Ecuación de Laplace (GRwM) - Historial de revisiones

Marina Jiménez Barrantes: /* Referencias */

2024-04-19T15:38:31Z

‎Referencias

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:49:32Z

‎Error numérico

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:46:35Z

‎Error numérico

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:45:53Z

‎Error numérico

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:40:36Z

‎Error numérico

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:39:54Z

‎Error numérico

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:33:48Z

‎Error numérico

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:31:28Z

‎Error numérico

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:28:37Z

‎Error numérico

Rocío Tajuelo: /* Error numérico */

2024-04-19T10:26:56Z

‎Error numérico

← Revisión anterior		Revisión del 15:38 19 abr 2024
Línea 940:		Línea 940:
	* [https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapecio Error de la regla del trapecio]		* [https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapecio Error de la regla del trapecio]
	* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]		* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]
		+
		+
		+	[[Categoría:EDP]]
		+	[[Categoría:EDP23/24]]

@@ Línea 323: / Línea 323: @@
 Finalmente, si fijamos <math>r</math>, el máximo se obtiene cuando <math> \theta= \alpha</math>, es decir,  <math>máx |f''|= |f''(\alpha)|</math>.
-Como en la sucesión de puntos hacia la frontera que hemos considerado el ángulo no varía, para cada <math>r</math> la cota es <math>f(\alpha, r)</math> (nótese que la función <math>f</math> también depende de <math>r</math>).
+Como en la sucesión de puntos hacia la frontera que hemos considerado el ángulo no varía, para cada <math>r</math> la cota es <math>f(\alpha)=f(\alpha,r,\alpha)</math> (recordando que la función <math>f</math> también dependía de <math>r</math> y <math>\alpha</math>).
 Entonces la cota del error es:
 <center><math> cota_{error} (r, \alpha) =\frac{\pi^2 (1-r^2)} {6 n^2} | f''(\alpha)|
@@ Línea 334: / Línea 334: @@
-Como podemos observar, el orden de la cota de error es considerablemente inferior a la que habíamos tomado antes y el error del método del trapecio sigue siendo menor
+Como podemos observar, el orden de la cota de error es considerablemente inferior a la que habíamos tomado antes y el error del método del trapecio sigue siendo menor.
 === Programa ===

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Línea 318:		Línea 318:

	Luego:		Luego:
−

	<center><math> f \sim \frac{o( \alpha - \theta)}{o((1-r)^6) + o((\alpha - \theta)^6)} </math></center>		<center><math> f \sim \frac{o( \alpha - \theta)}{o((1-r)^6) + o((\alpha - \theta)^6)} </math></center>

@@ Línea 299: / Línea 299: @@
 <math>
 ) ~~~h^3 \sim (o((1-r)^2)  + o((\alpha - \theta)^2))^3 \sim o((1-r)^6) + o((1-r)^4(\alpha - \theta)^2) + o((1-r)^2(\alpha - \theta)^4) + o((\alpha - \theta)^6)
 </math>
 Teniendo en cuenta que la suma de infinitésimos es el máximo de esos infinitésimos, tenemos que:
-<center><math> f \sim \frac{o( \alpha - \theta)}{o((1-r)^6) + o((1-r)^4(\alpha - \theta)^2) + o((1-r)^2(\alpha - \theta)^4) + o((\alpha - \theta)^6)}  </math></center>
+<center><math> f \sim \frac{o( \alpha - \theta)}{o((1-r)^6) +  o((\alpha - \theta)^6)}  </math></center>
 Finalmente, si fijamos <math>r</math>, el máximo se obtiene cuando <math> \theta= \alpha</math>, es decir,  <math>máx |f''|= |f''(\alpha)|</math>.

← Revisión anterior		Revisión del 10:40 19 abr 2024
Línea 296:		Línea 296:

	</math>		</math>
		+
	<math>		<math>

@@ Línea 294: / Línea 294: @@
 ) ~~~num_4 \sim  o(\alpha - \theta)
 </math>
@@ Línea 299: / Línea 304: @@
 Teniendo en cuenta que la suma de infinitésimos es el máximo de esos infinitésimos, tenemos que:
-<center><math> f \sim \frac{o( \alpha - \theta)}{o ((1-r)^6) + o ((\alpha - \theta)^6)}  </math></center>
+<center><math> f \sim \frac{o( \alpha - \theta)}{o((1-r)^6) + o((1-r)^4(\alpha - \theta)^2) + o((1-r)^2(\alpha - \theta)^4) + o((\alpha - \theta)^6)}  </math></center>
-−
 Finalmente, si fijamos <math>r</math>, el máximo se obtiene cuando <math> \theta= \alpha</math>, es decir,  <math>máx |f''|= |f''(\alpha)|</math>.

