Ecuación del calor (CGomJRod) - Historial de revisiones

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Solución fundamental dimensión 2 */

2024-03-07T23:09:20Z

‎Solución fundamental dimensión 2

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Soluciones Autosemejantes */

2024-03-07T15:56:40Z

‎Soluciones Autosemejantes

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Carlos Gómez: /* Soluciones Autosemejantes */

2024-03-07T09:54:02Z

‎Soluciones Autosemejantes

Carlos Gómez: /* Soluciones Autosemejantes */

2024-03-07T08:53:30Z

‎Soluciones Autosemejantes

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Solución fundamental dimensión 2 */

2024-03-06T19:20:51Z

‎Solución fundamental dimensión 2

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Solución fundamental dimensión 2 */

2024-03-06T19:20:16Z

‎Solución fundamental dimensión 2

Carlos Gómez: /* Modificación de la condicione frontera */

2024-03-06T19:20:06Z

‎Modificación de la condicione frontera

Carlos Gómez: /* Efecto modificación coeficiente de difusión */

2024-03-06T19:19:26Z

‎Efecto modificación coeficiente de difusión

Carlos Gómez: /* Efecto modificación condiciones frontera */

2024-03-06T19:18:47Z

‎Efecto modificación condiciones frontera

Carlos Gómez: /* Efecto modificación de la condición inicial */

2024-03-06T19:18:08Z

‎Efecto modificación de la condición inicial

@@ Línea 889: / Línea 889: @@
 Se puede observar, al igual que para la solución fundamental unidimensional, cómo cuanto más cercano a cero es el tiempo más singular es la solución: vale cada vez más en el punto <math>(0,0)</math> y menos en puntos alejados de este. Por otro lado, a medida que va aumentando el tiempo vemos como los puntos que previamente tenían temperatura igual a cero aumentan.
 {{ referencias }}
-[.[Categoría:Grado en Matemáticas].]
+[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
-[.[Categoría:EDP].]
+[[Categoría:EDP]]
-[.[Categoría:EDP23/24].]
+[[Categoría:EDP23/24]]

@@ Línea 682: / Línea 682: @@
 Finalmente podemos dibujar su gráfica:
-[[Archivo:CGomJRod SolFundSemi.png|400px|thumb|right|Solución autosemejante de la ecuación del calor]]
+[[Archivo:CGomJRod SolFundSemiNew.png|400px|thumb|right|Solución autosemejante de la ecuación del calor]]
 {{matlab|codigo=
 % Input
@@ Línea 689: / Línea 689: @@
 % Output
-u=@(t,x) exp(-x./((4*t').^(1/2)));  % Definición de la solución
+yy=zeros(length(tt),length(xx));
-yy=u(tt,xx);                        % Evaluación de la solución
+for i=1:length(tt)
 mesh(xx,tt,yy)                      % Grafica de la solución
 colormap turbo

@@ Línea 656: / Línea 656: @@
 Resolviéndola y deshaciendo el cambio de variable llegamos a la expresión buscada:
-<center><math>U(\frac{x}{\sqrt{t}})=D\int_0^\xi e^{\frac{z^2}{4}}+2c</math></center> con <math>A,c \in \mathbb{R}</math> son constantes.
+<center><math>U(\frac{x}{\sqrt{t}})=D\int_0^\frac{x}{\sqrt{t}} e^{\frac{z^2}{4}}+c</math></center> con <math>D,c \in \mathbb{R}</math> constantes.
 Nótese que al igual que para la solución fundamental no hemos necesitado imponer unas condiciones frontera. Es más, no hemos empleado tampoco ninguna condición inicial. Intentemos dibujar esta función para ver su comportamiento. Para ello, debemos imponer unas condiciones que nos permitan hallar los valores de las constantes, impongamos lo siguiente y veamos qué obtenemos:
@@ Línea 672: / Línea 676: @@
 </center>
-Es fácil ver que la segunda y tercera expresión resultan en que <math>c=0</math>. Por otro lado, a partir de la primera tenemos que <math>A+2c=1</math> y por tanto  <math>A=1</math>. Sustituyendo estos valores en la solución que hemos obtenido anteriormente obtenemos la expresión que buscábamos:
+Es fácil ver que <math>D=-1</math> y <math>c=1</math>.
-<center><math>u(x,t)=e^{-{\frac{x}{2\sqrt{t}}}}</math></center>
+<center><math>U(\frac{x}{\sqrt{t}})=-erf(\frac{x}{2\sqrt{t}})+1</math></center>
 Finalmente podemos dibujar su gráfica:

