Ecuación de Ondas aplicada a un Cable - Historial de revisiones

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2015-05-14T16:24:49Z

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JM Alonso de Caso en 21:15 12 may 2015

2015-05-12T21:15:59Z

JM Alonso de Caso en 17:10 11 may 2015

2015-05-11T17:10:20Z

JM Alonso de Caso en 17:09 11 may 2015

2015-05-11T17:09:20Z

JM Alonso de Caso en 17:07 11 may 2015

2015-05-11T17:07:57Z

JM Alonso de Caso: /* Euler explícito */

2015-05-11T16:40:23Z

‎Euler explícito

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

JM Alonso de Caso en 20:26 9 may 2015

2015-05-09T20:26:48Z

JM Alonso de Caso en 20:25 9 may 2015

2015-05-09T20:25:30Z

JM Alonso de Caso: /* Cable tensado y ondas */

2015-05-07T10:25:45Z

‎Cable tensado y ondas

JM Alonso de Caso en 17:34 4 may 2015

2015-05-04T17:34:13Z

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Línea 2:		Línea 2:

	=Cable tensado y ondas=		=Cable tensado y ondas=
−
−	Se nos presenta un cable utilizado para estructura civiles de longitud '''L=10m''', con una sección que se nos permite despreciar con respecto a su longitud. Además, las vibraciones que este sufre se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas.
−	Expresaremos como el desplazamiento vertical la función <math>u(x,t)</math> que sufren los distintos puntos del cable en función de su posición a lo largo del mismo (discretizados en <math>x ∈ [0,L] </math>) y en distintos instantes de tiempo '''t'''.
−
−	Inicialmente, el cable se encuentra en un medio de viscosidad nula. Por ello, en la ecuación ya mencionada no aparece ningún término que amortigüe el desplazamiento de los puntos del cable. El cable se encuentra sujeto por ambos extremos, lo que nos facilita las primeras condiciones de frontera (condiciones Dirichlet). Concretamente, establecemos que tanto el desplazamiento del extremo izquierdo (x=0) como el extremo derecho (x=10) son nulos.
−
−	Se considera que el cable es perfectamente homogéneo en toda su longitud. Por tanto, no existen imperfecciones que alteren su comportamiento. Consecuentemente, la función a la que igualamos nuestra ecuación de ondas '''f(x)''' es nula. REVISAR: En el caso de que nuestro cable presentara alguna anomalía, ésta debería ser reflejada en la función anterior.
−
−	Si las vibraciones que sufre el cable son lo suficientemente pequeñas, la función <math>u(x,t)</math> satisface la ecuación de ondas <math>u_tt - u_xx=f(x)</math>. El sistema completo que muestra la situación del cable es el siguiente:
−
−	~~<math>~~
−	~~u_tt - u_xx=f(x)</math>~~
−	~~<math>u(0,t)=0</math>~~
−	~~<math>u(L,t)=0</math>~~
−	~~<math>u(x,0)=h_0(x)~~
−	~~</math>~~
−
−	~~==Euler explícito==~~
−	~~{{matlab\|codigo=~~
−	~~clear all~~
−	~~a=0; b=10;~~
−	~~h=0.1;~~
−	~~x=a:h:b;~~
−	~~N=round(b-a)/h;~~
−	~~%Condiciones de Contorno~~
−	~~ua=0; ub=0;~~
−	~~xx=x(2:N); %Extraemos los elementos interiores del vector x~~
−	~~xx=xx';%Trasponemos el vector para poder utilizarlo en el sistema~~
−	~~U0=zeros(size(xx)); %Generamos un vector de ceros al que luego introduciremos los valores de la función según el punto del cable en el que nos encontremos~~
−	~~n=length(xx);~~
−	~~for i=1:n~~
−	~~if xx(i)<=10/3~~
−	~~U0(i)=(3/10)*xx(i); %Condición Inicial Posición: Función a ejecutar si x<=10/3~~
−	~~else~~
−	~~U0(i)=1.5-(3/20)*xx(i); %Condición Inicial Posición: Función a ejecutar si x>10/3~~
−	~~end~~
−	~~end~~
−	~~V0=0*xx; %Condición Inicial Velocidad~~
