación de variables */

2025-03-19T14:20:24Z

‎Solución mediante separación de variables

Sofía de Benito: /* Conclusión */

2025-03-19T13:40:10Z

‎Conclusión

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

2025-03-19T13:39:34Z

‎Conclusión

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

2025-03-19T13:39:23Z

‎Conclusión

@@ Línea 47: / Línea 47: @@
 \begin{cases}
 u_t-\alpha u_{xx}=0, & x \in (0,L), t > 0 \\
-u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) , t > 0\\
+u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) ,  & t > 0\\
-u_x(L,t)= 0 , t>0 \\
+u_x(L,t)= 0 ,  &  t>0 \\
-u(x,0)=u_0 , x \in (0,L)
+u(x,0)=u_0 ,  & x \in (0,L)
 \end{cases}

@@ Línea 43: / Línea 43: @@
 </center>
-Por lo tanto, tenemos el problema
+Por lo tanto, tenemos el siguiente problema
 <center><math>
 \begin{cases}
-u_t-\alpha u_{xx}=0, & x \in (0,L), t \geq 0 \\
+u_t-\alpha u_{xx}=0, & x \in (0,L), t > 0 \\
-u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) , t \geq 0\\
+u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) , t > 0\\
-u_x(L,t)= 0 \\
+u_x(L,t)= 0 , t>0 \\
-u(x,0)=u_0
+u(x,0)=u_0 , x \in (0,L)
 \end{cases}

@@ Línea 46: / Línea 46: @@
 <center><math>
 \begin{cases}
-u_t-\alpha u_{xx}, & x \in (0,L), t \geq 0 \\
+u_t-\alpha u_{xx}=0, & x \in (0,L), t \geq 0 \\
-u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) \\
+u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) , t \geq 0\\
 u_x(L,t)= 0 \\
 u(x,0)=u_0

@@ Línea 40: / Línea 40: @@
 <center><math>
 u(x,0)=u_0.
 </math>
 </center>

@@ Línea 62: / Línea 62: @@
 donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>.
-Al imponer la condición inicial, los coeficientes de Fourier vienen dados por:
+Los coeficientes de Fourier vienen dados por:
 <center>
 <math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)

@@ Línea 54: / Línea 54: @@
 === Solución mediante separación de variables ===
-La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
+Aplicando el método de separación de variables, la solución general es:
 <center><math>
 u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
@@ Línea 60: / Línea 60: @@
 </center>
-con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde  <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
+donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Al imponer la condición inicial, los coeficientes de Fourier vienen dados por:
 <center>
 <math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
@@ Línea 70: / Línea 70: @@
 </center>
-De este modo, la solución quedaría como:
+Por lo tanto, la solución final se expresa como:
 <center><math>
 u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}

@@ Línea 216: / Línea 216: @@
 La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.
-[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
+[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Variación de <math> h </math>]]
-[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Varianción de <math> k </math>]]
+[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Variación de <math> k </math>]]

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	[[Archivo:Evol1.png\|400px\|left\|thumb\| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png\|400px\|center\|thumb\| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]		[[Archivo:Evol1.png\|400px\|left\|thumb\| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png\|400px\|center\|thumb\| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
	[[Archivo:Evol4.png\|400px\|left\|thumb\| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png\|400px\|center\|thumb\| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]		[[Archivo:Evol4.png\|400px\|left\|thumb\| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png\|400px\|center\|thumb\| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]
		+
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@@ Línea 204: / Línea 204: @@
 [[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math>  t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math>   t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center>  ]]
 [[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|  <center> <math>   t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math>  t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]
@@ Línea 209: / Línea 210: @@
 [[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]
 La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.