@@ Línea 643: / Línea 643: @@
 Como <math> U(\frac{x}{\sqrt{t}}) </math> es solución de la ecuación, derivando llegamos a la siguiente expresión:
-<center><math>\frac{x}{2t^{\frac{3}{2}}}U'(\frac{x}{\sqrt{t}})+\frac{1}{t}U''(\frac{x}{\sqrt{t}})=0</math></center>
+<center><math>-\frac{x}{2t^{\frac{3}{2}}}U'(\frac{x}{\sqrt{t}})-\frac{1}{t}U''(\frac{x}{\sqrt{t}})=0</math></center>
 Haciendo el cambio de variable <math>\xi=\frac{x}{\sqrt{t}}</math> llegamos a:
-<center><math>\frac{1}{2t}U'(\xi)+\frac{1}{t}U''(\xi)=0</math></center>
+<center><math>-\frac{\xi}{2}U'(\xi)-U''(\xi)=0</math></center>
-Operando un poco llegamos a la EDO:
+Haciendo un nuevo cambio de variable <math>V=U'</math> obtenemos la EDO
-<center><math>U'(\xi)+\frac{1}{2}U(\xi)=c</math></center> con <math>c \in \mathbb{R}</math> una constante.
+<center><math>V'(\xi)+\frac{\xi}{2}V(\xi)=0</math></center>
 Resolviéndola y deshaciendo el cambio de variable llegamos a la expresión buscada:
-<center><math>U(\frac{x}{\sqrt{t}})=Ae^{-{\frac{x}{2\sqrt{t}}}}+2c</math></center> con <math>A,c \in \mathbb{R}</math> son constantes.
+<center><math>U(\frac{x}{\sqrt{t}})=D\int_0^\xi e^{\frac{z^2}{4}}+2c</math></center> con <math>A,c \in \mathbb{R}</math> son constantes.
 Nótese que al igual que para la solución fundamental no hemos necesitado imponer unas condiciones frontera. Es más, no hemos empleado tampoco ninguna condición inicial. Intentemos dibujar esta función para ver su comportamiento. Para ello, debemos imponer unas condiciones que nos permitan hallar los valores de las constantes, impongamos lo siguiente y veamos qué obtenemos:

@@ Línea 823: / Línea 823: @@
 <center><math>\phi(x,t):=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-\frac{\lVert x\rVert^{2}}{4t}}</math></center>
 Particularicemos esta solución para dimensión <math>n=2</math> y observemos su comportamiento para distintos tiempos.
-[[Archivo:CGomJRod SolFundDim2t.png|700px|thumb|right|Solución fundamental bidimensional para distintos <math>t</math>]]
+[[Archivo:CGomJRod SolFundDim2t.png|700px|thumb|right|Solución fundamental bidimensional para distintos tiempos]]
 {{matlab|codigo=
 % Input

@@ Línea 468: / Línea 468: @@
 Se puede ver cómo en la izquierda el flujo comienza a ser negativo, lo que implica que el calor se desplaza hacia la izquierda en dicho punto, y en la derecha comienza siendo positivo, lo que implica que en dicho punto se mueve hacia la derecha. Esto nos describe de nuevo el fenómeno enunciado de cómo el calor se va escapando por los extremos. A medida que se recorre el eje temporal en ambas gráficas se ve como cada vez se escapa menos calor hasta que el flujo es cero; ni entra ni sale calor. Este comportamiento hace referencia a cuando se alcanza el estado estacionario de temperatura igual a cero y no hay transferencia de energía en ningún sentido.
-=Modificación de la condicione frontera=
+=Modificación de las condiciones frontera=
 Tras la modificación de la condición inicial, veamos como influyen las condiciones frontera de distinto tipo. Pongamos ahora una condición del tipo <math> T_x=0</math> en el extremo derecho. La interpretación física de esta condición sería la de aislar el extremo derecho para que no entre ni salga calor a través de este, ya que el flujo es nulo.
 <center>