−	~~K=1/h^2(2diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1)); %Matriz de coeficientes del sistema~~
−	~~F=0*xx;~~
−	~~%Añadimos el primer y último elemento de las condiciones iniciales~~
−	~~F(1)=F(1)+ua/h^2; %Extremo izquierdo (x=0)~~
−	~~F(end)=F(end)+ub/h^2; %Extremo derecho (x=10)~~
−	~~%Procedemos a la discretización del tiempo~~
−	~~t0=0; tM=40;~~
−	~~k=h;~~
−	~~t=t0:k:tM;~~
−	~~M=(tM-t0)/k;~~
−	~~%El sistema a resolver es W'=LW+G, W(0)=W(super)0~~
−	~~W0=[U0;V0]; %Valor Inicial Sistema de orden 1~~
−	~~G=[zeros(size(xx));F]; %Vector término independiente Sistema de orden 1~~
−	~~L=[zeros(size(K)),eye(size(K));-K,zeros(size(K))];~~
−	~~%RESOLUCIÓN DEL SISTEMA (Por Euler Explícito)~~
−	~~sol(:,1)=W0;~~
−	~~for j=1:M~~
−	~~sol(:,j+1)=sol(:,j)+k(Lsol(:,j)+G);~~
−	~~end~~
−	~~sol=sol(1:N-1,:);~~
−	~~%Tomamos las N-1 primeras filas e incluimos las condiciones de contorno~~
−	~~UA=ua*ones(1,length(t));~~
−	~~UB=ub*ones(1,length(t));~~
−	~~sol=[UA;sol;UB];~~
−	~~%Hay que tomar la parte que afecta a los primeros L/3 del cable de sol1 y~~
−	~~%la parte que afecta al resto del cable de sol2~~
−	~~[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);~~
−	~~set(gcf,'renderer','painters');~~
−	~~mesh(Mx,Mt,sol)~~
−	}}
−
−	~~==Método de Heun==~~
−	~~{{matlab\|codigo=~~
−	~~clear all~~
−	~~a=0; b=10;~~
−	~~h=0.1;~~
−	~~x=a:h:b;~~
−	~~N=round(b-a)/h;~~
−	~~%Condiciones de Contorno~~
−	~~ua=0; ub=0;~~
−	~~xx=x(2:N); %Extraemos los elementos interiores del vector x~~
−	~~xx=xx';%Trasponemos el vector para poder utilizarlo en el sistema~~
−	~~U0=zeros(size(xx)); %Generamos un vector de ceros al que luego introduciremos los valores de la función según el punto del cable en el que nos encontremos~~
−	~~n=length(xx);~~
−	~~for i=1:n~~
−	~~if xx(i)<=10/3~~
−	~~U0(i)=(3/10)*xx(i); %Condición Inicial Posición: Función a ejecutar si x<=10/3~~
−	~~else~~
−	~~U0(i)=1.5-(3/20)*xx(i); %Condición Inicial Posición: Función a ejecutar si x>10/3~~
−	~~end~~
−	~~end~~
−	~~V0=0*xx; %Condición Inicial Velocidad~~
−	~~K=1/h^2(2diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1)); %Matriz de coeficientes del sistema~~
−	~~F=0*xx;~~
−	~~%Añadimos el primer y último elemento de las condiciones iniciales~~
−	~~F(1)=F(1)+ua/h^2; %Extremo izquierdo (x=0)~~
−	~~F(end)=F(end)+ub/h^2; %Extremo derecho (x=10)~~
−	~~%Procedemos a la discretización del tiempo~~
−	~~t0=0; tM=40;~~
−	~~k=h;~~
−	~~t=t0:k:tM;~~
−	~~M=(tM-t0)/k;~~
−	~~%El sistema a resolver es W'=LW+G, W(0)=W(super)0~~
−	~~W0=[U0;V0]; %Valor Inicial Sistema de orden 1~~
−	~~G=[zeros(size(xx));F]; %Vector término independiente Sistema de orden 1~~
−	~~L=[zeros(size(K)),eye(size(K));-K,zeros(size(K))];~~
−	~~%RESOLUCIÓN DEL SISTEMA (Por Euler Explícito)~~
−	~~sol(:,1)=W0;~~
−	~~for j=1:M~~
−	~~K1=L*sol(:,j)+G;~~
−	~~K2=sol(:,j)+K1*k;~~
−	~~sol(:,j+1)=sol(:,j)+k/2*(K1+K2);~~
−	~~end~~
−	~~sol=sol(1:N-1,:);~~
−	~~%Tomamos las N-1 primeras filas e incluimos las condiciones de contorno~~
−	~~UA=ua*ones(1,length(t));~~
−	~~UB=ub*ones(1,length(t));~~
−	~~sol=[UA;sol;UB];~~
−	~~%Hay que tomar la parte que afecta a los primeros L/3 del cable de sol1 y~~
−	~~%la parte que afecta al resto del cable de sol2~~
−	~~[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);~~
−	~~set(gcf,'renderer','painters');~~
−	~~mesh(Mx,Mt,sol)~~
−	}}
−
−	~~[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]~~
−	~~[[Categoría:ED14/15]]~~
−	~~[[Categoría:Trabajos 2014-15]]~~