@@ Línea 250: / Línea 250: @@
 Si denotamos <math>num_i</math>, con <math>i=1,...,4</math> a los numeradores del a segunda derivada de <math>f(\theta)</math> y además consideramos denominador común, tenemos que
 <center><math> f= \frac{num_1 \cdot h + (num_2+ num_3) \cdot h^2 + num_4}{h^3}  </math></center>
 donde se tiene que:
@@ Línea 291: / Línea 293: @@
 <math>
-) ~~~num_4 \sim
+) ~~~num_4 \sim  o(\alpha - \theta)
-−
-\left \{ \begin{array}{ll}
-−
 o(\alpha - \theta)
-−
-\end{array} \right.
 </math>

@@ Línea 262: / Línea 262: @@
 \left \{ \begin{array}{ll}
-o((\alpha - \theta)^4) + o ( (1-r)^2 (\alpha - \theta)) & \quad \alpha \neq \left\{ \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}
+o((\alpha - \theta)^3) + o ( (1-r)^2 (\alpha - \theta)) & \quad \alpha \neq \left\{ \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}
 \\
-o((\alpha - \theta)^5) + o ((1-r)^2 (\alpha - \theta)^2) & \quad \alpha = \left\{ \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}
+o((\alpha - \theta)^4) + o ((1-r)^2 (\alpha - \theta)^2) & \quad \alpha = \left\{ \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}
 \end{array} \right.

@@ Línea 230: / Línea 230: @@
 <center><math> \left \{ \begin{array}{l}
-sin(\alpha - \theta) \sim \alpha - \theta + o((\alpha - \theta)^2)
+sin(\alpha - \theta) \sim \alpha - \theta + o((\alpha - \theta)^3)
 \\
@@ Línea 242: / Línea 242: @@
 \\
-cos(\alpha - \theta) = 1 - \frac{(\alpha - \theta)^2}{2} o((\alpha - \theta)^3)
+cos(\alpha - \theta) = 1 - \frac{(\alpha - \theta)^2}{2} + o((\alpha - \theta)^4)
 \end{array} \right.

@@ Línea 215: / Línea 215: @@
-Se observa como los errores obtenidos son inferiores a la cota. Sin embargo, no parece ser la más óptima pues la diferencia entre los valores es considerablemente grande.
+Se observa cómo los errores obtenidos son inferiores a la cota. Sin embargo, no parece ser la más óptima pues la diferencia entre los valores es considerablemente grande.
 Por ello, vamos a maximizar la función del error en <math> \theta </math> para cada <math>r</math>.
@@ Línea 223: / Línea 223: @@
 Considerando el cambio a polares, <math> \textbf{x}=(r , \alpha)</math> y <math> \textbf{y}= (1, \theta)</math>, se tiene que dicha singularidad se alcanza cuando <math> r=1</math> y <math> \theta= \alpha</math>. Por ello, vamos a considerar <math> 1-r \sim 0 </math> y <math> \alpha - \theta \sim 0 </math> y trabajaremos con infinitésimos.
-Ahora vamos a fijar el valor de <math> \alpha </math> y vamos a estudiar cómo se comporta  <math> f(\theta)</math> considerando estos infinitésimos. Sea <math>h(\theta) = 1+r^2-2rcos(\alpha - \theta) = (1-r)^2 + 2r(1-cos(\alpha - \theta)) \sim (1-r)^2 + r (\alpha - \theta)^2= o((1-r)^2)  + o(r (\alpha - \theta)^2) </math>.
+Ahora vamos a fijar el valor de <math> \alpha </math> y vamos a estudiar cómo se comporta  <math> f(\theta)</math> considerando estos infinitésimos. Sea <math>h(\theta) = 1+r^2-2rcos(\alpha - \theta) = (1-r)^2 + 2r(1-cos(\alpha - \theta)) \sim (1-r)^2 + r (\alpha - \theta)^2= o((1-r)^2)  + o((\alpha - \theta)^2) </math>.
 Obtenemos también la expresión en función de los infinitésimos de los siguientes términos de la fórmula de la derivada: