Ecuación de Ondas (CGomJRod) - Historial de revisiones

Carlos Gómez: /* Solución Fundamental */

2024-05-27T20:26:52Z

‎Solución Fundamental

Carlos Gómez: /* Condiciones Neumann */

2024-05-27T19:57:29Z

‎Condiciones Neumann

Carlos Gómez: /* Condiciones Dirichlet */

2024-05-27T19:49:31Z

‎Condiciones Dirichlet

Carlos Gómez en 19:40 27 may 2024

2024-05-27T19:40:13Z

Carlos Gómez: /* Condiciones Dirichlet */

2024-05-27T15:10:35Z

‎Condiciones Dirichlet

Carlos Gómez: /* Conocimientos Previos */

2024-05-27T15:06:22Z

‎Conocimientos Previos

Carlos Gómez: /* Introducción */

2024-05-27T14:58:06Z

‎Introducción

Carlos Gómez: /* Introducción */

2024-05-27T14:53:20Z

‎Introducción

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Ejemplo en dimensión 2 */

2024-05-27T14:50:21Z

‎Ejemplo en dimensión 2

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Ejemplo en dimensión 2 */

2024-05-27T14:40:32Z

‎Ejemplo en dimensión 2

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 <center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
-u_{tt} – \Delta u =0
+u_{tt} – c^2\Delta u =0
 \\
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 <br/>
 <br/>
-Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
+Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando <math>\varepsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
-<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
+<center><math>K_{2}^{\varepsilon}(x,t)=\frac{1}{\varepsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
 <math>\textbf{dim=3}</math>
 <center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
-Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
+Para <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
 <center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
-Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
+Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales porque solo depende de <math>|x|</math>. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
 [[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
 {{matlab|codigo=
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 }}
-[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
+[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\varepsilon}(r,t)</math> con <math>\varepsilon=0.01</math>]]
 {{matlab|codigo=
 clear all
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 <center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
-u_{tt} – \Delta u =0
+u_{tt} – c^2\Delta u =0
 \\
@@ Línea 580: / Línea 580: @@
 </math></center>
 donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
-<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
+<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y,t)h(y)\, dy</math></center>
 ==Ejemplo en dimensión 2==
 Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
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 Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
 <center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
 Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
 <center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
 r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
 r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
 \end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
-Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
-<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\epsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
+Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\varepsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
-Podemos ver que la solución no depende de <math>\theta_{x}</math>, es decir, la solución es radial. Esto se debe a que la solución fundamental es radial, y al multiplicarla en el integrando por <math>r_{y}</math> lo sigue siendo. por ello basta obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
-<center><math>u\left(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x})\right)=u(r_{x},0)</math></center>
+<center><math>K_{2}^{\varepsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\varepsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
 Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
 [[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]

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-Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.
+Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos modelizando no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.
 Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

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-La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
+La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo, si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
 <center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>
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 <center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>
-Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse.  Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
+Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos y como la energía ha de conservarse, las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse.  Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,16 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,16 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
 [[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
 {{matlab|codigo=

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		+	[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
		+	[[Categoría:EDP]]
		+	[[Categoría:EDP23/24]]

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-En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF
+En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y "cambian su orientación". Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF:
 [[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
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 Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
-<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.
+<math>f(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.
 [[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]

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 =Conocimientos Previos=
-Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:
+Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos qué modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:
 <center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>
-Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:
+Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> a su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:
 <center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
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 <math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:
-<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
+<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} \left(\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} \sin\left(\frac{k \pi c}{L}t\right)+ u_{0,k}\cos\left(\frac{k\pi c}{L}t\right)\right) \sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) </math></center>
 donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:
-<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>
+<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>
-<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>
+<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>
-Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.
+Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que no hay condiciones frontera. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.
 <math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:

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 =Introducción=
-En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos.  En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.
+En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos.  En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando quitamos las condiciones frontera y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.
 =Conocimientos Previos=