Ecuación de Laplace y ecuación de Poisson - Historial de revisiones

Manuel Fernández en 16:48 19 abr 2024

2024-04-19T16:48:09Z

Manuel Fernández: /* Análisis de la Desigualdad de Harnack */

2024-04-19T16:19:13Z

‎Análisis de la Desigualdad de Harnack

Manuel Fernández: /* Análisis de la Desigualdad de Harnack */

2024-04-19T16:17:38Z

‎Análisis de la Desigualdad de Harnack

Manuel Fernández: /* Análisis del error de la solución por Serie de Fourier */

2024-04-19T16:06:01Z

‎Análisis del error de la solución por Serie de Fourier

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Manuel Fernández: /* Potencial logarítmico */

2024-04-19T11:10:15Z

‎Potencial logarítmico

Manuel Fernández: /* Potencial logarítmico */

2024-04-19T11:09:05Z

‎Potencial logarítmico

Manuel Fernández: /* Potencial logarítmico */

2024-04-19T11:07:47Z

‎Potencial logarítmico

Alfredodlg: /* Ecuación de Poisson */

2024-04-19T11:07:40Z

‎Ecuación de Poisson

Manuel Fernández: /* Potencial logarítmico */

2024-04-19T11:06:58Z

‎Potencial logarítmico

Hugo Sanz Cuenca: /* Planteamiento */

2024-04-19T11:04:40Z

‎Planteamiento

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-{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y ecuación de Poisson. | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez. }}
+{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y ecuación de Poisson.(Grupo 2 1/2) | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez. }}
 == Introducción ==
 En este artículo se trabajará en la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, calculando distintas soluciones en distintos escenarios, graficándolas y modificando parámetros con el objetivo de poder alcanzar una mayor comprensión sobre la teoría de estas ecuaciones en derivadas parciales y relacionarla directamente con los resultados teóricos.

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	Se puede observar como las cotas presentan la misma estructuras independientes del radio de la bola, sin embargo, varía el valor de <math> v(0,0)</math>, es decir, se establece una traslación en la región donde están todas las soluciones armónicas en la respectiva bola y sean iguales a <math> v</math> en <math> (0,0)</math>.		Se puede observar como las cotas presentan la misma estructuras independientes del radio de la bola, sin embargo, varía el valor de <math> v(0,0)</math>, es decir, se establece una traslación en la región donde están todas las soluciones armónicas en la respectiva bola y sean iguales a <math> v</math> en <math> (0,0)</math>.

−	Se debe destacar que en estas gráficas se observa como la región de estas gráficas disminuye considerablemente según se aumenta el radio, ya que si se comparan las gráficas para <math> R=1</math> y <math> R=2</math> y se restringe el intervalo observado a <math> [0,1] </math> la región de las soluciones se ve reducida considerablemente. Esto ocurre de forma más significativa para el caso de <math> R=10</math>.	+	Se debe destacar que en estas gráficas se observa como la región de estas gráficas disminuye considerablemente según se aumenta el radio, ya que si se comparan las gráficas para <math> R=1</math> y <math> R=2</math> y se restringe el intervalo observado al <math> [0,1] </math>, la región de las soluciones se ve reducida considerablemente. Esto ocurre de forma más significativa para el caso de <math> R=10</math>.

← Revisión anterior		Revisión del 16:17 19 abr 2024
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	Se puede observar como las cotas presentan la misma estructuras independientes del radio de la bola, sin embargo, varía el valor de <math> v(0,0)</math>, es decir, se establece una traslación en la región donde están todas las soluciones armónicas en la respectiva bola y sean iguales a <math> v</math> en <math> (0,0)</math>.		Se puede observar como las cotas presentan la misma estructuras independientes del radio de la bola, sin embargo, varía el valor de <math> v(0,0)</math>, es decir, se establece una traslación en la región donde están todas las soluciones armónicas en la respectiva bola y sean iguales a <math> v</math> en <math> (0,0)</math>.
		+
		+	Se debe destacar que en estas gráficas se observa como la región de estas gráficas disminuye considerablemente según se aumenta el radio, ya que si se comparan las gráficas para <math> R=1</math> y <math> R=2</math> y se restringe el intervalo observado a <math> [0,1] </math> la región de las soluciones se ve reducida considerablemente. Esto ocurre de forma más significativa para el caso de <math> R=10</math>.
		+

	Finalmente, vamos a comparar estas cotas con las que se obtendrían para <math> n=3 </math>, donde la cota va a estar definida como:		Finalmente, vamos a comparar estas cotas con las que se obtendrían para <math> n=3 </math>, donde la cota va a estar definida como:

