Ecuación del calor (ADMR) - Historial de revisiones

Marcos Cabellos: /* Análisis de los errores */

2025-03-19T17:24:12Z

‎Análisis de los errores

Daniel Rodríguez Calderón: /* Coeficiente de difusión */

2025-03-19T16:30:27Z

‎Coeficiente de difusión

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Daniel Rodríguez Calderón: /* Análisis de los errores */

2025-03-19T13:28:48Z

‎Análisis de los errores

Daniel Rodríguez Calderón: /* Coeficiente de difusión */

2025-03-19T13:25:19Z

‎Coeficiente de difusión

Daniel Rodríguez Calderón: /* Códigos */

2025-03-19T07:38:58Z

‎Códigos

Daniel Rodríguez Calderón: /* Códigos */

2025-03-19T07:38:35Z

‎Códigos

Daniel Rodríguez Calderón: /* Coeficiente de difusión */

2025-03-19T07:37:36Z

‎Coeficiente de difusión

Daniel Rodríguez Calderón: /* Coeficiente de difusión */

2025-03-19T07:37:15Z

‎Coeficiente de difusión

Marcos Cabellos: /* Coeficiente de difusión */

2025-03-18T23:08:34Z

‎Coeficiente de difusión

Marcos Cabellos: /* Análisis de los errores */

2025-03-18T23:06:55Z

‎Análisis de los errores

@@ Línea 101: / Línea 101: @@
 {|style="margin: 0 auto;"
-| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNo.jpeg|550px|thumb|upright|Con dominio fijo, el error en escala logarítmica entre solución no acotada y sistema Dirichlet decae incluso con el paso del tiempo. Esto encaja con que el estado estacionario de Dirichlet será la constante de temperatura nula, al igual que la convolución con la solución fundamental.]]
+| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores9.jpg|550px|thumb|upright|Con dominio fijo, el error en escala logarítmica entre solución no acotada y sistema Dirichlet decae incluso con el paso del tiempo. Esto encaja con que el estado estacionario de Dirichlet será la constante de temperatura nula, al igual que la convolución con la solución fundamental.]]
 | [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores NoNe.jpeg|550px|thumb|upright|Con condiciones análogas en frontera Neumann, el resultado es igualmente excelente para aproximar el caso no acotado. Aunque en el caso Neumann la solución estacionaria no sea nula, sino un reparto equitativo del calor inicial, cuando el rango es suficientemente amplio, la aproximación será adecuada.]]
 |}

@@ Línea 117: / Línea 117: @@
 [[Archivo:Convoluciones_teorica.gif|500px|thumb|right|Soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión.]]
-En el caso unidimensional acotado con solución
+Tanto las soluciones del caso unidimensional no acotado como las del acotado  -que pueden reformularse considerando <math/> D <math/> en su exponencial, o aproximando por la sección anterior-  podemos ver que un mayor coeficiente <math/> D <math/> acelera el decaimiento de la exponencial por lo que tendrá un efecto similar, justificándose su nombre.
-−
-−
 <math>
-u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-D (n\pi)^2 t} \sin(n\pi x).
-</math>
-−
-−
-Podemos ver que un mayor coeficiente <math/> D <math/> acelera el decaimiento de la exponencial por lo que tendrá un efecto similar justificando su nombre.
 = Códigos =

@@ Línea 83: / Línea 83: @@
 === Análisis de los errores ===
-[[Archivo:GrupoADMR Calor Errores1.jpg|550px|thumb|right| Representación gráfica de las soluciones del problema acotado (<math>a = b = 20</math>) y no acotado truncando las series de Fourier en su término <math>100</math>, para un tiempo máximo de <math>1</math>; y de sus errores. Nótese el orden de magnitud de los errores -pequeño-, los picos generados por los errores numéricos dados por la fórmula del trapecio y la suavidad en la frontera dada por las condiciones en esta.]]
+[[Archivo:GrupoADMR Calor Errores1.jpg|750px|thumb|right| Representación gráfica de las soluciones del problema acotado (<math>a = b = 20</math>) y no acotado truncando las series de Fourier en su término <math>100</math>, para un tiempo máximo de <math>1</math>; y de sus errores. Nótese el orden de magnitud de los errores -pequeño-, los picos generados por los errores numéricos dados por la fórmula del trapecio y la suavidad en la frontera dada por las condiciones en esta.]]
 Consideramos los parámetros, donde <math> n </math> es el término de la serie de Fourier donde truncamos:
@@ Línea 94: / Línea 94: @@
 {|style="margin: 0 auto;"
-| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxD.jpeg|250px|thumb|upright|Con <math>t_{max}=1</math>, vamos obteniendo errores máximos en escala logarítmica con diferentes longitudes y truncamientos entre la solución del problema no acotado y el acotado Dirichlet. Los errores son bastante pequeños si se toman suficientes términos de la serie y una discretización espacial adecuada (en otro caso, aunque no esté representado en esta versión final, los errores divergen)]]
+| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxD.jpeg|550px|thumb|upright|Con <math>t_{max}=1</math>, vamos obteniendo errores máximos en escala logarítmica con diferentes longitudes y truncamientos entre la solución del problema no acotado y el acotado Dirichlet. Los errores son bastante pequeños si se toman suficientes términos de la serie y una discretización espacial adecuada (en otro caso, aunque no esté representado en esta versión final, los errores divergen).]]
-| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxNe.jpeg|250px|thumb|upright|Análogo a la figura adyacente. Nótese que ambas son buenas aproximaciones con suficiente longitud y términos de la serie.]]
+| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxNe.jpeg|550px|thumb|upright|Análogo a la figura adyacente. Nótese que ambas son buenas aproximaciones con suficiente longitud y términos de la serie.]]
 |}
@@ Línea 101: / Línea 101: @@
 {|style="margin: 0 auto;"
-| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNo.jpeg|250px|thumb|upright|Con dominio fijo, el error en escala logarítmica entre solución no acotada y sistema Dirichlet decae incluso con el paso del tiempo. Esto encaja con que el estado estacionario de Dirichlet será la constante de temperatura nula, al igual que la convolución con la solución fundamental.]]
+| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNo.jpeg|550px|thumb|upright|Con dominio fijo, el error en escala logarítmica entre solución no acotada y sistema Dirichlet decae incluso con el paso del tiempo. Esto encaja con que el estado estacionario de Dirichlet será la constante de temperatura nula, al igual que la convolución con la solución fundamental.]]
-| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores NoNe.jpeg|250px|thumb|upright|Con condiciones análogas en frontera Neumann, el resultado es igualmente excelente para aproximar el caso no acotado. Aunque en el caso Neumann la solución estacionaria no sea nula, sino un reparto equitativo del calor inicial, cuando el rango es suficientemente amplio, la aproximación será adecuada.]]
+| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores NoNe.jpeg|550px|thumb|upright|Con condiciones análogas en frontera Neumann, el resultado es igualmente excelente para aproximar el caso no acotado. Aunque en el caso Neumann la solución estacionaria no sea nula, sino un reparto equitativo del calor inicial, cuando el rango es suficientemente amplio, la aproximación será adecuada.]]
-| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNe.jpeg|250px|thumb|upright|Podemos ver además que ambos sistemas se asemejan cada vez más, por lo que ambas aproximaciones son igualmente útiles para el caso no acotado.]]
+|}
 |}

