Ecuación de ondas. Grupo C2 - Historial de revisiones

Javier Parras: /* Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía */

2015-05-21T20:45:46Z

‎Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía

Javier Parras: /* Cálculo de la energía */

2015-05-21T20:44:50Z

‎Cálculo de la energía

Javier Parras: /* Método de Heun */

2015-05-21T20:44:06Z

‎Método de Heun

Javier Parras: /* Método de Heun */

2015-05-21T20:43:50Z

‎Método de Heun

Javier Parras: /* Método de Euler explícito */

2015-05-21T20:43:13Z

‎Método de Euler explícito

Javier Parras: /* Método del trapecio */

2015-05-21T20:42:17Z

‎Método del trapecio

Javier Parras: /* Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía */

2015-05-13T21:56:46Z

‎Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía

Javier Parras: /* Método de Heun */

2015-05-13T21:56:07Z

‎Método de Heun

Javier Parras: /* Método de Euler explícito */

2015-05-13T21:55:07Z

‎Método de Euler explícito

Javier Parras: /* Método del trapecio */

2015-05-13T21:54:35Z

‎Método del trapecio

@@ Línea 374: / Línea 374: @@
 Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.
 {{matlab|codigo=
 clear all, clf
@@ Línea 447: / Línea 448: @@
 hold off
 }}
 En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

@@ Línea 250: / Línea 250: @@
 Para ello hemos utilizado la resolución de la ecuación de ondas por el método de diferencias finitas, añadiendo lo necesario para representar la gráfica de la energía.
 {{matlab|codigo=
 clear all, clf
@@ Línea 316: / Línea 318: @@
 }}
 De la gráfica resultante vemos que la energía mecánica es constante. La única fuerza que hay es la tensión propia del cable. La energía que hay al principio es potencial, transformándose según avanza el tiempo en cinética, y luego esta misma en potencial, por lo que se complementan la una con la otra, manteniéndose la energía mecánica total constante en todo tiempo.

@@ Línea 186: / Línea 186: @@
 Realizamos el mismo problema, utilizando el método de Heun. El código MatLab es el siguiente:
-[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
+[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
 {{matlab|codigo=
 clear all

@@ Línea 186: / Línea 186: @@
 Realizamos el mismo problema, utilizando el método de Heun. El código MatLab es el siguiente:
 {{matlab|codigo=
 clear all
@@ Línea 239: / Línea 240: @@
 xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
 }}
 Como podemos observar en la gráfica y al igual que en el caso del método de Euler explícito, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Heun es también un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de  <math>10^{306}</math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que tampoco podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.

@@ Línea 129: / Línea 129: @@
 Ahora vamos a realizar el mismo problema anterior, utilizando el método de Euler explícito. El código MatLab es el siguiente:
 {{matlab|codigo=
 clear all
@@ Línea 178: / Línea 180: @@
 xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
 }}
 Como podemos observar en la gráfica, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Euler utilizado, a diferencia del método del Trapecio, es un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de <math> 10^{136} </math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que no podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.

@@ Línea 73: / Línea 73: @@
 Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.
 {{matlab|codigo=
 clear all
@@ Línea 122: / Línea 123: @@
 xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
 }}
 En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

@@ Línea 455: / Línea 455: @@
 hold off
 }}
-[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
+[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
 En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

@@ Línea 182: / Línea 182: @@
 }}
-[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
+El resultado es el siguiente:
 Como podemos observar en la gráfica, no tiene nada que ver esta solución a la calculada anteriormente con el método del Trapecio. Esto es debido a que el método de Euler utilizado, a diferencia del método del Trapecio, es un método explícito. Nuestra gráfica aparece de este modo debido a que el método no converge. Se puede apreciar mirando en los valores de la posición de la onda, que son del orden de <math> 10^{136} </math> , obviamente valores no razonables. Es por esto que no podemos utilizar este método para la resolución de nuestro problema.