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 [[Archivo: GráficasEj4.3error.png|550px|thumb|center|Representación del error con serie de Fourier]]
-Se ha realizado en función del número de términos. A pesar de que se ha visto en la sección anterior que el único término de la serie de Fourier que afectaba era <math> \beta_{2}</math>, en la gráfica se ve como según se aumentan el número de términos el <math> \log_{10}(error(n)) </math> disminuye. Esto se puede deber a que los coeficientes no son exactamente 0 cuando n suficientemente grande y estamos trabajando en escala logarítmica, por lo que se ve aumentado este cambio en el orden del error.
+Se ha realizado en función del número de términos. A pesar de que se ha visto en la sección anterior que el único término de la serie de Fourier que afectaba era <math> \beta_{2}</math>, en la gráfica se ve como según se aumentan el número de términos el <math> \log_{10}(error(n)) </math> aumenta. Esto se puede deber a que, como se han empleado métodos numéricos, los coeficientes no son exactamente 0 cuando n suficientemente grande y estamos trabajando en escala logarítmica, por lo que el cambio en el orden del error se aprecia mas significativo.
-A pesar de esto, se está hablando de errores de <math> 10^{-15} - 10^{-16} </math>, por ello, se está hablando de errores suficientemente bajos como para ver que la solución es suficientemente próxima a la exacta.
+A pesar de esto, se está hablando de errores de <math> 10^{-15} - 10^{-16} </math>, por ello, se está hablando de errores suficientemente bajos como para considerarlos significativos. Entonces se ve que la solución es suficientemente próxima a la exacta.
-Por otro lado, destacar que para <math> n=1 </math>, la solución presenta un error considerable ya que el único término de la serie de Fourier que se considerará en un futuro, no se calcula para la obtención de la solución.
+Por otro lado, destacar que para <math> n=1 </math>, la solución presenta un error considerable, aproximadamente <math> \frac{1}{2} </math>, ya que el único término de la serie de Fourier que se considerará para que la solución coincida con la exacta, no se ha calculado para esa solución.
-Finalmente destacar, que en detrimento de la solución obtenida mediante la fórmula de Poisson el error es muy pequeño en todo punto de la superficie; por lo tanto, se "arregla" el problema que teníamos para la solución anterior en los puntos próximos a la frontera.
+Finalmente destacar, que en detrimento de la solución obtenida mediante la fórmula de Poisson el error es muy pequeño en todo punto de la superficie; por lo tanto, se "arregla" el problema que se tenía para la solución anterior en los puntos próximos a la frontera.
-Se muestra el código que hemos empleado para el cálculo de errores y la representación de este.
+Se muestra el código empleado para el cálculo de errores y la representación de este.
 {{matlab|codigo=
 % Definimos el radio de la bola unidad.

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 }}
 [[Archivo: Garficassint.jpeg|550px|thumb|center|Representación de la función teórica y la aproximación frente al radio]]
-De esta forma, se puede comprobar que la función se comporta de forma correcta en el infinito. siendo en el infinito como la función asintótica, a continuación se muestra una gráfica del error frente al radio, donde se puede ver mejor cómo se aproxima a la asíntota.
+De esta forma, se puede comprobar que la función se comporta de forma correcta en el infinito, siendo en el infinito como la función asintótica, a continuación se muestra una gráfica del error frente al radio, donde se puede ver mejor cómo se aproxima a la asíntota.
 {{matlab|codigo=
 xlabel('radio')

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 Como se puede observar, la función no tiende a 0 a medida que la norma de la x aumenta, esto es porque el comportamiento asintótico del potencial logarítmico es:
 <center><math> u(x)=-\frac{M}{2\pi} log |x| + O(\frac{1}{|x|})</math></center>
 Cuando <math>|x| \rightarrow \infty</math>, y se ve cómo eso se corresponde con la gráfica, donde
 <center><math> M= \int _{\mathbb{R}^2} f(\mathbf y) d\mathbf y</math></center>
 Al estar integrando sobre la bola unidad, M es <math>\pi</math>, por lo que finalmente la función asintóticamente será
-<center><math> u(x)=-\frac{1}{2} log |x|</math></center>, para ver si se cumple, se coge un radio de la simetría radial, y se ven sus valores a medida que el radio crece, y se comparan sus valores en una gráfica.
+Al estar integrando sobre la bola unidad, M es <math>\pi</math>, por lo que finalmente la función asintóticamente será:
 {{matlab|codigo=
 %Con el mismo planteamiento que antes se elige un radio de la solución para compararlo

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 <math> \Delta u = f </math>
 donde <math>u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> y <math> f \in C^2(\mathbb{R})</math>.
+Se va a trabajar con un ejemplo práctico, donde se verá el comportamiento del potencial logarítmico, y se verá cómo se vomporta cuando la norma del punto tiende a infinito, viendo la diferencia con dicha asíntota.
 En primer lugar se debe definir la solución fundamental del laplaciano.