@@ Línea 108: / Línea 108: @@
 =Coeficiente de difusión=
-[[Archivo:Fundamental.gif|300px|thumb|right|Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial <math/> 0.01, <math/> esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.]]
+[[Archivo:Fundamental.gif|500px|thumb|right|Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial <math/> 0.01, <math/> esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.]]
 Interpretemos el valor de <math/> D <math/> aprovechando el montaje físico anterior. Numéricamente vemos que cuanto mayor es este coeficiente más rápido se difunde el calor, evidenciado en la caída de la solución en tiempos cada vez más cortos.

@@ Línea 184: / Línea 184: @@
 end
 </source>
 <source lang="matlab">

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Línea 185:		Línea 185:
	</source>		</source>

−	~~[[Archivo:Convoluciones_teorica.gif\|500px\|thumb\|right\|Soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión.]]~~

	<source lang="matlab">		<source lang="matlab">

@@ Línea 118: / Línea 118: @@
 <math>
-u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-D (n\pi)^2 t} \sin(n\pi x),
+u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-D (n\pi)^2 t} \sin(n\pi x).
 </math>

@@ Línea 110: / Línea 110: @@
 [[Archivo:Fundamental.gif|300px|thumb|right|Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial <math/> 0.01, <math/> esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.]]
-Vamos a interpretar como influye exactamente el coeficiente de difusión en la solución de la ecuación del calor. Imaginemos por un segundo que tenemos varias barras (cada una de un material diferente) y queremos estudiar como se difunde el calor a través de cada una de ellas. Usando Matlab podemos calcular y representar fácilmente la solución del problema para diferentes valores del coeficiente de difusión, que denotaremos por <math/> D <math/>.
+Interpretemos el valor de <math/> D <math/> aprovechando el montaje físico anterior. Numéricamente vemos que cuanto mayor es este coeficiente más rápido se difunde el calor, evidenciado en la caída de la solución en tiempos cada vez más cortos.
-−
-## Interpretemos el valor de <math/> D <math/> aprovechando el montaje físico anterior. Numéricamente vemos que cuanto mayor es este coeficiente más rápido se difunde el calor, evidenciado en la caída de la solución en tiempos cada vez más cortos.
 [[Archivo:Convoluciones_teorica.gif|500px|thumb|right|Soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión.]]
-Como se puede observar en la animación, fijado un tiempo, a medida que crece el valor del coeficiente de difusión el pico de la solución fundamental se va haciendo más cada vez más pequeño, es decir, a mayor coeficiente de difusión, menor es el tiempo que tarda en expandirse el calor. De hecho, podemos observar este hecho directamente de la expresión de la solución fundamental del calor. La solución de la ecuación del calor unidimensional en una barra de longitud \( L = 1 \), con coeficiente de difusión \( D \) y condición inicial dada por una función gaussiana \( f(x) = e^{-x^2} \), se expresa como una serie de Fourier:
+En el caso unidimensional acotado con solución
-−
-## En el caso unidimensional acotado con solución
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-[Solución que depende de D]- [Viendo la solución del apartado 3 me estoy dando cuenta que también depende de la longitud de la barra, si estuviésemos trabajando con el problema acotado podríamos ver como afectan estos dos parámetros al tiempo de difusión]
+Podemos ver que un mayor coeficiente <math/> D <math/> acelera el decaimiento de la exponencial por lo que tendrá un efecto similar justificando su nombre.
-−
-Tomando el límite de D tendiendo a <math/> \infty <math/> vemos que u(x,t) tiende a 0, fijado un t determinado. Por tanto, podemos concluir que la solución del calor alcanzará el estado estacionario antes si su coeficiente del calor es mayor.
-−
-## Podemos ver que un mayor coeficiente <math/> D <math/> acelera el decaimiento de la exponencial por lo que tendrá un efecto similar justificando su nombre.
 = Códigos =