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	mesh(Mx,Mt,sol)		mesh(Mx,Mt,sol)
	}}		}}
		+
		+	[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
		+	[[Categoría:ED14/15]]
		+	[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

@@ Línea 72: / Línea 72: @@
 ==Método de Heun==
-{{matlabIcodigo=
+{{matlab|codigo=
 clear all
 a=0; b=10;

@@ Línea 72: / Línea 72: @@
 ==Método de Heun==
-{{matlabcodigo=
+{{matlabIcodigo=
 clear all
 a=0; b=10;

@@ Línea 58: / Línea 58: @@
 for j=1:M
      sol(:,j+1)=sol(:,j)+k*(L*sol(:,j)+G);
 end
 sol=sol(1:N-1,:);

@@ Línea 25: / Línea 25: @@
 h=0.1;
 x=a:h:b;
-N=(b-a)/h;
+N=round(b-a)/h;
 %Condiciones de Contorno
 ua=0; ub=0;
 xx=x(2:N); %Extraemos los elementos interiores del vector x
-xx=xx'; %Trasponemos el vector para poder utilizarlo en el sistema
+xx=xx';%Trasponemos el vector para poder utilizarlo en el sistema
-U01=3/10*xx; %Condición Inicial Posición: Función a ejecutar si x<=10/3
+U0=zeros(size(xx)); %Generamos un vector de ceros al que luego introduciremos los valores de la función según el punto del cable en el que nos encontremos
-U02=1.5-3/20*xx; %Condición Inicial Posición: Función a ejecutar si x>10/3
+n=length(xx);
 V0=0*xx; %Condición Inicial Velocidad
 K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1)); %Matriz de coeficientes del sistema
@@ Línea 43: / Línea 50: @@
 t=t0:k:tM;
 M=(tM-t0)/k;
-%El sistema a resolver es W'=LW+G, W(0)=W(super)0 (tenemos 2 sistemas, uno
+%El sistema a resolver es W'=LW+G, W(0)=W(super)0
-%para U01 y otro para U02)
+W0=[U0;V0]; %Valor Inicial Sistema de orden 1
-W01=[U01;V0]; %Valor Inicial Sistema de orden 1
-W02=[U02;V0];
 G=[zeros(size(xx));F]; %Vector término independiente Sistema de orden 1
 L=[zeros(size(K)),eye(size(K));-K,zeros(size(K))];
 %RESOLUCIÓN DEL SISTEMA (Por Euler Explícito)
-sol1(:,1)=W01;
+sol(:,1)=W0;
-sol2(:,1)=W02;
+for j=1:M
-for i=1:M
+     sol(:,j+1)=sol(:,j)+k*(L*sol(:,j)+G);
-     sol1(:,i+1)=sol1(:,i)+k*(L*sol1(:,i)+G);
-    sol2(:,i+1)=sol2(:,i)+k*(L*sol2(:,i)+G);
 end
-sol1=sol1(1:N-1,:);
+sol=sol(1:N-1,:);
-sol2=sol2(1:N-1,:);
 %Tomamos las N-1 primeras filas e incluimos las condiciones de contorno
 UA=ua*ones(1,length(t));
 UB=ub*ones(1,length(t));
-sol1=[UA;sol1;UB];
+sol=[UA;sol;UB];
-sol2=[UA;sol2;UB];
 %Hay que tomar la parte que afecta a los primeros L/3 del cable de sol1 y
 %la parte que afecta al resto del cable de sol2
 }}