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 Donde x e y son puntos de <math>{R}^{2}</math>. Para ver como se emplea el potencial Newtoniano en este caso, se ilustra mediante un ejemplo, en el cual se tiene:
 <center><math> \Delta u = f \hspace{0.4cm} x \in {\mathbb{R}^2} </math></center>
-Donde f es la función característica de la bola de radio 1. Para resolver este ejemplo hay varias formas, en primer lugar uno al ver que la función f es la característica de la bola, lo puede plantear como una integral sobre dicha bola en vez de sobre <math>{\mathbb{R}^2}</math>. Para ello, al estar en una simetría radial es interesante realizar un cambio a coordenadas polares , ya que de dicha forma los límite de integración quedan de forma más sencilla. Otra forma, debido a que la integral no se puede resolver de forma analítica y hay que hacerlo de forma numérica con un ordenador, se puede hacer sin realizar dicho cambio. Una de las opciones puede ser definiendo la función característica de la bola, e integrando sobre un cuadrado, pero esto se puede omitir teniendo en cuenta que por la simetría de la función, la integral es proporcional al área en el que se integra, por lo que por facilidad a la hora de resolver el problema se queda:
+Donde f es la función característica de la bola de radio 1. Para resolver este ejemplo hay varias formas, en primer lugar uno al ver que la función f es la característica de la bola, lo puede plantear como una integral sobre dicha bola en vez de sobre <math>{\mathbb{R}^2}</math>. Para ello, al estar en una simetría radial es interesante realizar un cambio a coordenadas polares , ya que de dicha forma los límite de integración quedan de forma más sencilla. Otra forma, debido a que la integral no se puede resolver de forma analítica y que se hace de forma numérica, se puede resolver sin realizar dicho cambio. Una de las opciones puede ser definiendo la función característica de la bola, e integrando sobre un cuadrado, pero esto se puede omitir teniendo en cuenta que por la simetría de la función, la integral es proporcional al área en el que se integra, por lo que por facilidad a la hora de resolver el problema se queda:
 <center><math> -\frac{1}{2\pi}\int_{\partial B_1 0} log|\mathbf{x} - \mathbf{y}| d\mathbf{y} = -\frac{\pi}{4}\frac{1}{2\pi}\int_{-1} ^1 \int_{-1} ^1 log|\mathbf{x} - \mathbf{y}| dx dy </math></center>
-Ya que <math> \frac{\pi}{4} </math> es la razón entre el área de la bola unidad y el cuadrado. Finalmente con ello se obtiene la solución <math>u(x)</math>, y para resolver el ejercicio se plantean dos mallas de puntos, una que represente <math>{\mathbb{R}^2}</math>, y otra que sea un cuadrado de lado 2 centrado en el (0,0). Una vez creadas dichas mallas se evalúa la función en los puntos de la primera malla, integrándolos de forma numérica con los puntos de la segunda. El código que se ha empleado para este procedimiento es
+Ya que <math> \frac{\pi}{4} </math> es la razón entre el área de la bola unidad y el cuadrado de lado 1. Finalmente con ello se obtiene la solución <math>u(x)</math>, y para resolver el ejercicio se plantean dos mallas de puntos, una que represente <math>{\mathbb{R}^2}</math>, y otra que sea un cuadrado de lado 2 centrado en el (0,0). Una vez creadas dichas mallas se evalúa la función en los puntos de la primera malla, integrándolos de forma numérica con los puntos de la segunda.
 {{matlab|codigo=

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 to Theory]</ref>:
-Si <math> \Omega</math> es un dominio acotado y g es una función continua en su frontera, es decir <math>g \in C(\partial \Omega)</math>. Entonces, el problema tiene una única solución <math> u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega)} </math>. Además, sean <math> u_{g_1}  \text{ y }  u_{g_2} </math> las soluciones de los problemas correspondientes con <math> g_1, g_2 \in C(\partial\Omega) </math>. Entonces se tiene:
+'''Teorema.''' Si <math> \Omega</math> es un dominio acotado y g es una función continua en su frontera, es decir <math>g \in C(\partial \Omega)</math>. Entonces, el problema tiene una única solución <math> u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega)} </math>. Además, sean <math> u_{g_1}  \text{ y }  u_{g_2} </math> las soluciones de los problemas correspondientes con <math> g_1, g_2 \in C(\partial\Omega) </math>. Entonces se tiene:
 <math>