@@ Línea 244: / Línea 244: @@
 En ambas gráficas se puede ver que el flujo es siempre negativo, por lo que el calor va en el sentido negativo del eje <math>X</math>, es decir, el calor va del extremo derecho de la barra al izquierdo. Por tanto, esto coincide con el sentido físico que comentábamos en el apartado anterior. Otro hecho relevante es que la gráfica correspondiente al flujo en el extremo derecho para <math>t=0</math> hay una asíntota vertical. Esto se debe a la discontinuidad en la función temperatura en esta frontera (recordemos <math>T(x,0)=0</math> y <math>T(1,t)=1</math> si <math>t>0</math>) ya que para que la temperatura cambie de forma instantánea necesitaríamos "una cantidad infinita de energía". Posteriormente, el flujo se va reduciendo con el tiempo. La interpretación física de esta moderación es que al principio encontramos una gran diferencia de temperatura en un entorno del extremo derecho. Por tanto, por la Ley de Fourier debe de haber un flujo de calor de derecha a izquierda. Esto provoca un aumento en la temperatura en dichos puntos y con ello la diferencia mencionada va disminuyendo. Como esta es cada vez menor, el flujo entrante es menor también. En cuanto al extremo izquierdo podemos ver que en el instante inicial el flujo es nulo, ya que en un entorno de este punto la temperatura es constante. Según avanza el tiempo, debido a esa entrada de calor por el extremo derecho la temperatura en dicho entorno deja de ser constante, lo que provoca el flujo de calor de la zona más caliente a la más fría. Como dicha diferencia es cada vez mayor, el flujo aumenta con el tiempo hasta que se estabiliza en <math>q(0,t)=-1</math>. Es importante recalcar que este es precisamente el mismo valor al que tiende el flujo en el otro extremo de la barra. Esto se debe a que se llega a la solución estacionaria previamente calculada, en la que la temperatura no es constante a lo largo del intervalo. Por un lado, al ser la solución estacionaria no puede haber variación de temperatura, por lo que el flujo debe ser igual en ambos extremos. Si hubiera una diferencia neta entre ambos valores, habría al menos un punto en la barra que es una fuente o sumidero de calor; se enfría o calienta respectivamente. Por otro lado, al ser una solución estacionaria en el que la temperatura no es constante a lo largo de la barra debe de existir un flujo no nulo en los extremos. Si este fuera nulo, tendríamos una barra aislada y su temperatura tendería a igualarse.
-=Efecto modificación coeficiente de difusión=
+= Modificación del coeficiente de difusión=
 Lo que hemos visto hasta ahora es la resolución matemática del problema Cauchy de un ejemplo en concreto y la comprensión física del fenómeno que modeliza. Sin embargo, como ya adelantamos en la primera sección del documento, otro de nuestros objetivos era estudiar el efecto que tenían la variación de los distintos parámetros en la solución final del problema. En este caso veremos cómo cambia esta según lo hace el coeficiente de difusión.

@@ Línea 361: / Línea 361: @@
 Ahora sí podemos ver que para un coeficiente de difusión mayor la diferencia de las temperaturas se acerca más rápido a 0 que en la otra ,es decir, que tiende más rápido a la solución estacionaria. Por tanto, se puede afirmar que la diferencia entre ambas situaciones radica en la velocidad del proceso. Esto cuadra con nuestra intuición física del problema, pues como se ha mencionado en [[Ecuación del calor (CGomJRod)#Preliminares|preliminares]] a mayor conductividad térmica más fácil es para el calor atravesar el material del que está hecho la barra y por tanto más rápido es el proceso descrito. Como dicho coeficiente ha disminuido a la mitad, el material con el que está hecha la segunda barra es peor conductor del calor y por tanto el proceso es más lento que en el primer caso, como se ha podido observar en la gráfica.
-=Efecto modificación de la condición inicial=
+=Modificación de la condición inicial=
 Tras visualizar el efecto que tiene la modificación del coeficiente de difusión, veamos el efecto de un cambio en la condición inicial. Tomemos ahora el siguiente problema.
 <center>