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Línea 18:		Línea 18:
	<math>u(x,0)=h_0(x)		<math>u(x,0)=h_0(x)
	</math>		</math>
		+
		+
		+	{{matlab\|codigo=
		+	clear all
		+	a=0; b=10;
		+	h=0.1;
		+	x=a:h:b;
		+	N=(b-a)/h;
		+	%Condiciones de Contorno
		+	ua=0; ub=0;
		+	xx=x(2:N); %Extraemos los elementos interiores del vector x
		+	xx=xx'; %Trasponemos el vector para poder utilizarlo en el sistema
		+	U01=3/10*xx; %Condición Inicial Posición: Función a ejecutar si x<=10/3
		+	U02=1.5-3/20*xx; %Condición Inicial Posición: Función a ejecutar si x>10/3
		+	V0=0*xx; %Condición Inicial Velocidad
		+	K=1/h^2(2diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1)); %Matriz de coeficientes del sistema
		+	F=0*xx;
		+	%Añadimos el primer y último elemento de las condiciones iniciales
		+	F(1)=F(1)+ua/h^2; %Extremo izquierdo (x=0)
		+	F(end)=F(end)+ub/h^2; %Extremo derecho (x=10)
		+	%Procedemos a la discretización del tiempo
		+	t0=0; tM=40;
		+	k=h;
		+	t=t0:k:tM;
		+	M=(tM-t0)/k;
		+	%El sistema a resolver es W'=LW+G, W(0)=W(super)0 (tenemos 2 sistemas, uno
		+	%para U01 y otro para U02)
		+	W01=[U01;V0]; %Valor Inicial Sistema de orden 1
		+	W02=[U02;V0];
		+	G=[zeros(size(xx));F]; %Vector término independiente Sistema de orden 1
		+	L=[zeros(size(K)),eye(size(K));-K,zeros(size(K))];
		+	%RESOLUCIÓN DEL SISTEMA (Por Euler Explícito)
		+	sol1(:,1)=W01;
		+	sol2(:,1)=W02;
		+	for i=1:M
		+	sol1(:,i+1)=sol1(:,i)+k(Lsol1(:,i)+G);
		+	sol2(:,i+1)=sol2(:,i)+k(Lsol2(:,i)+G);
		+	end
		+	%HEUN: k11=3/10sol1(:,i),k12=1.5-3/20sol2(:,i),k21=
		+	sol1=sol1(1:N-1,:);
		+	sol2=sol2(1:N-1,:);
		+	%Tomamos las N-1 primeras filas e incluimos las condiciones de contorno
		+	UA=ua*ones(1,length(t));
		+	UB=ub*ones(1,length(t));
		+	sol1=[UA;sol1;UB];
		+	sol2=[UA;sol2;UB];
		+	%Hay que tomar la parte que afecta a los primeros L/3 del cable de sol1 y
		+	%la parte que afecta al resto del cable de sol2
		+	}}

@@ Línea 3: / Línea 3: @@
 =Cable tensado y ondas=
-Se nos presenta un cable utilizado para estructura civiles (vease, cable para un puente colgante) de longitud '''L=10m''', con una sección que se nos permite despreciar con respecto a su longitud. Además, las vibraciones que este sufre se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas.
+Se nos presenta un cable utilizado para estructura civiles de longitud '''L=10m''', con una sección que se nos permite despreciar con respecto a su longitud. Además, las vibraciones que este sufre se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas.
-Expresaremos la función <math>u(x,t)</math> como el desplazamiento vertical que sufren los distintos puntos del cable en función de su posición a lo largo del mismo (discretizados en <math>x ∈ [0,L] </math>) y en distintos instantes de tiempo '''t'''.
+Expresaremos como el desplazamiento vertical  la función <math>u(x,t)</math>  que sufren los distintos puntos del cable en función de su posición a lo largo del mismo (discretizados en <math>x ∈ [0,L] </math>) y en distintos instantes de tiempo '''t'''.
-Inicialmente, el cable se encuentra en un medio de viscosidad nula. Por ello, en la ecuación ya mencionada no aparece ningún término que amortigüe el desplazamiento de los puntos del cable. El cable se encuentra sujeto por ambos extremos, lo que nos facilita las primeras condiciones de frontera (Dirichlet). Concretamente, establecemos que tanto el desplazamiento del extremo izquierdo (x=0) como el extremo derecho (x=10) son nulos.
+Inicialmente, el cable se encuentra en un medio de viscosidad nula. Por ello, en la ecuación ya mencionada no aparece ningún término que amortigüe el desplazamiento de los puntos del cable. El cable se encuentra sujeto por ambos extremos, lo que nos facilita las primeras condiciones de frontera (condiciones Dirichlet). Concretamente, establecemos que tanto el desplazamiento del extremo izquierdo (x=0) como el extremo derecho (x=10) son nulos.
 Se considera que el cable es perfectamente homogéneo en toda su longitud. Por tanto, no existen imperfecciones que alteren su comportamiento. Consecuentemente, la función a la que igualamos nuestra ecuación de ondas '''f(x)''' es nula. REVISAR: En el caso de que nuestro cable presentara alguna anomalía, ésta debería ser reflejada en la función anterior.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 {{ TrabajoED | Ecuación de Ondas aplicada a un Cable. Grupo 2-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Juan Raúl Ruíz Méndez (531); Jaime Enrech Martínez (532); Manuel Mudarra Hernández (551); Jose Manuel Alonso de Caso Gilsanz (618); Guillermo Díaz Rivera (649); Iago Rodriguez Romero (824)  }}
 <math>
-u_tt - u_xx=0</math>
+u_tt - u_xx=f(x)</math>
 <math>u(0,t)=0</math>
 <math>u(L,t)=0</math>
 <math>u(x,0)=h_0(x)
 </math>